تاريخ الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 28: 28) تاريخ الرياضيات: في القرن السادس عشر الميلادي، ابتكر جاليليو الفرجار لاستعماله في القياس كما في الشكل المجاور. ولرسم قطعة مستقيمة طولها يساوي خمسي طول قطعة معلومة. اجعل نهايتي ساقي الفرجار عند طرفي القطعة المعلومة، ثم ارسم قطعة مستقيمة بين علامتي 40 على ساقي الفرجار. بين أن طول DE يساوي خمسي طول BC.

الإجابة: بما أن ADE∆ يشابه ABC∆ فإن النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية. $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ وبما أن $\frac{AD}{AB} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ فإن $\frac{DE}{BC} = \frac{2}{5}$ وبضرب طرفي المعادلة في BC ينتج أن $DE = \frac{2}{5} BC$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عندما نرسم قطعة مستقيمة بين علامتي 40 على ساقي الفرجار، فإننا نكون قد أنشأنا مثلثًا صغيرًا (ADE) داخل المثلث الكبير (ABC)، حيث تكون النقطة D على AB والنقطة E على AC. وبما أن الفرجار مصمم للقياس بهذه الطريقة، فإن الخط الذي يربط علامتي 40 سيكون موازياً للخط الذي يربط طرفي القطعة المعلومة (BC).
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن المستقيم DE يوازي المستقيم BC، فإن المثلثين ADE و ABC متشابهان. من خصائص المثلثات المتشابهة، تكون النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية: $$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$
3. **الخطوة 3 (الحساب):** وفقًا لتعليمات الفرجار، فإن علامة 40 تعني أن طول AD هو 40 جزءًا من 100 جزء من الطول الكلي AB (إذا اعتبرنا أن AB يمثل 100 جزء). إذن: $$\frac{AD}{AB} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$، وبالتعويض من الخطوة السابقة، نجد أن: $$\frac{DE}{BC} = \frac{2}{5}$$ ولإيجاد طول DE بدلالة BC، نضرب طرفي المعادلة في BC: $$DE = \frac{2}{5} BC$$ إذن، طول DE يساوي خمسي طول BC.

سؤال 29: أوجد قيمة x، بحيث يكون DF || BC. 29) AB = x + 5, BD = 12, AC = 3x + 1, CF = 15

الإجابة: $\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CF}$، $\frac{x+5}{12} = \frac{3x+1}{15}$، $15(x+5) = 12(3x+1)$، $15x+75 = 36x+12$، $63 = 21x$، $x=3$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الأطوال التالية في المثلث: - AB = x + 5 - BD = 12 - AC = 3x + 1 - CF = 15 - الشرط: DF || BC (القطعة DF توازي القاعدة BC)
2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن DF يوازي BC، يمكننا استخدام نظرية التناسب في المثلث (أو نظرية طاليس/نظرية القطع المتناسبة). هذه النظرية تنص على أنه إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث وقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما إلى قطع متناسبة. وبالتالي: $$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CF}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة في القانون: $$\frac{x+5}{12} = \frac{3x+1}{15}$$ لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في الوسطين (الضرب التبادلي): $$15(x+5) = 12(3x+1)$$ نوزع الأعداد على الأقواس: $$15x + 75 = 36x + 12$$ ننقل الحدود التي تحتوي على x إلى طرف والأعداد الثابتة إلى الطرف الآخر: $$75 - 12 = 36x - 15x$$ $$63 = 21x$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** نقسم الطرفين على 21 لإيجاد قيمة x: $$x = \frac{63}{21}$$ $$x = 3$$ إذن قيمة x هي **3**.

سؤال 30: 30) AC = 15, BD = 3x - 2, CF = 3x + 2, AB = 12

الإجابة: $\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CF}$، $\frac{12}{3x-2} = \frac{15}{3x+2}$، $12(3x+2) = 15(3x-2)$، $36x+24 = 45x-30$، $54 = 9x$، $x=6$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الأطوال التالية في المثلث: - AB = 12 - BD = 3x - 2 - AC = 15 - CF = 3x + 2 - الشرط: DF || BC (القطعة DF توازي القاعدة BC)
2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن DF يوازي BC، يمكننا استخدام نظرية التناسب في المثلث، والتي تنص على أن: $$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CF}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة في القانون: $$\frac{12}{3x-2} = \frac{15}{3x+2}$$ لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في الوسطين (الضرب التبادلي): $$12(3x+2) = 15(3x-2)$$ نوزع الأعداد على الأقواس: $$36x + 24 = 45x - 30$$ ننقل الحدود التي تحتوي على x إلى طرف والأعداد الثابتة إلى الطرف الآخر: $$24 + 30 = 45x - 36x$$ $$54 = 9x$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** نقسم الطرفين على 9 لإيجاد قيمة x: $$x = \frac{54}{9}$$ $$x = 6$$ إذن قيمة x هي **6**.

سؤال 31: إنشاءات هندسية: أنشئ كل قطعة مستقيمة فيما يأتي وفق التعليمات التالية: 31) قطعة مستقيمة مقسمة إلى خمس قطع متطابقة.

الإجابة: ارسم قطعة مستقيمة AB، ثم ارسم AC بحيث تكون A∠ حادة. استعمل الفرجار لتعيين 5 قطع متطابقة على AC. صل B بالنقطة الخامسة على AC، ثم ارسم 4 مستقيمات موازية لهذه القطعة من النقاط الأربع الأخرى على AC

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (الرسم الأولي):** ابدأ برسم قطعة مستقيمة AB، وهي القطعة التي نريد تقسيمها. ثم، من النقطة A، ارسم شعاعًا AC بحيث يصنع زاوية حادة مع AB. هذا الشعاع سيكون بمثابة خط مساعد.
2. **الخطوة 2 (تحديد الأجزاء المتطابقة):** باستخدام الفرجار، افتح الفرجار على أي فتحة مناسبة (لا يشترط طول معين). ضع إبرة الفرجار على النقطة A، وارسم قوسًا يقطع الشعاع AC في نقطة. هذه هي النقطة الأولى. كرر هذه العملية 4 مرات أخرى على الشعاع AC، مع الحفاظ على نفس فتحة الفرجار، بحيث تحصل على 5 نقاط متطابقة المسافة على الشعاع AC (لنسمها $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$).
3. **الخطوة 3 (إنشاء الخطوط المتوازية):** صل النقطة الأخيرة التي حددتها على الشعاع AC (النقطة $P_5$) بالنقطة B في نهاية القطعة المستقيمة الأصلية AB. الآن، من كل نقطة من النقاط الأربع الأخرى ($P_1, P_2, P_3, P_4$) على الشعاع AC، ارسم مستقيمًا يوازي المستقيم $P_5B$. هذه المستقيمات المتوازية ستقطع القطعة المستقيمة AB في نقاط تقسمها إلى خمس قطع متطابقة. إذن، الإجابة هي: **ارسم قطعة مستقيمة AB، ثم ارسم شعاعًا AC بحيث تكون الزاوية A حادة. استعمل الفرجار لتعيين 5 قطع متطابقة على AC. صل B بالنقطة الخامسة على AC، ثم ارسم 4 مستقيمات موازية لهذه القطعة من النقاط الأربع الأخرى على AC.**

سؤال 32: 32) قطعة مستقيمة مقسمة إلى قطعتين النسبة بين طوليهما 1 إلى 3.

الإجابة: ارسم قطعة مستقيمة AB، ثم ارسم AC بحيث تكون A∠ حادة. استعمل الفرجار لتعيين 4 قطع متطابقة على AC. صل B بالنقطة الرابعة على AC، ثم ارسم مستقيماً موازياً لهذه القطعة من النقطة الأولى على AC

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (الرسم الأولي):** ابدأ برسم قطعة مستقيمة AB، وهي القطعة التي نريد تقسيمها. ثم، من النقطة A، ارسم شعاعًا AC بحيث يصنع زاوية حادة مع AB. هذا الشعاع سيكون بمثابة خط مساعد.
2. **الخطوة 2 (تحديد الأجزاء المتناسبة):** النسبة المطلوبة هي 1 إلى 3، مما يعني أننا نحتاج إلى تقسيم القطعة إلى 1 + 3 = 4 أجزاء متطابقة على الشعاع المساعد. باستخدام الفرجار، افتح الفرجار على أي فتحة مناسبة. ضع إبرة الفرجار على النقطة A، وارسم قوسًا يقطع الشعاع AC في نقطة. كرر هذه العملية 3 مرات أخرى على الشعاع AC، مع الحفاظ على نفس فتحة الفرجار، بحيث تحصل على 4 نقاط متطابقة المسافة على الشعاع AC (لنسمها $P_1, P_2, P_3, P_4$).
3. **الخطوة 3 (إنشاء الخطوط المتوازية):** صل النقطة الأخيرة التي حددتها على الشعاع AC (النقطة $P_4$) بالنقطة B في نهاية القطعة المستقيمة الأصلية AB. الآن، بما أننا نريد نسبة 1 إلى 3، فإن نقطة التقسيم ستكون بعد الجزء الأول. لذا، من النقطة الأولى ($P_1$) على الشعاع AC، ارسم مستقيمًا يوازي المستقيم $P_4B$. هذا المستقيم الموازي سيقطع القطعة المستقيمة AB في نقطة تقسمها إلى قطعتين النسبة بين طوليهما 1 إلى 3. إذن، الإجابة هي: **ارسم قطعة مستقيمة AB، ثم ارسم شعاعًا AC بحيث تكون الزاوية A حادة. استعمل الفرجار لتعيين 4 قطع متطابقة على AC. صل B بالنقطة الرابعة على AC، ثم ارسم مستقيمًا موازيًا لهذه القطعة من النقطة الأولى على AC.**

سؤال 33: 33) قطعة مستقيمة طولها 11cm، ومقسمة إلى أربع قطع متطابقة.

الإجابة: ارسم قطعة مستقيمة AB طولها 11cm، ثم ارسم AC بحيث تكون A∠ حادة. استعمل الفرجار لتعيين 4 قطع متطابقة على AC. صل B بالنقطة الرابعة على AC، ثم ارسم 3 مستقيمات موازية لهذه القطعة من النقاط الثلاث الأخرى على AC

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (الرسم الأولي):** ابدأ برسم قطعة مستقيمة AB طولها 11cm، وهي القطعة التي نريد تقسيمها. ثم، من النقطة A، ارسم شعاعًا AC بحيث يصنع زاوية حادة مع AB. هذا الشعاع سيكون بمثابة خط مساعد.
2. **الخطوة 2 (تحديد الأجزاء المتطابقة):** باستخدام الفرجار، افتح الفرجار على أي فتحة مناسبة (لا يشترط طول معين). ضع إبرة الفرجار على النقطة A، وارسم قوسًا يقطع الشعاع AC في نقطة. هذه هي النقطة الأولى. كرر هذه العملية 3 مرات أخرى على الشعاع AC، مع الحفاظ على نفس فتحة الفرجار، بحيث تحصل على 4 نقاط متطابقة المسافة على الشعاع AC (لنسمها $P_1, P_2, P_3, P_4$).
3. **الخطوة 3 (إنشاء الخطوط المتوازية):** صل النقطة الأخيرة التي حددتها على الشعاع AC (النقطة $P_4$) بالنقطة B في نهاية القطعة المستقيمة الأصلية AB. الآن، من كل نقطة من النقاط الثلاث الأخرى ($P_1, P_2, P_3$) على الشعاع AC، ارسم مستقيمًا يوازي المستقيم $P_4B$. هذه المستقيمات المتوازية ستقطع القطعة المستقيمة AB في نقاط تقسمها إلى أربع قطع متطابقة. إذن، الإجابة هي: **ارسم قطعة مستقيمة AB طولها 11cm، ثم ارسم شعاعًا AC بحيث تكون الزاوية A حادة. استعمل الفرجار لتعيين 4 قطع متطابقة على AC. صل B بالنقطة الرابعة على AC، ثم ارسم 3 مستقيمات موازية لهذه القطعة من النقاط الثلاث الأخرى على AC.**

سؤال 34b: 34) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستكشف تناسبات مرتبطة بمنصفات زوايا المثلث. أ) هندسياً: ارسم ثلاثة مثلثات: الأول حاد الزوايا، واسمه ABC، وارسم BD منصفًا لـ B∠. والثاني منفرج الزاوية وسمه MNP، وارسم NQ منصفًا لـ N∠. والثالث قائم الزاوية وسمه WXY، وارسم XZ منصفًا لـ X∠. ب) جدولياً: أكمل الجدول المجاور بالقيم المناسبة.

الإجابة: $\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{CB}$ $\frac{MQ}{PQ} = \frac{MN}{PN}$ $\frac{WZ}{YZ} = \frac{WX}{YX}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر نظرية منصف الزاوية في المثلث. هذه النظرية تنص على أن منصف زاوية في مثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين في المثلث.
2. **الخطوة 2 (التطبيق على المثلثات):** - في المثلث ABC، منصف الزاوية B هو BD. يقسم الضلع AC إلى قطعتين AD و CD. الضلعان الآخران هما AB و CB. - في المثلث MNP، منصف الزاوية N هو NQ. يقسم الضلع MP إلى قطعتين MQ و PQ. الضلعان الآخران هما MN و PN. - في المثلث WXY، منصف الزاوية X هو XZ. يقسم الضلع WY إلى قطعتين WZ و YZ. الضلعان الآخران هما WX و YX.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتطبيق النظرية على كل مثلث، نحصل على التناسبات التالية: - للمثلث ABC: $$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{CB}$$ - للمثلث MNP: $$\frac{MQ}{PQ} = \frac{MN}{PN}$$ - للمثلث WXY: $$\frac{WZ}{YZ} = \frac{WX}{YX}$$

سؤال 34c: 34) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستكشف تناسبات مرتبطة بمنصفات زوايا المثلث. ج) لفظياً: اكتب تخميناً حول القطعتين المستقيمتين اللتين ينقسم إليهما ضلع مثلث عند رسم منصف للزاوية المقابلة لذلك الضلع.

الإجابة: يقسم منصف زاوية في مثلث الضلع المقابل له إلى قطعتين مستقيمتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** عندما نرسم منصفًا لزاوية في أي مثلث، فإن هذا المنصف يقطع الضلع المقابل لهذه الزاوية. النقطة التي يقطع فيها المنصف الضلع المقابل تقسمه إلى قطعتين مستقيمتين. التخمين الذي يمكننا استنتاجه من نظرية منصف الزاوية هو أن النسبة بين طولي هاتين القطعتين تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين في المثلث (الضلعين اللذين يحصران الزاوية المنصّفة). ولذلك الإجابة هي: **يقسم منصف زاوية في مثلث الضلع المقابل له إلى قطعتين مستقيمتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.**

سؤال 35: 35) اكتشف الخطأ: يجد كل من أسامة وسلطان قيمة x في JHL∆، يقول أسامة: إن MP يساوي نصف JL؛ إذن x تساوي 4.5، ويقول سلطان: إن JL يساوي نصف MP؛ إذن x تساوي 18. فهل إجابة أي منهما صحيحة؟ وضح إجابتك.

الإجابة: كلاهما مخطئ؛ لا توجد معطيات كافية لتحديد العلاقة بين MP و JL

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال، يجب أن نتذكر متى تكون هناك علاقة محددة بين قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على ضلعي مثلث وضلعه الثالث. العلاقة التي تقول إن طول القطعة يساوي نصف طول الضلع الثالث تنطبق فقط إذا كانت هذه القطعة هي قطعة منتصفين في المثلث، أي إذا كانت النقطتان M و P هما نقطتي منتصف الضلعين JH و HL على الترتيب. السؤال لم يذكر أن M و P هما نقطتا منتصف. ولم يعطِ أي معلومات إضافية (مثل أن MP يوازي JL، أو أن M و P منتصفات أضلاع). بدون هذه المعطيات، لا يمكننا افتراض أن MP يساوي نصف JL أو أن JL يساوي نصف MP. لذلك، لا يمكننا تحديد العلاقة بين MP و JL بناءً على المعلومات المعطاة فقط. كلا من أسامة وسلطان افترضا علاقة غير مثبتة بالمعطيات. إذن الإجابة هي: **كلاهما مخطئ؛ لا توجد معطيات كافية لتحديد العلاقة بين MP و JL.**

سؤال 36: 36) تبرير: في ABC∆، إذا كان: AF = FB, AH = HC, DA = 3/4 AB, EA = 3/4 AC فهل DE = 3/4 BC دائمًا أو أحيانًا أو لا يساويه أبدًا؟

الإجابة: دائماً؛ بما أن $\frac{AD}{AB} = \frac{3}{4}$ و $\frac{AE}{AC} = \frac{3}{4}$ فإن $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ وبحسب عكس نظرية التناسب في المثلث فإن $DE \parallel BC$ وبما أن ADE∆ يشابه ABC∆ فإن $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{4}$ إذن $DE = \frac{3}{4} BC$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والتحليل):** لدينا في المثلث ABC: - DA = $\frac{3}{4}$ AB - EA = $\frac{3}{4}$ AC من المعطيات، يمكننا استنتاج أن: $$\frac{AD}{AB} = \frac{3}{4}$$ $$\frac{AE}{AC} = \frac{3}{4}$$ بما أن النسبتين متساويتين، فإن: $$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$
2. **الخطوة 2 (القانون/النظرية):** بما أن النقطتين D و E تقسمان الضلعين AB و AC بنفس النسبة، فإننا نطبق عكس نظرية التناسب في المثلث. هذه النظرية تنص على أنه إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث إلى قطع متناسبة، فإن هذا المستقيم يوازي الضلع الثالث. إذن، نستنتج أن $DE \parallel BC$.
3. **الخطوة 3 (التطبيق):** بما أن $DE \parallel BC$، فإن المثلث ADE يشابه المثلث ABC (حسب مسلمة التشابه AA، حيث الزاوية A مشتركة والزاويتان المتناظرتان $\angle ADE$ و $\angle ABC$ متساويتان). من خصائص المثلثات المتشابهة، تكون النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية: $$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتعويض بقيمة النسبة من الخطوة الأولى: $$\frac{DE}{BC} = \frac{3}{4}$$ بضرب طرفي المعادلة في BC، نحصل على: $$DE = \frac{3}{4} BC$$ هذه العلاقة صحيحة دائمًا بناءً على المعطيات ونظريات التشابه والتناسب في المثلثات. إذن الإجابة هي: **دائماً**.

في المثلث ABC، إذا كان DF || BC، وكانت الأطوال: AB = x + 5, BD = 12, AC = 3x + 1, CF = 15، فما قيمة x؟

• أ) 2
• ب) 3
• ج) 4
• د) 5

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3

الشرح: ١. نظرية التناسب: AB/BD = AC/CF. ٢. التعويض: (x+5)/12 = (3x+1)/15. ٣. الضرب التبادلي: 15(x+5) = 12(3x+1). ٤. التبسيط: 15x+75 = 36x+12. ٥. حل المعادلة: 75-12 = 36x-15x → 63 = 21x → x = 3.

تلميح: استخدم نظرية التناسب في المثلث: إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث وقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما إلى قطع متناسبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في المثلث ABC، إذا كان DF || BC، وكانت الأطوال: AC = 15, BD = 3x - 2, CF = 3x + 2, AB = 12، فما قيمة x؟

• أ) 4
• ب) 5
• ج) 6
• د) 7

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 6

الشرح: ١. نظرية التناسب: AB/BD = AC/CF. ٢. التعويض: 12/(3x-2) = 15/(3x+2). ٣. الضرب التبادلي: 12(3x+2) = 15(3x-2). ٤. التبسيط: 36x+24 = 45x-30. ٥. حل المعادلة: 24+30 = 45x-36x → 54 = 9x → x = 6.

تلميح: طبق نظرية التناسب في المثلث: النسبة بين الأجزاء على أحد الضلعين تساوي النسبة بين الأجزاء على الضلع الآخر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لتقسيم قطعة مستقيمة إلى خمس قطع متطابقة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط؟

• أ) ارسم قطعة مستقيمة، ثم استخدم المسطرة لقياسها وتقسيمها إلى 5 أجزاء متساوية مباشرة.
• ب) ارسم قطعة AB، ثم ارسم شعاعًا AC بزاوية حادة. حدد 5 نقاط متساوية على AC. صل النقطة الأولى بـ B، ثم ارسم 4 مستقيمات موازية.
• ج) ارسم قطعة AB، ثم ارسم شعاعًا AC بزاوية حادة. حدد 5 نقاط متساوية على AC. صل النقطة الخامسة بـ B، ثم ارسم 4 مستقيمات موازية لهذا المستقيم من النقاط الأربع الأخرى على AC لتقطع AB.
• د) ارسم قطعة مستقيمة، ثم ارسم 5 دوائر متساوية نصف قطرها لتقطع القطعة في نقاط التقسيم.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ارسم قطعة AB، ثم ارسم شعاعًا AC بزاوية حادة. حدد 5 نقاط متساوية على AC. صل النقطة الخامسة بـ B، ثم ارسم 4 مستقيمات موازية لهذا المستقيم من النقاط الأربع الأخرى على AC لتقطع AB.

الشرح: ١. ارسم القطعة المراد تقسيمها (AB). ٢. ارسم شعاعًا مساعدًا (AC) من إحدى نهايتيها (A) بزاوية حادة. ٣. باستخدام الفرجار، حدد 5 نقاط متساوية المسافة على الشعاع AC. ٤. صل النقطة الأخيرة على AC بالنقطة B. ٥. ارسم مستقيمات موازية لهذا المستقيم من النقاط الأربع الأخرى على AC لتقطع AB، فتقسمها إلى 5 أجزاء متساوية.

تلميح: تعتمد الطريقة على إنشاء خطوط متوازية لتقسيم قطعة مستقيمة إلى أجزاء متساوية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لتقسيم قطعة مستقيمة إلى قطعتين النسبة بين طوليهما 1 إلى 3 باستخدام الفرجار والمسطرة فقط؟

• أ) ارسم قطعة مستقيمة، ثم استخدم المسطرة لقياسها وتقسيمها إلى 4 أجزاء، ثم خذ الجزء الأول.
• ب) ارسم قطعة AB، ثم ارسم شعاعًا AC بزاوية حادة. حدد 3 نقاط متساوية على AC. صل النقطة الثالثة بـ B، ثم ارسم مستقيمًا موازيًا من النقطة الأولى.
• ج) ارسم قطعة AB، ثم ارسم شعاعًا AC بزاوية حادة. حدد 4 نقاط متساوية على AC. صل النقطة الرابعة بـ B، ثم ارسم مستقيمًا موازيًا لهذا المستقيم من النقطة الأولى على AC لتقطع AB.
• د) ارسم قطعة مستقيمة، ثم ارسم مستقيمين متعامدين عليها لتحديد نقطة التقسيم.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ارسم قطعة AB، ثم ارسم شعاعًا AC بزاوية حادة. حدد 4 نقاط متساوية على AC. صل النقطة الرابعة بـ B، ثم ارسم مستقيمًا موازيًا لهذا المستقيم من النقطة الأولى على AC لتقطع AB.

الشرح: ١. ارسم القطعة المراد تقسيمها (AB). ٢. ارسم شعاعًا مساعدًا (AC) من إحدى نهايتيها (A) بزاوية حادة. ٣. باستخدام الفرجار، حدد 4 نقاط متساوية المسافة على الشعاع AC (لأن 1+3=4). ٤. صل النقطة الأخيرة (الرابعة) على AC بالنقطة B. ٥. ارسم مستقيمًا موازيًا لهذا المستقيم من النقطة الأولى على AC لتقطع AB، فتقسمها بنسبة 1:3.

تلميح: النسبة 1:3 تعني أن القطعة مقسمة إلى 4 أجزاء متساوية، الجزء الأول مقابل 3 أجزاء.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

يقسم منصف زاوية في مثلث الضلع المقابل له إلى قطعتين مستقيمتين. ما العلاقة بين طولي هاتين القطعتين وأطوال أضلاع المثلث الأخرى؟

• أ) النسبة بين طولي القطعتين تساوي 1.
• ب) النسبة بين طولي القطعتين تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين في المثلث.
• ج) طول القطعتين متساوٍ دائمًا.
• د) النسبة بين طولي القطعتين تساوي مربع النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: النسبة بين طولي القطعتين تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين في المثلث.

الشرح: نظرية منصف الزاوية: في أي مثلث، إذا رسم منصف لزاوية داخلية، فإنه يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين، تكون نسبة طوليهما مساوية لنسبة طولي الضلعين المجاورين للزاوية المنصفة.

تلميح: هذه العلاقة تُعرف بنظرية منصف الزاوية الداخلية في المثلث.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في الفرجار الهندسي الذي ابتكره جاليليو، إذا كانت ساقاه AB وAC طول كل منهما 100 وحدة، ووصلت بينهما قطعة مستقيمة DE عند العلامة 40 على كل ساق، فما النسبة بين طول DE وطول القطعة الأساسية BC؟

• أ) DE يساوي ربع BC (1/4)
• ب) DE يساوي خمسي BC (2/5)
• ج) DE يساوي ثلث BC (1/3)
• د) DE يساوي نصف BC (1/2)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: DE يساوي خمسي BC (2/5)

الشرح: ١. المثلث ADE يشابه المثلث ABC (زاوية A مشتركة، و AD/AB = AE/AC). ٢. النسبة AD/AB = 40/100 = 2/5. ٣. في المثلثات المتشابهة، النسبة بين الأضلاع المتناظرة متساوية، لذا DE/BC = AD/AB = 2/5. ٤. إذن، طول DE يساوي خمسي (2/5) طول BC.

تلميح: استخدم نظرية التناسب في المثلثات المتشابهة. المثلث ADE يشابه المثلث ABC.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لتقسيم قطعة مستقيمة طولها 11 سم إلى أربع قطع متطابقة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط؟

• أ) ارسم قطعة AB، ثم ارسم عموديًا من منتصفها، واستخدم الفرجار لتعيين نقاط التقسيم.
• ب) ارسم قطعة AB طولها 11 سم، ثم ارسم شعاعًا AC من A بزاوية حادة. عيّن 4 قطع متطابقة على AC باستخدام الفرجار. صل النقطة الرابعة على AC بالنقطة B، ثم ارسم 3 مستقيمات موازية لهذا المستقيم من النقاط الثلاث الأخرى على AC لتقطع AB.
• ج) اقسم 11 على 4 لتحصل على 2.75 سم، ثم استخدم المسطرة المدرجة لتعيين النقاط مباشرة على AB.
• د) ارسم دائرة مركزها A ونصف قطرها 11 سم، ثم قسم محيطها إلى 4 أجزاء متساوية، ووصل النقاط بـ A.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ارسم قطعة AB طولها 11 سم، ثم ارسم شعاعًا AC من A بزاوية حادة. عيّن 4 قطع متطابقة على AC باستخدام الفرجار. صل النقطة الرابعة على AC بالنقطة B، ثم ارسم 3 مستقيمات موازية لهذا المستقيم من النقاط الثلاث الأخرى على AC لتقطع AB.

الشرح: ١. ارسم القطعة المستقيمة AB بطول 11 سم. ٢. من النقطة A، ارسم شعاعًا AC يصنع زاوية حادة مع AB. ٣. باستخدام الفرجار، حدد 4 نقاط متساوية البعد على الشعاع AC. ٤. صل النقطة الرابعة (الأخيرة) على AC بالنقطة B. ٥. من كل نقطة من النقاط الثلاث الأولى على AC، ارسم مستقيمًا يوازي المستقيم الذي وصل النقطة الرابعة بـ B. ٦. تقاطع هذه المستقيمات مع AB يقسمها إلى 4 أجزاء متساوية الطول.

تلميح: تذكر أن عدد الأجزاء المتطابقة المطلوبة على الشعاع المساعد يساوي عدد الأجزاء المطلوبة على القطعة الأصلية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في مسألة اكتشاف الخطأ المتعلقة بالمثلث JHL والقطعة MP، إذا لم يُعطَ أن M و P هما نقطتا منتصف للضلعين، فماذا يمكننا استنتاج عن صحة أقوال أسامة وسلطان؟

• أ) إجابة أسامة فقط صحيحة لأن MP دائمًا منصف.
• ب) إجابة سلطان فقط صحيحة لأن JL دائمًا ضعف MP.
• ج) كلاهما مخطئ؛ لا توجد معطيات كافية لتحديد العلاقة بين MP و JL.
• د) كلاهما صحيح، وتعتمد الإجابة على شكل المثلث.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: كلاهما مخطئ؛ لا توجد معطيات كافية لتحديد العلاقة بين MP و JL.

الشرح: ١. لكي تكون MP = ½ JL أو JL = ½ MP، يجب أن تكون M و P نقطتي منتصف للضلعين JH و HL على الترتيب (نظرية القطعة المتوسطة). ٢. السؤال لم يذكر أن M و P هما نقطتا منتصف. ٣. بدون هذه المعلومة، لا يمكن افتراض أي علاقة تناسبية ثابتة بين MP و JL. ٤. لذلك، افتراضات أسامة وسلطان غير مثبتة، وإجابتاهما خاطئتان.

تلميح: تذكر شروط نظرية القطعة المتوسطة (منتصف الضلعين) في المثلث.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

في المثلث ABC، إذا كانت D تقسم AB بنسبة AD = (3/4)AB، و E تقسم AC بنسبة AE = (3/4)AC، وكانت DE موازية لـ BC، فما العلاقة بين DE و BC؟

• أ) دائمًا DE = (3/4) BC
• ب) أحيانًا DE = (3/4) BC، ويعتمد على قياس الزوايا.
• ج) لا يساويه أبدًا؛ DE دائمًا يساوي BC.
• د) أحيانًا DE = (1/2) BC، إذا كان المثلث متطابق الأضلاع.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: دائمًا DE = (3/4) BC

الشرح: ١. بما أن AD/AB = AE/AC = 3/4، فإن DE || BC (عكس نظرية التناسب في المثلث). ٢. المثلث ADE يشابه المثلث ABC (زاوية A مشتركة و DE || BC). ٣. في المثلثات المتشابهة، النسبة بين الأضلاع المتناظرة متساوية: DE/BC = AD/AB. ٤. بالتعويض: DE/BC = 3/4، إذن DE = (3/4) BC دائماً.

تلميح: استخدم عكس نظرية التناسب في المثلث لتثبت التوازي، ثم استخدم خصائص المثلثات المتشابهة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الهدف الأساسي من قسم 'تمثيلات متعددة' في مسألة استكشاف منصفات زوايا المثلث؟

• أ) تعليم الطالب كيفية رسم المثلثات بأنواعها المختلفة فقط.
• ب) استكشاف العلاقة التناسبية الناتجة عن منصف الزاوية وتعميمها عبر تمثيلات مختلفة (هندسية، جدولية، لفظية).
• ج) حساب مساحة المثلثات باستخدام المنصفات.
• د) مقارنة سرعة حل المسألة باستخدام كل طريقة على حدة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: استكشاف العلاقة التناسبية الناتجة عن منصف الزاوية وتعميمها عبر تمثيلات مختلفة (هندسية، جدولية، لفظية).

الشرح: ١. التمثيل الهندسي (الرسم): يسمح برؤية العلاقة في حالات مختلفة (مثلث حاد، قائم، منفرج). ٢. التمثيل الجدولي: ينظم البيانات والأطوال المسجلة من الرسوم لحساب النسب ومقارنتها. ٣. التمثيل اللفظي: يساعد في صياغة التخمين أو القاعدة المستنتجة (نظرية منصف الزاوية) بشكل واضح ومختصر. ٤. الهدف النهائي هو الوصول إلى فهم أعمق وتعميم النظرية.

تلميح: فكر في كيف تساعد الأساليب المختلفة (الرسم، الجدول، الصياغة اللفظية) في فهم وتخمين قاعدة رياضية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل