مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

6-3 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر (الصفحات 68 - 78)

مثّل 4i - 6 في المستوى المركب، ثم عبّر عنه بالصورة القطبية.

أوجد المقياس. صيغة التحويل: r = √(a² + b²) a = 4, b = -6 = √(4² + (-6)²) = 2√13 أوجد السعة. صيغة التحويل: θ = Tan⁻¹(b/a) a = 4, b = -6 = Tan⁻¹(-6/4) بسط ≈ -0.98 فتكون الصورة القطبية للعدد 4i - 6 هي: 2√13 [cos(-0.98) + i sin(-0.98)] تقريبًا.

أوجد ناتج (3(cos π/4 + i sin π/4) · 5(cos 7π/6 + i sin 7π/6)) على الصورة القطبية، ثم حوّله إلى الصورة الديكارتية.

العبارة المعطاة: 3(cos π/4 + i sin π/4) · 5(cos 7π/6 + i sin 7π/6) صيغة الضرب: = (3 · 5) [cos(π/4 + 7π/6) + i sin(π/4 + 7π/6)] بسط: = 15 [cos(17π/12) + i sin(17π/12)] والآن أوجد الصورة الديكارتية لناتج الضرب. الصورة القطبية: 15 [cos(17π/12) + i sin(17π/12)] أوجد قيمتي الجيب وجيب التمام: = 15 [-0.26 + i(-0.966)] خاصية التوزيع: = -3.9 - 14.5i فتكون الصورة الديكارتية لناتج الضرب -3.9 - 14.5i تقريبًا.

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

z = 3 - i (28

z = 4i (29

z = -4 + 2i (30

z = 6 - 3i (31

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

3 + √2i (32

-5 + 8i (33

-4 - √3i (34

√2 + √2i (35

مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

z = 3(cos π/2 + i sin π/2) (36

z = 5(cos π/3 + i sin π/3) (37

z = 2(cos π/4 + i sin π/4) (38

z = 4(cos 5π/6 + i sin 5π/6) (39

أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

2(cos 5π/6 + i sin 5π/6) · 4(cos π/3 + i sin π/3) (40

8(cos 225° + i sin 225°) · 1/2(cos 120° + i sin 120°) (41

5(cos π/2 + i sin π/2) ÷ 1/3(cos π/6 + i sin π/6) (42

6(cos 210° + i sin 210°) ÷ 3(cos 150° + i sin 150°) (43

44) أوجد قيمة (√2 + 3i)⁴ بالصورة القطبية، ثم اكتبه على الصورة الديكارتية.

45) أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب i + 1.

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة 81

6-3 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر (الصفحات 68 - 78) --- SECTION: مثال 3 --- مثّل 4i - 6 في المستوى المركب، ثم عبّر عنه بالصورة القطبية. أوجد المقياس. صيغة التحويل: r = √(a² + b²) a = 4, b = -6 = √(4² + (-6)²) = 2√13 أوجد السعة. صيغة التحويل: θ = Tan⁻¹(b/a) a = 4, b = -6 = Tan⁻¹(-6/4) بسط ≈ -0.98 فتكون الصورة القطبية للعدد 4i - 6 هي: 2√13 [cos(-0.98) + i sin(-0.98)] تقريبًا. --- SECTION: مثال 4 --- أوجد ناتج (3(cos π/4 + i sin π/4) · 5(cos 7π/6 + i sin 7π/6)) على الصورة القطبية، ثم حوّله إلى الصورة الديكارتية. العبارة المعطاة: 3(cos π/4 + i sin π/4) · 5(cos 7π/6 + i sin 7π/6) صيغة الضرب: = (3 · 5) [cos(π/4 + 7π/6) + i sin(π/4 + 7π/6)] بسط: = 15 [cos(17π/12) + i sin(17π/12)] والآن أوجد الصورة الديكارتية لناتج الضرب. الصورة القطبية: 15 [cos(17π/12) + i sin(17π/12)] أوجد قيمتي الجيب وجيب التمام: = 15 [-0.26 + i(-0.966)] خاصية التوزيع: = -3.9 - 14.5i فتكون الصورة الديكارتية لناتج الضرب -3.9 - 14.5i تقريبًا. مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة: --- SECTION: 28 --- z = 3 - i (28 --- SECTION: 29 --- z = 4i (29 --- SECTION: 30 --- z = -4 + 2i (30 --- SECTION: 31 --- z = 6 - 3i (31 عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: --- SECTION: 32 --- 3 + √2i (32 --- SECTION: 33 --- -5 + 8i (33 --- SECTION: 34 --- -4 - √3i (34 --- SECTION: 35 --- √2 + √2i (35 مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية: --- SECTION: 36 --- z = 3(cos π/2 + i sin π/2) (36 --- SECTION: 37 --- z = 5(cos π/3 + i sin π/3) (37 --- SECTION: 38 --- z = 2(cos π/4 + i sin π/4) (38 --- SECTION: 39 --- z = 4(cos 5π/6 + i sin 5π/6) (39 أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية: --- SECTION: 40 --- 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6) · 4(cos π/3 + i sin π/3) (40 --- SECTION: 41 --- 8(cos 225° + i sin 225°) · 1/2(cos 120° + i sin 120°) (41 --- SECTION: 42 --- 5(cos π/2 + i sin π/2) ÷ 1/3(cos π/6 + i sin π/6) (42 --- SECTION: 43 --- 6(cos 210° + i sin 210°) ÷ 3(cos 150° + i sin 150°) (43 --- SECTION: 44 --- 44) أوجد قيمة (√2 + 3i)⁴ بالصورة القطبية، ثم اكتبه على الصورة الديكارتية. --- SECTION: 45 --- 45) أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب i + 1. الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة 81 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: تمثيل العدد المركب في المستوى المركب Description: The graph shows a point plotted in the complex plane. From the origin O (0,0), the point is located 2 grid squares to the right and 3 grid squares down. Given the scale where 2 squares = 4 units, this corresponds to the coordinates (4, -6). The point is labeled with its coordinates (4, -6). This represents the complex number 4 - 6i. X-axis: R Y-axis: i Context: Visual representation of a complex number in the complex plane as part of a worked example for converting to polar form.