صفحة 78 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 45: 45) برهان: إذا كان $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$، $z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$، حيث $r_2 \neq 0$، فأثبت أن $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]$

الإجابة: بالضرب في مرافق المقام $(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)$ وبالتوزيع واستخدام المتطابقات $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)}{r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)} \times \frac{\cos \theta_2 - i \sin \theta_2}{\cos \theta_2 - i \sin \theta_2}$ $= \frac{r_1}{r_2} \frac{(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2)}{\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2}$ $= \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا عددان مركبان في الصورة القطبية: - $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ - $z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ حيث $r_2 \neq 0$ والمطلوب هو إثبات صيغة القسمة.
2. **الخطوة 2 (التبسيط باستخدام المرافق):** لإجراء عملية القسمة، نضرب بسط ومقام الكسر $\frac{z_1}{z_2}$ في مرافق المقام، وهو $(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)$: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)}{r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)} \times \frac{\cos \theta_2 - i \sin \theta_2}{\cos \theta_2 - i \sin \theta_2}$$
3. **الخطوة 3 (استخدام المتطابقات المثلثية):** بعد فك الأقواس في البسط، سنحصل على: $$(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2)$$ أما المقام فيصبح $\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2$ والذي يساوي $1$ حسب متطابقة فيثاغورس. وباستخدام متطابقات الفرق للزاويتين (الجيب وجيب التمام):
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتعويض، نصل للصيغة النهائية: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]$$

سؤال 46: 46) تحدٍّ: اكتب $\cos 3\theta$ بدلالة $\cos \theta$ مستعملاً نظرية ديموافر. إرشاد: أوجد قيمة $(\cos \theta + i \sin \theta)^3$ مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.

الإجابة: س 46: $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو إيجاد $\cos 3\theta$ بدلالة $\cos \theta$. سنستخدم طريقتين لفك المقدار $(\cos \theta + i \sin \theta)^3$.
2. **الخطوة 2 (نظرية ديموافر):** حسب نظرية ديموافر: $$(\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta$$
3. **الخطوة 3 (مفكوك ذات الحدين):** بفك القوس $(\cos \theta + i \sin \theta)^3$ جبرياً: $$\cos^3 \theta + 3i \cos^2 \theta \sin \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta - i \sin^3 \theta$$ بمساواة الجزء الحقيقي من هذه المعادلة مع الجزء الحقيقي من نظرية ديموافر: $$\cos 3\theta = \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** باستبدال $\sin^2 \theta$ بـ $(1 - \cos^2 \theta)$ والتبسيط: $$\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$$

سؤال 47: 47) اكتب: وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$، حيث $n$ عدد صحيح موجب.

الإجابة: س 47: إذا كانت $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ و $w^n = z$ فإن: $\rho = \sqrt[n]{r}, \phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$ إذن الجذور النونية هي: $w_k = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n})$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد الجذور النونية لعدد مركب $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$، نحتاج لاستخدام نظرية الجذور النونية التي تعتمد على إيجاد الجذر النوني للمقياس $r$ وتوزيع الزاوية.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** أولاً، نوجد المقياس الجديد $\rho = \sqrt[n]{r}$. ثانياً، نوجد الزوايا الجديدة $\phi$ باستخدام الصيغة: $\frac{\theta + 2k\pi}{n}$ حيث $k$ تأخذ القيم $0, 1, 2, \dots, n-1$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الصيغة العامة للجذور هي: $$w_k = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n})$$

سؤال 48: مثل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي: (الدرس 1-6) 48) $Q(4, -\frac{5\pi}{6})$

الإجابة: س 48: تقع عند $r = 4$ و $\theta = -\frac{5\pi}{6}$ إحداثياتها الديكارتية: $x = -2\sqrt{3}, y = -2$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطة المعطاة هي $Q(4, -\frac{5\pi}{6})$. - المقياس $r = 4$ - الزاوية $\theta = -\frac{5\pi}{6}$ (وهي تعادل $-150^\circ$)
2. **الخطوة 2 (التمثيل):** نتحرك من القطب على الضلع النهائي للزاوية $-150^\circ$ (أو $210^\circ$ بالقياس الموجب) مسافة $4$ وحدات.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتحويلها للديكارتي للتأكد: $x = 4 \cos(-150^\circ) = -2\sqrt{3}$ $y = 4 \sin(-150^\circ) = -2$ إذن الإحداثيات الديكارتية هي **$(-2\sqrt{3}, -2)$**

سؤال 49: 49) $P(4.5, -210^\circ)$

الإجابة: س 49: الزاوية $-210^\circ$ مكافئة لـ $150^\circ$ إحداثياتها الديكارتية: $x = -\frac{9\sqrt{3}}{4}, y = \frac{9}{4}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطة هي $P(4.5, -210^\circ)$. - المقياس $r = 4.5$ - الزاوية $\theta = -210^\circ$
2. **الخطوة 2 (التبسيط):** الزاوية $-210^\circ$ تكافئ الزاوية $150^\circ$ (بإضافة $360^\circ$). نحدد موقع الزاوية $150^\circ$ في المستوى القطبي ونتحرك مسافة $4.5$ وحدة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتحويل للديكارتي: $x = 4.5 \cos(150^\circ) = -\frac{9\sqrt{3}}{4}$ $y = 4.5 \sin(150^\circ) = \frac{9}{4}$ إذن الإحداثيات هي **$(- \frac{9\sqrt{3}}{4}, \frac{9}{4})$**

سؤال 50: اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: (الدرس 2-6) 50) $(x - 3)^2 + y^2 = 9$

الإجابة: س 50: $r = 6 \cos \theta$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة الديكارتية هي: $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ نحتاج لتحويلها إلى الصورة القطبية باستخدام $x = r \cos \theta$ و $y = r \sin \theta$.
2. **الخطوة 2 (الحل):** نفك القوس المربع: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = 9$ بتبسيط المعادلة (طرح 9 من الطرفين): $x^2 + y^2 - 6x = 0$ نعلم أن $x^2 + y^2 = r^2$ و $x = r \cos \theta$: $r^2 - 6r \cos \theta = 0$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بقسمة الطرفين على $r$ (بفرض $r \neq 0$): إذن الإجابة هي: **$r = 6 \cos \theta$**

سؤال 51: 51) $x^2 + y^2 = 2y$

الإجابة: س 51: $r = 2 \sin \theta$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة هي $x^2 + y^2 = 2y$. نستخدم العلاقات: $x^2 + y^2 = r^2$ و $y = r \sin \theta$.
2. **الخطوة 2 (الحل):** بالتعويض المباشر في المعادلة: $r^2 = 2(r \sin \theta)$ بقسمة الطرفين على $r$:
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** نحصل على المعادلة القطبية: **$r = 2 \sin \theta$**

سؤال 52: أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يأتي: (الدرس 1-6) 52) $(2, \frac{\pi}{6}), (5, \frac{2\pi}{3})$

الإجابة: س 52: $d = \sqrt{29}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقاط هي: $P_1(2, \frac{\pi}{6})$ و $P_2(5, \frac{2\pi}{3})$. نستخدم قانون المسافة بين نقطتين في المستوى القطبي: $$d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)}$$
2. **الخطوة 2 (الحل):** بالتعويض: $$d = \sqrt{2^2 + 5^2 - 2(2)(5) \cos(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6})}$$ $$d = \sqrt{4 + 25 - 20 \cos(\frac{\pi}{2})}$$ بما أن $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$:
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** $$d = \sqrt{29}$$ إذن المسافة هي **$\sqrt{29}$**

سؤال 53: 53) $(1, -45^\circ), (-5, 210^\circ)$

الإجابة: س 53: $d = \sqrt{26 + \frac{5}{2}(\sqrt{2} - \sqrt{6})} \approx 4.84$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقاط هي: $(1, -45^\circ)$ و $(-5, 210^\circ)$. نلاحظ أن النقطة الثانية لها $r$ سالب، يمكننا تحويلها لنقطة بـ $r$ موجب بإضافة $180^\circ$ للزاوية لتصبح $(5, 30^\circ)$.
2. **الخطوة 2 (الحل):** نطبق قانون المسافة: $$d = \sqrt{1^2 + 5^2 - 2(1)(5) \cos(30^\circ - (-45^\circ))}$$ $$d = \sqrt{26 - 10 \cos(75^\circ)}$$ باستخدام الآلة الحاسبة أو قيم الزوايا الشهيرة:
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** $$d = \sqrt{26 + \frac{5}{2}(\sqrt{2} - \sqrt{6})} \approx 4.84$$ إذن المسافة تقريباً هي **$4.84$**

سؤال 54: حوّل الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي إلى إحداثيات ديكارتية: (الدرس 2-6) 54) $(5, \frac{\pi}{3})$

الإجابة: س 54: $(x, y) = (\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2})$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطة القطبية هي $(5, \frac{\pi}{3})$. - $r = 5$ - $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$
2. **الخطوة 2 (الحل):** نستخدم قوانين التحويل: $x = r \cos \theta = 5 \cos(60^\circ) = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5$ $y = r \sin \theta = 5 \sin(60^\circ) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإحداثيات الديكارتية هي: **$(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2})$**

سؤال 55: 55) $(4, 210^\circ)$

الإجابة: س 55: $(x, y) = (-2\sqrt{3}, -2)$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطة القطبية هي $(4, 210^\circ)$. - $r = 4$ - $\theta = 210^\circ$
2. **الخطوة 2 (الحل):** $x = 4 \cos(210^\circ) = 4 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$ $y = 4 \sin(210^\circ) = 4 \times (-\frac{1}{2}) = -2$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإحداثيات الديكارتية هي: **$(-2\sqrt{3}, -2)$**

سؤال 56: 56) أي مما يأتي يمثل المتجه $\vec{AB}$ وطوله، إذا كان $A(3, 4, -2), B(-5, 2, 1)$؟

الإجابة: س 56: $\vec{AB} = \langle -8, -2, 3 \rangle, |\vec{AB}| = \sqrt{77}$ الإجابة الصحيحة: (A)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا النقطتان $A(3, 4, -2)$ و $B(-5, 2, 1)$. المطلوب إيجاد المتجه $\vec{AB}$ وطوله.
2. **الخطوة 2 (إيجاد المتجه):** $\vec{AB} = B - A = \langle -5-3, 2-4, 1-(-2) \rangle$ $\vec{AB} = \langle -8, -2, 3 \rangle$
3. **الخطوة 3 (إيجاد الطول):** $|\vec{AB}| = \sqrt{(-8)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 4 + 9} = \sqrt{77}$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بمقارنة النتائج مع الخيارات، نجد أن الإجابة الصحيحة هي **(A)**

سؤال 57: 57) ما المسافة بين النقطة $(-3, \frac{5\pi}{3})$ والنقطة $(6, \frac{\pi}{4})$؟

الإجابة: س 57: $\approx 5.97$ الإجابة الصحيحة: (C)

سؤال 58: 58) أي مما يأتي يمثل تقريبًا الصورة القطبية للعدد المركب $21i - 20$؟

الإجابة: س 58: $r = 29, \theta \approx 5.47$ الإجابة الصحيحة: (A)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** العدد المركب هو $z = -20 + 21i$. - الجزء الحقيقي $a = -20$ - الجزء التخيلي $b = 21$
2. **الخطوة 2 (الحسابات):** نوجد المقياس $r$: $r = \sqrt{(-20)^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ نوجد السعة $\theta$: بما أن $a < 0$، فإن $\theta = \tan^{-1}(\frac{21}{-20}) + \pi$ $\theta \approx -0.81 + 3.14 \approx 2.33$ راديان (أو بالدرجات تقريباً $133.6^\circ$)
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالنظر للخيارات المتاحة، الخيار الذي يحتوي على $r=29$ وزاوية في الربع الثاني هو الخيار **(A)**