الإحداثيات القطبية (الدرس 1-6) - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة

ملخص الفصل

مفاهيم أساسية

• يُعيّن موقع النقطة (r, θ) في نظام الإحداثيات القطبية باستعمال المسافة المتجهة r والزاوية المتجهة θ. • المسافة بين النقطتين P1(r1, θ1), P2(r2, θ2) في المستوى القطبي هي: P1P2 = √[r1² + r2² - 2r1r2 cos(θ2 - θ1)]

• الإحداثيات الديكارتية للنقطة P(r, θ) هي (r cos θ, r sin θ). • لتحويل إحداثيات نقطة P(x, y) من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية استعمل المعادلات r = √(x² + y²)، θ = Tan⁻¹(y/x) عندما x > 0، أو θ = Tan⁻¹(y/x) + π عندما x < 0.

• الصورة القطبية أو المثلثية للعدد المركب a + bi هي r(cos θ + i sin θ). • صيغة الضرب لعددين مركبين z1, z2 هي: z1z2 = r1r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)] • صيغة القسمة لعددين مركبين z1, z2 هي: z1/z2 = r1/r2 [cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)], r2 ≠ 0 • تنص نظرية ديموافر على أنه إذا كانت z = r(cos θ + i sin θ) هي الصورة القطبية لعدد مركب، فإن: zⁿ = rⁿ (cos nθ + i sin nθ)، حيث n عدد صحيح موجب.

لأي عدد صحيح n ≥ 2، فإن للعدد المركب r(cos θ + i sin θ)، n من الجذور النونية المختلفة ويمكن إيجادها باستعمال الصيغة: r^(1/n) [cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)] حيث k = 0, 1, 2, ..., n - 1.

نظام الإحداثيات القطبية ص 52 القطب ص 52 المحور القطبي ص 52 الإحداثيات القطبية ص 52 المعادلة القطبية ص 54 التمثيل القطبي ص 54 المستوى المركب ص 68 المحور الحقيقي ص 68 المحور التخيلي ص 68 القيمة المطلقة لعدد مركب ص 68 الصورة القطبية ص 69 الصورة المثلثية ص 69 المقياس ص 69 السعة ص 69 الجذور النونية للعدد واحد ص 75

اختر المفردة المناسبة من القائمة أعلاه لإكمال كل جملة مما يأتي:

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل مفاهيم أساسية --- SECTION: الإحداثيات القطبية (الدرس 1-6) --- • يُعيّن موقع النقطة (r, θ) في نظام الإحداثيات القطبية باستعمال المسافة المتجهة r والزاوية المتجهة θ. • المسافة بين النقطتين P1(r1, θ1), P2(r2, θ2) في المستوى القطبي هي: P1P2 = √[r1² + r2² - 2r1r2 cos(θ2 - θ1)] --- SECTION: الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات (الدرس 2-6) --- • الإحداثيات الديكارتية للنقطة P(r, θ) هي (r cos θ, r sin θ). • لتحويل إحداثيات نقطة P(x, y) من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية استعمل المعادلات r = √(x² + y²)، θ = Tan⁻¹(y/x) عندما x > 0، أو θ = Tan⁻¹(y/x) + π عندما x < 0. --- SECTION: الأعداد المركبة ونظرية ديموافر (الدرس 3-6) --- • الصورة القطبية أو المثلثية للعدد المركب a + bi هي r(cos θ + i sin θ). • صيغة الضرب لعددين مركبين z1, z2 هي: z1z2 = r1r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)] • صيغة القسمة لعددين مركبين z1, z2 هي: z1/z2 = r1/r2 [cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)], r2 ≠ 0 • تنص نظرية ديموافر على أنه إذا كانت z = r(cos θ + i sin θ) هي الصورة القطبية لعدد مركب، فإن: zⁿ = rⁿ (cos nθ + i sin nθ)، حيث n عدد صحيح موجب. --- SECTION: الجذور المختلفة --- لأي عدد صحيح n ≥ 2، فإن للعدد المركب r(cos θ + i sin θ)، n من الجذور النونية المختلفة ويمكن إيجادها باستعمال الصيغة: r^(1/n) [cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)] حيث k = 0, 1, 2, ..., n - 1. --- SECTION: المفردات --- نظام الإحداثيات القطبية ص 52 القطب ص 52 المحور القطبي ص 52 الإحداثيات القطبية ص 52 المعادلة القطبية ص 54 التمثيل القطبي ص 54 المستوى المركب ص 68 المحور الحقيقي ص 68 المحور التخيلي ص 68 القيمة المطلقة لعدد مركب ص 68 الصورة القطبية ص 69 الصورة المثلثية ص 69 المقياس ص 69 السعة ص 69 الجذور النونية للعدد واحد ص 75 --- SECTION: اختبر مفرداتك --- اختر المفردة المناسبة من القائمة أعلاه لإكمال كل جملة مما يأتي: 1. ______ هو مجموعة كل النقاط (r, θ) التي تحقق معادلة قطبية معطاة. 2. المستوى الذي يحوي محوراً يمثل الجزء الحقيقي، وآخر يمثل الجزء التخيلي هو ______. 3. يُحدد موقع نقطة في ______ باستعمال المسافة المتجهة من نقطة ثابتة إلى النقطة نفسها، وزاوية متجهة من محور ثابت. 4. ______ هي الزاوية θ لعدد مركب مكتوب على الصورة: r(cos θ + i sin θ). 5. تُسمى نقطة الأصل في نظام الإحداثيات القطبية بـ ______. 6. تُسمى القيمة المطلقة لعدد مركب بـ ______. 7. ______ هو اسم آخر للمستوى المركب. 8. ______ هو نصف مستقيم ممتد من القطب، ويكون أفقياً باتجاه اليمين. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A polar coordinate system showing concentric circles labeled 1, 2, 3, 4 and radial lines labeled with angles from 0° to 330° in 30° increments. Two points P1(r1, θ1) and P2(r2, θ2) are plotted and connected by a line segment. X-axis: Polar axis (0°) Y-axis: 90° axis Key Values: 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 330°, 1, 2, 3, 4 Context: Illustrates the distance between two points in a polar coordinate system.