صفحة 85 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: NON_EDUCATIONAL

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

نوع: محتوى تعليمي

التهيئة للفصل 7

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة المفردات

نوع: محتوى تعليمي

التباديل (Permutations) : هي تنظيم لمجموعة من العناصر، حيث يكون الترتيب فيها مهمًا.

نوع: محتوى تعليمي

التوافيق (Combinations) : هي تنظيم لمجموعة من العناصر، حيث يكون الترتيب فيها غير مهم.

نوع: محتوى تعليمي

الحادثتان المستقلتان (Independent Events) : تكون A و B حادثتين مستقلتين، إذا كان احتمال حدوث A لا يؤثر في احتمال حدوث B.

نوع: محتوى تعليمي

الحادثتان غير المستقلتين (Dependent Events) : تكون A و B حادثتين مستقلتين، إذا كان احتمال حدوث A يغيّر بطريقة ما احتمال حدوث B.

نوع: محتوى تعليمي

الحادثتان المتنافيتان (Mutually Exclusive Events) : تكون A و B حادثتين متنافيتين، إذا لم يكن وقوعهما ممكنًا في الوقت نفسه.

نوع: محتوى تعليمي

نظرية ذات الحدين (Binomial Theorem) : إذا كان n عددًا طبيعيًا، فإن : (a + b)^n = nC0 a^n b^0 + nC1 a^(n-1) b^1 + nC2 a^(n-2) b^2 + ... + nCn a^0 b^n = Σ (k=0 to n) [n! / (k!(n - k)!)] a^(n - k) b^k

نوع: محتوى تعليمي

فضاء العينة (Sample Space) : هو مجموعة النواتج الممكنة لتجربة ما.

نوع: محتوى تعليمي

الاحتمال (Probability) : هو النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معينة.

نوع: محتوى تعليمي

اختبار سريع

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدّد ما إذا كانت الحوادث الآتية مستقلة، أو غير مستقلة.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدّد ما إذا كانت كل حالة من الحالات الآتية تتطلب تطبيق التباديل أو التوافيق في حلها:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب مفكوك كل من العبارات الآتية:

نوع: METADATA

وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 7 التهيئة للفصل 85 2023 - 1445

🔍 عناصر مرئية

QR code for digital lesson link with text 'رابط الدرس الرقمي' and website 'www.ien.edu.sa'.

A bordered box containing the 'Quick Test' questions. It has a red header with the title 'اختبار سريع'.

A photograph of a student wearing a traditional Saudi shemagh, holding a pen and looking at a paper, representing the educational context of studying.

📄 النص الكامل للصفحة

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa التهيئة للفصل 7 مراجعة المفردات التباديل (Permutations) : هي تنظيم لمجموعة من العناصر، حيث يكون الترتيب فيها مهمًا. التوافيق (Combinations) : هي تنظيم لمجموعة من العناصر، حيث يكون الترتيب فيها غير مهم. الحادثتان المستقلتان (Independent Events) : تكون A و B حادثتين مستقلتين، إذا كان احتمال حدوث A لا يؤثر في احتمال حدوث B. الحادثتان غير المستقلتين (Dependent Events) : تكون A و B حادثتين مستقلتين، إذا كان احتمال حدوث A يغيّر بطريقة ما احتمال حدوث B. الحادثتان المتنافيتان (Mutually Exclusive Events) : تكون A و B حادثتين متنافيتين، إذا لم يكن وقوعهما ممكنًا في الوقت نفسه. نظرية ذات الحدين (Binomial Theorem) : إذا كان n عددًا طبيعيًا، فإن : (a + b)^n = nC0 a^n b^0 + nC1 a^(n-1) b^1 + nC2 a^(n-2) b^2 + ... + nCn a^0 b^n = Σ (k=0 to n) [n! / (k!(n - k)!)] a^(n - k) b^k فضاء العينة (Sample Space) : هو مجموعة النواتج الممكنة لتجربة ما. الاحتمال (Probability) : هو النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معينة. اختبار سريع حدّد ما إذا كانت الحوادث الآتية مستقلة، أو غير مستقلة. 1. اختيار قصة وكتاب آخر لا يمثل قصة من مكتبة. 2. اختيار رئيس، ونائب رئيس، وسكرتير، ومحاسب في نادٍ، على افتراض أن الشخص الواحد لا يشغل سوى منصب واحد. 3. اختيار طالب ومعلم ومشرف اجتماعي للمشاركة في تنظيم الرحلات المدرسية. حدّد ما إذا كانت كل حالة من الحالات الآتية تتطلب تطبيق التباديل أو التوافيق في حلها: 4. اصطفاف سبعة أشخاص في صف واحد عند المحاسب في أحد المتاجر. 5. ترتيب أحرف كلمة «مدرسة». 6. اختيار نكهتين مختلفتين لفطيرة من بين 6 نكهات. اكتب مفكوك كل من العبارات الآتية: 7. (a - 2)^4 8. (2a + b)^6 9. (3x - 2y)^5 10. (a/2 + 2)^5 وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 7 التهيئة للفصل 85 2023 - 1445 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link with text 'رابط الدرس الرقمي' and website 'www.ien.edu.sa'. **FIGURE**: Untitled Description: A bordered box containing the 'Quick Test' questions. It has a red header with the title 'اختبار سريع'. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a student wearing a traditional Saudi shemagh, holding a pen and looking at a paper, representing the educational context of studying.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 7

سؤال ١: اختيار قصة وكتاب آخر لا يمثل قصة من مكتبة.

الإجابة: ١: غير مستقلة.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال: عند اختيار قصة وكتاب آخر لا يمثل قصة من مكتبة، نلاحظ أن الاختيارين مرتبطين. لأن اختيار الكتاب الآخر يعتمد على ما تم اختياره أولاً (القصة). إذا اخترت قصة معينة، فهذا يؤثر على اختيار الكتاب الآخر (يجب أن يكون غير قصة). إذن، الاختيارين ليسا مستقلين، لأن نتيجة أحدهم تؤثر في الآخر. لذلك الإجابة هي: **غير مستقلة**.

سؤال ٢: اختيار رئيس، ونائب رئيس، وسكرتير، ومحاسب في نادٍ، على افتراض أن الشخص الواحد لا يشغل سوى منصب واحد.

الإجابة: ٢: غير مستقلة.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** الفكرة هنا هي اختيار أربعة أشخاص لمناصب مختلفة (رئيس، نائب رئيس، سكرتير، محاسب) في نادٍ، مع شرط أن الشخص الواحد لا يشغل سوى منصب واحد. هذا يعني أن اختيار شخص لمنصب ما يمنع اختياره للمناصب الأخرى. لذلك، الاختيارات ليست مستقلة، لأن اختيار شخص لمنصب معين يؤثر على الاختيارات المتبقية (يقلل عدد الأشخاص المتاحين للمناصب الأخرى). إذن الإجابة هي: **غير مستقلة**.

سؤال س:٣: اختيار طالب ومعلم ومشرف اجتماعي للمشاركة في تنظيم الرحلات المدرسية.

الإجابة: س:٣: مستقلة.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** في هذا السؤال، نختار طالباً ومعلماً ومشرفاً اجتماعياً للمشاركة في تنظيم الرحلات المدرسية. نلاحظ أن كل فئة (طالب، معلم، مشرف اجتماعي) منفصلة عن الأخرى، واختيار شخص من فئة لا يؤثر على اختيار شخص من فئة أخرى. مثلاً، اختيار طالب معين لا يمنع اختيار أي معلم أو مشرف اجتماعي، لأنهم من مجموعات مختلفة. إذن، الاختيارات مستقلة عن بعضها. لذلك الإجابة هي: **مستقلة**.

سؤال س:٤: اصطفاف سبعة أشخاص في صف واحد عند المحاسب في أحد المتاجر.

الإجابة: س:٤: التباديل.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال: عند اصطفاف سبعة أشخاص في صف واحد عند المحاسب، الترتيب مهم هنا. لأن تغيير مواقع الأشخاص في الصف يعطي ترتيباً مختلفاً (مثلاً، الشخص الأول في الصف ليس كالشخص الأخير). في الرياضيات، عندما يكون الترتيب مهماً ونختار جميع العناصر (هنا 7 أشخاص) ونرتبهم، نستخدم **التباديل**. إذن الإجابة هي: **التباديل**.

سؤال س:٥: ترتيب أحرف كلمة «مدرسة».

الإجابة: س:٥: التباديل.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** كلمة «مدرسة» تتكون من 6 أحرف مختلفة (م، د، ر، س، ة، ا). عند ترتيب هذه الأحرف، الترتيب مهم لأن تغيير مواقع الأحرف يعطي كلمات مختلفة (مثلاً، «درسةم» تختلف عن «مدرسة»). وهنا نرتب جميع الأحرف (6 أحرف) وليس جزءاً منها، والترتيب يؤثر في النتيجة. لذلك نستخدم **التباديل**. إذن الإجابة هي: **التباديل**.

سؤال س:٦: اختيار نكهتين مختلفتين لفطيرة من بين 6 نكهات.

الإجابة: س:٦: التوافيق.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** في هذا السؤال، نختار نكهتين مختلفتين لفطيرة من بين 6 نكهات. الفكرة هنا أن الترتيب غير مهم، لأن اختيار نكهتين (مثلاً، شوكولاتة وفراولة) هو نفسه اختيار (فراولة وشوكولاتة) في حالة الفطيرة. عندما يكون الاختيار لمجموعة (هنا نكهتين) والترتيب لا يؤثر، نستخدم **التوافيق**. إذن الإجابة هي: **التوافيق**.

سؤال مربع-1: اكتب مفكوك كل من العبارات الآتية: (7) (a - 2)^4 (8) (2a + b)^6 (9) (3x - 2y)^5 (10) (a/2 + 2)^5

الإجابة: ٧: a^4 - 8a^3 + 24a^2 - 32a + 16 ٨: 64a^6 + 192a^5 b + 240a^4 b^2 + 160a^3 b^3 + 60a^2 b^4 + 12a b^5 + b^6 ٩: 243x^5 - 810x^4 y + 1080x^3 y^2 - 720x^2 y^3 + 240x y^4 - 32y^5 ١٠: a^5/32 + (5/8)a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 40a + 32

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والقانون):** لدينا أربع عبارات جبرية مرفوعة لأسس، ونريد مفكوكها. نستخدم نظرية ذات الحدين (الثنائي): $$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$ حيث $\binom{n}{k}$ هو معامل التوافيق. **الخطوة 2 (الحل للعبارة 7):** $(a - 2)^4$، هنا $x = a$، $y = -2$، $n = 4$. نحسب: - الحد الأول: $\binom{4}{0} a^4 (-2)^0 = 1 \cdot a^4 \cdot 1 = a^4$ - الحد الثاني: $\binom{4}{1} a^3 (-2)^1 = 4 \cdot a^3 \cdot (-2) = -8a^3$ - الحد الثالث: $\binom{4}{2} a^2 (-2)^2 = 6 \cdot a^2 \cdot 4 = 24a^2$ - الحد الرابع: $\binom{4}{3} a^1 (-2)^3 = 4 \cdot a \cdot (-8) = -32a$ - الحد الخامس: $\binom{4}{4} a^0 (-2)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16$ إذن المفكوك: $a^4 - 8a^3 + 24a^2 - 32a + 16$ **الخطوة 3 (الحل للعبارة 8):** $(2a + b)^6$، هنا $x = 2a$، $y = b$، $n = 6$. نحسب الحدود باستخدام نظرية ذات الحدين: - $\binom{6}{0} (2a)^6 b^0 = 1 \cdot 64a^6 \cdot 1 = 64a^6$ - $\binom{6}{1} (2a)^5 b^1 = 6 \cdot 32a^5 \cdot b = 192a^5 b$ - $\binom{6}{2} (2a)^4 b^2 = 15 \cdot 16a^4 \cdot b^2 = 240a^4 b^2$ - $\binom{6}{3} (2a)^3 b^3 = 20 \cdot 8a^3 \cdot b^3 = 160a^3 b^3$ - $\binom{6}{4} (2a)^2 b^4 = 15 \cdot 4a^2 \cdot b^4 = 60a^2 b^4$ - $\binom{6}{5} (2a)^1 b^5 = 6 \cdot 2a \cdot b^5 = 12a b^5$ - $\binom{6}{6} (2a)^0 b^6 = 1 \cdot 1 \cdot b^6 = b^6$ إذن المفكوك: $64a^6 + 192a^5 b + 240a^4 b^2 + 160a^3 b^3 + 60a^2 b^4 + 12a b^5 + b^6$ **الخطوة 4 (الحل للعبارة 9):** $(3x - 2y)^5$، هنا $x = 3x$، $y = -2y$، $n = 5$. نحسب: - $\binom{5}{0} (3x)^5 (-2y)^0 = 1 \cdot 243x^5 \cdot 1 = 243x^5$ - $\binom{5}{1} (3x)^4 (-2y)^1 = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-2y) = -810x^4 y$ - $\binom{5}{2} (3x)^3 (-2y)^2 = 10 \cdot 27x^3 \cdot 4y^2 = 1080x^3 y^2$ - $\binom{5}{3} (3x)^2 (-2y)^3 = 10 \cdot 9x^2 \cdot (-8y^3) = -720x^2 y^3$ - $\binom{5}{4} (3x)^1 (-2y)^4 = 5 \cdot 3x \cdot 16y^4 = 240x y^4$ - $\binom{5}{5} (3x)^0 (-2y)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-32y^5) = -32y^5$ إذن المفكوك: $243x^5 - 810x^4 y + 1080x^3 y^2 - 720x^2 y^3 + 240x y^4 - 32y^5$ **الخطوة 5 (الحل للعبارة 10):** $(\frac{a}{2} + 2)^5$، هنا $x = \frac{a}{2}$، $y = 2$، $n = 5$. نحسب: - $\binom{5}{0} (\frac{a}{2})^5 (2)^0 = 1 \cdot \frac{a^5}{32} \cdot 1 = \frac{a^5}{32}$ - $\binom{5}{1} (\frac{a}{2})^4 (2)^1 = 5 \cdot \frac{a^4}{16} \cdot 2 = \frac{10a^4}{16} = \frac{5}{8}a^4$ - $\binom{5}{2} (\frac{a}{2})^3 (2)^2 = 10 \cdot \frac{a^3}{8} \cdot 4 = \frac{40a^3}{8} = 5a^3$ - $\binom{5}{3} (\frac{a}{2})^2 (2)^3 = 10 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot 8 = \frac{80a^2}{4} = 20a^2$ - $\binom{5}{4} (\frac{a}{2})^1 (2)^4 = 5 \cdot \frac{a}{2} \cdot 16 = \frac{80a}{2} = 40a$ - $\binom{5}{5} (\frac{a}{2})^0 (2)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 32 = 32$ إذن المفكوك: $\frac{a^5}{32} + \frac{5}{8}a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 40a + 32$ **الخطوة 6 (النتيجة):** إذن مفكوك العبارات هو: - (7): $a^4 - 8a^3 + 24a^2 - 32a + 16$ - (8): $64a^6 + 192a^5 b + 240a^4 b^2 + 160a^3 b^3 + 60a^2 b^4 + 12a b^5 + b^6$ - (9): $243x^5 - 810x^4 y + 1080x^3 y^2 - 720x^2 y^3 + 240x y^4 - 32y^5$ - (10): $\frac{a^5}{32} + \frac{5}{8}a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 40a + 32$