صيغة المسافة في المستوى الإحداثي - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

التهيئة للفصل 5

مراجعة المفردات

صيغة المسافة في المستوى الإحداثي (Distance Formula in The Coordinate Plane) المسافة بين النقطتين A(x1, y1), B(x2, y2) هي: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

صيغة إحداثيي منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي (Midpoint Formula in The Coordinate Plane) إذا كان A(x1, y1), B(x2, y2)، فإن إحداثيي نقطة منتصف AB: M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

النسبة المثلثية (Trigonometric Ratio) نسبة تقارن بين طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية.

الدوال المثلثية للزوايا (Trigonometric Functions of Angles) لتكن θ زاوية مرسومة في الوضع القياسي، وتقع النقطة P(x, y) على ضلع انتهائها. باستعمال نظرية فيثاغورس يمكن إيجاد r (المسافة من النقطة P إلى نقطة الأصل) باستعمال الصيغة r = √(x² + y²)، وتكون الدوال المثلثية الست للزاوية θ معرفة كما يأتي: sin θ = y/r, cos θ = x/r, tan θ = y/x, x ≠ 0, csc θ = r/y, y ≠ 0, sec θ = r/x, x ≠ 0, cot θ = x/y, y ≠ 0

قانون جيوب التمام (Law of Cosines) إذا كانت أضلاع ΔABC التي أطوالها a, b, c تقابل الزوايا ذات القياسات A, B, C على الترتيب، فإن العلاقات الآتية تكون صحيحة: a² = b² + c² - 2bc cos A b² = a² + c² - 2ac cos B c² = a² + b² - 2ab cos C

قانون الجيوب (Law of Sines) إذا كانت أضلاع ΔABC التي أطوالها a, b, c تقابل الزوايا ذات القياسات A, B, C على الترتيب، فإن العلاقات الآتية تكون صحيحة: (sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c

اختبار سريع

أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط الآتية، ثم أوجد إحداثيي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بينهما.

(1, 4), (-2, 4)

(-5, 3), (-5, 8)

(2, -9), (-3, -7)

(-4, -1), (-6, -8)

أوجد قيمة x في كل مما يأتي مقربًا الناتج إلى أقرب عُشر.

أوجد قيمة x للمثلث الموضح في الشكل (5).

أوجد قيمة x للمثلث الموضح في الشكل (6).

أوجد قيمة x للمثلث الموضح في الشكل (7).

أوجد قيمة x للمثلث الموضح في الشكل (8).

9) بالون: أُطلق بالون يحتوي على هواء ساخن في الفضاء. إذا كان البالون مربوطًا بحبلين مشدودين يمسك بكل منهما شخص يقف على سطح الأرض، والمسافة بين الشخصين 35 ft، بحيث كان قياس الزاوية بين كل من الحبلين والأرض 40°، فأوجد طول كل من الحبلين إلى أقرب جزء من عشرة.

أوجد جميع الحلول الممكنة لكل مثلث مما يأتي إن أمكن، وإذا لم يوجد حلّ فاكتب "لا يوجد حلّ" مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب عدد صحيح، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة.

a = 10, b = 7, A = 128°

a = 15, b = 16, A = 127°

a = 15, b = 18, A = 52°

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa التهيئة للفصل 5 مراجعة المفردات --- SECTION: صيغة المسافة في المستوى الإحداثي --- صيغة المسافة في المستوى الإحداثي (Distance Formula in The Coordinate Plane) المسافة بين النقطتين A(x1, y1), B(x2, y2) هي: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) --- SECTION: صيغة إحداثيي منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي --- صيغة إحداثيي منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي (Midpoint Formula in The Coordinate Plane) إذا كان A(x1, y1), B(x2, y2)، فإن إحداثيي نقطة منتصف AB: M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) --- SECTION: النسبة المثلثية --- النسبة المثلثية (Trigonometric Ratio) نسبة تقارن بين طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية. --- SECTION: الدوال المثلثية للزوايا --- الدوال المثلثية للزوايا (Trigonometric Functions of Angles) لتكن θ زاوية مرسومة في الوضع القياسي، وتقع النقطة P(x, y) على ضلع انتهائها. باستعمال نظرية فيثاغورس يمكن إيجاد r (المسافة من النقطة P إلى نقطة الأصل) باستعمال الصيغة r = √(x² + y²)، وتكون الدوال المثلثية الست للزاوية θ معرفة كما يأتي: sin θ = y/r, cos θ = x/r, tan θ = y/x, x ≠ 0, csc θ = r/y, y ≠ 0, sec θ = r/x, x ≠ 0, cot θ = x/y, y ≠ 0 --- SECTION: قانون جيوب التمام --- قانون جيوب التمام (Law of Cosines) إذا كانت أضلاع ΔABC التي أطوالها a, b, c تقابل الزوايا ذات القياسات A, B, C على الترتيب، فإن العلاقات الآتية تكون صحيحة: a² = b² + c² - 2bc cos A b² = a² + c² - 2ac cos B c² = a² + b² - 2ab cos C --- SECTION: قانون الجيوب --- قانون الجيوب (Law of Sines) إذا كانت أضلاع ΔABC التي أطوالها a, b, c تقابل الزوايا ذات القياسات A, B, C على الترتيب، فإن العلاقات الآتية تكون صحيحة: (sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c اختبار سريع أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط الآتية، ثم أوجد إحداثيي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بينهما. (1, 4), (-2, 4) (-5, 3), (-5, 8) (2, -9), (-3, -7) (-4, -1), (-6, -8) أوجد قيمة x في كل مما يأتي مقربًا الناتج إلى أقرب عُشر. أوجد قيمة x للمثلث الموضح في الشكل (5). أوجد قيمة x للمثلث الموضح في الشكل (6). أوجد قيمة x للمثلث الموضح في الشكل (7). أوجد قيمة x للمثلث الموضح في الشكل (8). 9) بالون: أُطلق بالون يحتوي على هواء ساخن في الفضاء. إذا كان البالون مربوطًا بحبلين مشدودين يمسك بكل منهما شخص يقف على سطح الأرض، والمسافة بين الشخصين 35 ft، بحيث كان قياس الزاوية بين كل من الحبلين والأرض 40°، فأوجد طول كل من الحبلين إلى أقرب جزء من عشرة. أوجد جميع الحلول الممكنة لكل مثلث مما يأتي إن أمكن، وإذا لم يوجد حلّ فاكتب "لا يوجد حلّ" مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب عدد صحيح، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. a = 10, b = 7, A = 128° a = 15, b = 16, A = 127° a = 15, b = 18, A = 52° --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لزاوية θ في الوضع القياسي في المستوى الإحداثي. يقع ضلع الانتهاء في الربع الثاني، وتوجد عليه نقطة P(x, y). يظهر نصف القطر r كمسافة من الأصل إلى P. يكتمل مثلث قائم الزاوية بإسقاط عمود من P على محور x، حيث طول الضلع الأفقي x والضلع الرأسي y. Context: يوضح تعريف الدوال المثلثية الست لزاوية في الوضع القياسي باستخدام إحداثيات نقطة على ضلع الانتهاء. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم لمثلث غير قائم الزاوية ABC. رؤوس المثلث هي A, B, C. الأضلاع المقابلة لهذه الرؤوس يرمز لها بـ a, b, c على الترتيب. Context: يوضح التسميات القياسية للمثلث المستخدمة في قوانين الجيوب وجيوب التمام. **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة في الركن السفلي الأيمن. طول الوتر 15. قياس الزاوية في الركن السفلي الأيسر 21°. الضلع المقابل للزاوية 21° (الضلع الرأسي) يرمز له بـ x. Context: تطبيق لإيجاد طول ضلع في مثلث قائم باستخدام الجيب (sin). **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة في الركن السفلي الأيسر. طول الوتر 9. قياس الزاوية في الركن السفلي الأيمن 39°. الضلع المقابل للزاوية 39° (الضلع الرأسي) يرمز له بـ x. Context: تطبيق لإيجاد طول ضلع في مثلث قائم باستخدام الجيب (sin). **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة في الركن السفلي الأيمن. طول الوتر يرمز له بـ x. الضلع الرأسي طوله 7. قياس الزاوية العلوية 55°. Context: تطبيق لإيجاد طول الوتر باستخدام جيب التمام (cos) للزاوية 55° حيث الضلع 7 هو المجاور لها. **DIAGRAM**: Untitled Description: مثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة في الركن العلوي الأيسر. طول الوتر 26. قياس الزاوية في الركن السفلي الأيمن 44°. الضلع السفلي (المجاور للزاوية 44°) يرمز له بـ x. Context: تطبيق لإيجاد طول ضلع في مثلث قائم باستخدام جيب التمام (cos).