إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

ويمكن التعبير عن اتجاه المتجه أيضًا باستعمال زاوية الاتجاه الربعي φ ، وتُقرأ فاي، وهي زاوية قياسها بين 0° و 90° شرق أو غرب الخط الرأسي (خط شمال - جنوب). فمثلاً زاوية الاتجاه الربعي للمتجه v في الشكل المجاور هي 35° جنوب شرق، وتُكتب S 35° E . كما يمكن استعمال زاوية الاتجاه الحقيقي، حيث تُقاس الزاوية مع عقارب الساعة بدءًا من الشمال. ويُقاس الاتجاه الحقيقي بثلاثة أرقام، فمثلاً يُكتب الاتجاه الذي يحدّد زاوية قياسها 25° من الشمال مع عقارب الساعة باستعمال الاتجاه الحقيقي على الصورة 025° .

زاوية الاتجاه الحقيقي إذا أُعطي قياس زاوية بثلاثة أرقام، ولم تعطَ أي مركبات اتجاهية إضافية، فإنها زاوية اتجاه حقيقي. فمثلاً زاوية الاتجاه الحقيقي للمتجه v في الشكل المجاور هي 145° .

تمثيل المتجه هندسياً استعمل مسطرة ومنقلة؛ لرسم متجه لكل من الكميات الآتية، واكتب مقياس الرسم في كل حالة:

a) a = 20 ft/s باتجاه 030° . استعمل مقياس الرسم 1 cm = 10 ft/s ، وارسم سهمًا طوله 20 ÷ 10 ، أو 2 cm بزاوية قياسها 30° من الشمال، وفي اتجاه عقارب الساعة.

النيوتن وحدة لقياس القوة، ويرمز له بالحرف N، وهو عبارة عن القوة التي تؤثر في جسم كتلته 1 kg ؛ لتكسبه تسارعاً مقداره 1 m/s2 .

b) v = 75 N ، بزاوية قياسها 140° مع الاتجاه الأفقي. استعمل مقياس الرسم 1 cm = 25 N ، وارسم سهمًا طوله 75 ÷ 25 ، أو 3 cm في الوضع القياسي، وبزاوية قياسها 140° مع الاتجاه الموجب للمحور x .

c) z = 30 mi/h باتجاه S 60° W . استعمل مقياس الرسم 1 in = 20 mi / h ، وارسم سهمًا طوله 30 ÷ 20 = 1.5 in ، بزاوية قياسها 60° في اتجاه جنوب غرب .

تحقق من فهمك استعمل مسطرة ومنقلة؛ لرسم متجه لكل من الكميات الآتية، واكتب مقياس الرسم في كل حالة:

2A) t = 20 ft/s ، باتجاه 065° .

2B) u = 15 mi/h ، باتجاه S 25° E .

2C) m = 60 N ، بزاوية قياسها 80° مع الاتجاه الأفقي.

الطول يمكن أن يمثل طول المتجه مسافة، أو سرعة، أو قوة. وإذا مثل المتجه سرعة، فإن طوله لا يمثل المسافة المقطوعة .

عند إجرائك العمليات على المتجهات، فإنك تحتاج إلى الأنواع الشائعة الآتية من المتجهات: • المتجهات المتوازية لها الاتجاه نفسه، أو اتجاهان متعاكسان، وليس بالضرورة أن يكون لها الطول نفسه. فمثلاً في الشكل المجاور a || b || c || e || f . • المتجهات المتساوية لها الاتجاه نفسه، والطول نفسه. ففي الشكل المجاور a, c ؛ لهما الطول والاتجاه نفسهما، لذا هما متساويان، ويعبّر عنه بالرموز: a = c . لاحظ أن a ≠ b ؛ لأن |a| ≠ |b| ، و a ≠ d ؛ لأن لهما اتجاهين مختلفين. • المتجهان المتعاكسان لهما الطول نفسه، لكن اتجاهيهما متعاكسان. يكتب المتجه المعاكس للمتجه a على الصورة -a ، ففي الشكل المجاور e = -a .

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 الدرس 1-5 مقدمة في المتجهات 11

ويمكن التعبير عن اتجاه المتجه أيضًا باستعمال زاوية الاتجاه الربعي φ ، وتُقرأ فاي، وهي زاوية قياسها بين 0° و 90° شرق أو غرب الخط الرأسي (خط شمال - جنوب). فمثلاً زاوية الاتجاه الربعي للمتجه v في الشكل المجاور هي 35° جنوب شرق، وتُكتب S 35° E . كما يمكن استعمال زاوية الاتجاه الحقيقي، حيث تُقاس الزاوية مع عقارب الساعة بدءًا من الشمال. ويُقاس الاتجاه الحقيقي بثلاثة أرقام، فمثلاً يُكتب الاتجاه الذي يحدّد زاوية قياسها 25° من الشمال مع عقارب الساعة باستعمال الاتجاه الحقيقي على الصورة 025° . --- SECTION: إرشادات للدراسة --- زاوية الاتجاه الحقيقي إذا أُعطي قياس زاوية بثلاثة أرقام، ولم تعطَ أي مركبات اتجاهية إضافية، فإنها زاوية اتجاه حقيقي. فمثلاً زاوية الاتجاه الحقيقي للمتجه v في الشكل المجاور هي 145° . --- SECTION: مثال 2 --- تمثيل المتجه هندسياً استعمل مسطرة ومنقلة؛ لرسم متجه لكل من الكميات الآتية، واكتب مقياس الرسم في كل حالة: --- SECTION: a --- a) a = 20 ft/s باتجاه 030° . استعمل مقياس الرسم 1 cm = 10 ft/s ، وارسم سهمًا طوله 20 ÷ 10 ، أو 2 cm بزاوية قياسها 30° من الشمال، وفي اتجاه عقارب الساعة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- النيوتن وحدة لقياس القوة، ويرمز له بالحرف N، وهو عبارة عن القوة التي تؤثر في جسم كتلته 1 kg ؛ لتكسبه تسارعاً مقداره 1 m/s2 . --- SECTION: b --- b) v = 75 N ، بزاوية قياسها 140° مع الاتجاه الأفقي. استعمل مقياس الرسم 1 cm = 25 N ، وارسم سهمًا طوله 75 ÷ 25 ، أو 3 cm في الوضع القياسي، وبزاوية قياسها 140° مع الاتجاه الموجب للمحور x . --- SECTION: c --- c) z = 30 mi/h باتجاه S 60° W . استعمل مقياس الرسم 1 in = 20 mi / h ، وارسم سهمًا طوله 30 ÷ 20 = 1.5 in ، بزاوية قياسها 60° في اتجاه جنوب غرب . --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك استعمل مسطرة ومنقلة؛ لرسم متجه لكل من الكميات الآتية، واكتب مقياس الرسم في كل حالة: --- SECTION: 2A --- 2A) t = 20 ft/s ، باتجاه 065° . --- SECTION: 2B --- 2B) u = 15 mi/h ، باتجاه S 25° E . --- SECTION: 2C --- 2C) m = 60 N ، بزاوية قياسها 80° مع الاتجاه الأفقي. --- SECTION: تنبيه! --- الطول يمكن أن يمثل طول المتجه مسافة، أو سرعة، أو قوة. وإذا مثل المتجه سرعة، فإن طوله لا يمثل المسافة المقطوعة . عند إجرائك العمليات على المتجهات، فإنك تحتاج إلى الأنواع الشائعة الآتية من المتجهات: • المتجهات المتوازية لها الاتجاه نفسه، أو اتجاهان متعاكسان، وليس بالضرورة أن يكون لها الطول نفسه. فمثلاً في الشكل المجاور a || b || c || e || f . • المتجهات المتساوية لها الاتجاه نفسه، والطول نفسه. ففي الشكل المجاور a, c ؛ لهما الطول والاتجاه نفسهما، لذا هما متساويان، ويعبّر عنه بالرموز: a = c . لاحظ أن a ≠ b ؛ لأن |a| ≠ |b| ، و a ≠ d ؛ لأن لهما اتجاهين مختلفين. • المتجهان المتعاكسان لهما الطول نفسه، لكن اتجاهيهما متعاكسان. يكتب المتجه المعاكس للمتجه a على الصورة -a ، ففي الشكل المجاور e = -a . وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 الدرس 1-5 مقدمة في المتجهات 11 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: Diagram showing a vector v with an angle φ = 35° measured from the South axis towards the East axis. The axes are labeled N (North), S (South), E (East), W (West). An additional angle of 145° is shown from North clockwise to the vector. X-axis: W - E Y-axis: N - S **GRAPH**: a = 20 ft/s at 030° Description: Vector 'a' starts at the origin O. It makes an angle of 30° with the North axis (positive y-axis) measured clockwise. The scale is 1 cm = 10 ft/s. The vector length is 2 cm. X-axis: W - E Y-axis: N - S Key Values: 1 cm = 10 ft/s, Angle = 30° from North **GRAPH**: v = 75 N at 140° Description: Vector 'v' starts at the origin O. It makes an angle of 140° with the positive x-axis (East) measured counter-clockwise. The scale is 1 cm = 25 N. The vector length is 3 cm. X-axis: x Y-axis: y Key Values: 1 cm = 25 N, Angle = 140° from positive x-axis **GRAPH**: z = 30 mi/h at S 60° W Description: Vector 'z' starts at the origin O. It makes an angle of 60° with the West axis (negative x-axis) measured towards the South axis (negative y-axis). The scale is 1 in = 20 mi/h. The vector length is 1.5 in. X-axis: W - E Y-axis: N - S Key Values: 1 in = 20 mi/h, Angle = 60° from West towards South **DIAGRAM**: Untitled Description: Diagram showing six vectors labeled a, b, c, d, e, f. Vectors a, b, c, e, f are parallel. a and c have the same length and direction. b is longer than a. e and f are parallel to a but point in the opposite direction. Vector d is horizontal and not parallel to the others.