مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

عند جمع متجهين أو أكثر يكون الناتج متجهاً، ويسمى المحصلة. ويكون لمتجه المحصلة التأثير نفسه الناتج عن تأثير المتجهين الأصليين عند تطبيقهما واحداً تلو الآخر. ويمكن إيجاد المحصلة هندسياً باستعمال قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع.

مفهوم أساسي إيجاد المحصلة

لإيجاد محصلة المتجهين a, b، اتبع الخطوتين الآتيتين: الخطوة 1 أجر انسحاباً للمتجه b، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه a. الخطوة 2 محصلة المتجهين a, b هي المتجه المرسوم من نقطة بداية a إلى نقطة نهاية b.

لإيجاد محصلة المتجهين a, b، اتبع الخطوات الآتية: الخطوة 1 أجر انسحاباً للمتجه b، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية المتجه a. الخطوة 2 أكمل رسم متوازي الأضلاع الذي ضلعاه a, b. الخطوة 3 محصلة المتجهين هي المتجه الذي يُمثله قطر متوازي الأضلاع.

المحصلة لإيجاد محصلة أكثر من متجهين باستعمال قاعدة متوازي الأضلاع، يلزم إعادة الرسم أكثر من مرة؛ لذا من الأسهل في هذه الحالة استعمال طريقة مشابهة لقاعدة المثلث، وذلك بوضع نقطة بداية متجه عند نقطة نهاية المتجه الذي يسبقه وهكذا.

رياضة المشي: قطع عبد الله في سباق للمشي، مسافة 120 m باتجاه N 50° E، ثم مسافة 80 m في اتجاه الشرق. كم يبعد عبد الله عن نقطة البداية، وما هي زاوية الاتجاه الربعي؟ افترض أن المتجه p يمثل المشي 120 m في الاتجاه N 50° E، وأن المتجه q يمثل المشي 80 m باتجاه الشرق. ارسم شكلاً يمثل p, q باستعمال مقياس الرسم 1 cm = 50 m. استعمل مسطرة ومنقلة؛ لرسم سهم طوله 120 ÷ 50 = 2.4 cm؛ ويصنع زاوية قياسها 50° شمال شرق؛ ليمثل المتجه p، وارسم سهماً آخر طوله 80 ÷ 50 = 1.6 cm في اتجاه الشرق؛ ليمثل المتجه q.

اعمل انسحاباً للمتجه q، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه p، ثم ارسم متجه المحصلة p + q كما في الشكل أدناه.

اعمل انسحاباً للمتجه q، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية المتجه p، ثم أكمل متوازي الأضلاع، وارسم قطره الذي يمثل المحصلة p + q، كما في الشكل أدناه.

نحصل في كلتا الطريقتين على متجه المحصلة p + q نفسه. قس طول p + q باستعمال المسطرة، ثم قس الزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع الخط الرأسي كما في الشكل المجاور. تجد أن طول المتجه يساوي 3.7 cm تقريباً، ويُمثل 185 m = 50 × 3.7. وعليه يكون عبد الله على بعد 185 m من نقطة البداية باتجاه N 66° E.

عند جمع متجهين أو أكثر يكون الناتج متجهاً، ويسمى المحصلة. ويكون لمتجه المحصلة التأثير نفسه الناتج عن تأثير المتجهين الأصليين عند تطبيقهما واحداً تلو الآخر. ويمكن إيجاد المحصلة هندسياً باستعمال قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي إيجاد المحصلة --- SECTION: قاعدة المثلث --- لإيجاد محصلة المتجهين a, b، اتبع الخطوتين الآتيتين: الخطوة 1 أجر انسحاباً للمتجه b، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه a. الخطوة 2 محصلة المتجهين a, b هي المتجه المرسوم من نقطة بداية a إلى نقطة نهاية b. --- SECTION: قاعدة متوازي الأضلاع --- لإيجاد محصلة المتجهين a, b، اتبع الخطوات الآتية: الخطوة 1 أجر انسحاباً للمتجه b، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية المتجه a. الخطوة 2 أكمل رسم متوازي الأضلاع الذي ضلعاه a, b. الخطوة 3 محصلة المتجهين هي المتجه الذي يُمثله قطر متوازي الأضلاع. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- المحصلة لإيجاد محصلة أكثر من متجهين باستعمال قاعدة متوازي الأضلاع، يلزم إعادة الرسم أكثر من مرة؛ لذا من الأسهل في هذه الحالة استعمال طريقة مشابهة لقاعدة المثلث، وذلك بوضع نقطة بداية متجه عند نقطة نهاية المتجه الذي يسبقه وهكذا. --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة --- رياضة المشي: قطع عبد الله في سباق للمشي، مسافة 120 m باتجاه N 50° E، ثم مسافة 80 m في اتجاه الشرق. كم يبعد عبد الله عن نقطة البداية، وما هي زاوية الاتجاه الربعي؟ افترض أن المتجه p يمثل المشي 120 m في الاتجاه N 50° E، وأن المتجه q يمثل المشي 80 m باتجاه الشرق. ارسم شكلاً يمثل p, q باستعمال مقياس الرسم 1 cm = 50 m. استعمل مسطرة ومنقلة؛ لرسم سهم طوله 120 ÷ 50 = 2.4 cm؛ ويصنع زاوية قياسها 50° شمال شرق؛ ليمثل المتجه p، وارسم سهماً آخر طوله 80 ÷ 50 = 1.6 cm في اتجاه الشرق؛ ليمثل المتجه q. --- SECTION: الطريقة 1 قاعدة المثلث --- اعمل انسحاباً للمتجه q، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه p، ثم ارسم متجه المحصلة p + q كما في الشكل أدناه. --- SECTION: الطريقة 2 قاعدة متوازي الأضلاع --- اعمل انسحاباً للمتجه q، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية المتجه p، ثم أكمل متوازي الأضلاع، وارسم قطره الذي يمثل المحصلة p + q، كما في الشكل أدناه. نحصل في كلتا الطريقتين على متجه المحصلة p + q نفسه. قس طول p + q باستعمال المسطرة، ثم قس الزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع الخط الرأسي كما في الشكل المجاور. تجد أن طول المتجه يساوي 3.7 cm تقريباً، ويُمثل 185 m = 50 × 3.7. وعليه يكون عبد الله على بعد 185 m من نقطة البداية باتجاه N 66° E. --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: Three-part diagram showing the triangle rule. Part 1 shows vectors 'a' (red, pointing down-right) and 'b' (blue, pointing up-right) separately. Part 2 shows 'b' moved so its tail is at the head of 'a'. Part 3 shows the resultant vector 'a+b' (green) drawn from the tail of 'a' to the head of 'b'. **DIAGRAM**: Untitled Description: Three-part diagram showing the parallelogram rule. Part 1 shows vectors 'a' (red) and 'b' (blue) starting from the same point. Part 2 shows dashed lines completing a parallelogram. Part 3 shows the resultant vector 'a+b' (green) as the diagonal of the parallelogram starting from the common origin. **DIAGRAM**: Untitled Description: Diagram showing the addition of three vectors v1, v2, and v3 placed head-to-tail. The resultant vector v1+v2+v3 (green) is drawn from the tail of v1 to the head of v3. **DIAGRAM**: Untitled Description: Vector p starting from origin O, making a 50-degree angle with the North axis towards the East. The length is labeled 2.4 cm. Scale 1 cm = 50 m. X-axis: E (East) Y-axis: N (North) **DIAGRAM**: Untitled Description: Vector q starting from origin O and pointing directly along the East axis. The length is labeled 1.6 cm. X-axis: E (East) Y-axis: N (North) **DIAGRAM**: Untitled Description: Vector p (red) followed by vector q (blue) head-to-tail. The resultant vector p+q (green) completes the triangle. **DIAGRAM**: Untitled Description: Vectors p (red) and q (blue) starting from the same point. Dashed lines complete the parallelogram, and the resultant p+q (green) is the diagonal. **DIAGRAM**: Untitled Description: Final resultant vector p+q starting from origin O. It makes a 66-degree angle with the North axis. The length is labeled 3.7 cm. X-axis: E Y-axis: N