المساحة الجانبية لسطح الهرم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 8 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 مساحة سطح الهرم

المفاهيم الأساسية

المساحة الجانبية لسطح الهرم المنتظم (جـ): نصف محيط القاعدة (مح) مضروباً في الارتفاع الجانبي (ل).

المساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم (ك): مجموع المساحة الجانبية (جـ) ومساحة القاعدة (م).

خريطة المفاهيم

```markmap

مساحة سطح الهرم

الهرم المنتظم

خصائصه

قاعدته مضلع منتظم
أوجهه الجانبية مثلثات متطابقة متطابقة الساقين
تلتقي المثلثات عند قمة الهرم

مفردات

الارتفاع الجانبي

إيجاد المساحة

المساحة الجانبية (جـ)

مجموع مساحات الأوجه الجانبية
صيغة الهرم ذي القاعدة المربعة

- جـ = ٤ ( س × ل)

- جـ = ( س ) ل

- جـ = \frac{1}{2} \times محيط القاعدة (مح) \times الارتفاع الجانبي (ل)

المساحة الكلية

المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

الصيغ العامة

المساحة الجانبية

التعبير اللفظي: نصف محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي
الرموز: ج = \frac{1}{2} مح ل

المساحة الكلية

التعبير اللفظي: المساحة الجانبية + مساحة القاعدة
الرموز: ك = جـ + م أو ك = \frac{1}{2} مح ل + م

```

نقاط مهمة

الصيغ المذكورة خاصة بالهرم المنتظم.
لحساب المساحة الكلية، يجب معرفة مساحة القاعدة (م) بالإضافة إلى محيطها وارتفاعها الجانبي.
الارتفاع الجانبي (ل) هو ارتفاع المثلث (الوجه الجانبي) وليس ارتفاع الهرم نفسه.

---

حل مثال

المثال (1): أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح الهرم الثلاثي في الشكل المجاور.

* الحل:

* المساحة الجانبية (جـ): جـ = \frac{1}{2} مح ل = \frac{1}{2} × ۱۲ × ۳۰ = ۱۸۰ سم².

* مساحة القاعدة (م): ٤٣,٥ سم² (مذكورة في الحل كـ ٤٣,٥).

* المساحة الكلية (ك): ك = جـ + م = ۱۸۰ + ٤٣,٥ = ٢٢٣,٥ سم².

* النتيجة: المساحة الجانبية = ۱۸۰ سم²، المساحة الكلية = ٢٢٣,٥ سم².

المثال من واقع الحياة (فن العمارة - هرم خفرع):

* المعطيات: ارتفاع هرم خفرع الجانبي (ل) = ۱۷۸ م، طول ضلع قاعدته المربعة = ٢١٥ م.

* المطلوب (أ): إيجاد المساحة الجانبية.

* الحل:

* محيط القاعدة (مح) = ٤ × ٢١٥ = ٨٦٠ م.

* المساحة الجانبية (جـ): جـ = \frac{1}{2} مح ل = \frac{1}{2} × ٨٦٠ × ١٧٨ = ٧٦٥٤٠ م².

---

تحقق من فهمك

أ) أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح هرم طول ارتفاعه الجانبي ١٨ م، وطول ضلع قاعدته المربعة ١١م.

* الحل:

1. المساحة الجانبية (جـ):

* محيط القاعدة المربعة (مح) = ٤ × طول الضلع = ٤ × ١١ = ٤٤ م.

* جـ = \frac{1}{2} مح ل = \frac{1}{2} × ٤٤ × ١٨ = ٣٩٦ م².

2. المساحة الكلية (ك):

* مساحة القاعدة المربعة (م) = (طول الضلع)² = (١١)² = ١٢١ م².

* ك = جـ + م = ٣٩٦ + ١٢١ = ٥١٧ م².

ب) أوجد المساحة الكلية لسطح هرم خفرع.

* الحل:

* من المثال السابق: المساحة الجانبية (جـ) = ٧٦٥٤٠ م².

* مساحة القاعدة المربعة (م) = (طول الضلع)² = (٢١٥)² = ٤٦٢٢٥ م².

* المساحة الكلية (ك): ك = جـ + م = ٧٦٥٤٠ + ٤٦٢٢٥ = ١٢٢٧٦٥ م².

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مفهوم أساسي

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: المساحة الجانبية (جـ) لسطح الهرم المنتظم هي نصف محيط القاعدة (مح) مضروبًا في الارتفاع الجانبي (ل). الرموز: جـ = ½ مح ل

المساحة الكلية لسطح الهرم

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: المساحة الكلية (ك) لسطح الهرم المنتظم هي مجموع المساحة الجانبية (جـ) ومساحة القاعدة (م). الرموز: ك = ½ مح ل + م أو ك = جـ + م

نوع: محتوى تعليمي

مثال

1

نوع: محتوى تعليمي

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح الهرم الثلاثي في الشكل المجاور.
جـ = ½ مح ل
جـ = ½ × ٣٠ × ١٢ = ١٨٠
جـ = ١٨٠ سم٢.
ك = جـ + م
ك = ١٨٠ + ٤٣,٥ = ٢٢٣,٥
ك = ٢٢٣,٥ سم٢.
المساحة الجانبية لسطح الهرم ١٨٠ سم٢، والمساحة الكلية له ٢٢٣,٥ سم٢.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أ) أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح هرم طول ارتفاعه الجانبي ١٨ م، وطول ضلع قاعدته المربعة ١١ م.

نوع: محتوى تعليمي

مثال من واقع الحياة

2

نوع: محتوى تعليمي

فن العمارة: استعمل المعلومات إلى اليمين لإيجاد المساحة الجانبية لهرم خفرع إذا علمت أن ارتفاعه الجانبي ١٧٨ م.
مساحة الهرم الجانبية.
جـ = ½ مح ل
جـ = ½ × ٨٦٠ × ١٧٨ = ٧٦٥٤٠
جـ = ٧٦٥٤٠ م٢.
فتكون المساحة الجانبية لهرم خفرع ٧٦٥٤٠ م٢.
بسط.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

ب) أوجد المساحة الكلية لسطح هرم خفرع.

الربط بالحياة

نوع: محتوى تعليمي

يبلغ ارتفاع هرم خفرع في مصر، ١٤٣ م، وطول ضلع قاعدته المربعة ٢١٥ م. المصدر: كتاب الأهرامات المصرية؛ مكتبة الأنجلو المصرية؛ ٢٠١٢ م

نوع: METADATA

وزارة التعليم Ministry of Education ١٧٩ الدرس ٨ - ٧: مساحة سطح الهرم 1447-2025

🔍 عناصر مرئية

النموذج

A 3D diagram of a regular pyramid with a square base. The diagram labels the slant height as (ل) الارتفاع الجانبي, the perimeter of the base as (مح) محيط القاعدة, and the lateral area as (جـ) المساحة الجانبية. Dashed lines indicate the height and base dimensions.

النموذج

A 3D diagram of a regular pyramid with a square base. The diagram labels the slant height as (ل) الارتفاع الجانبي, the perimeter of the base as (مح) محيط القاعدة, the base area as (م) مساحة القاعدة, and the total surface area as (ك) المساحة الكلية. Dashed lines indicate the height and base dimensions.

الشكل المجاور

A 3D diagram of a triangular pyramid. The base is an equilateral triangle with each side labeled '10 سم'. The slant height of the pyramid is labeled '12 سم'. The height of the triangular base is labeled '٨,٧ سم'.

هرم خفرع

A photograph of the Pyramid of Khafre (Chephren) in Giza, Egypt, under a blue sky with some clouds. The pyramid is shown from a distance, with desert landscape in the foreground. The image is associated with the 'الربط بالحياة' section discussing the dimensions of the pyramid.

📄 النص الكامل للصفحة

مفهوم أساسي

--- SECTION: المساحة الجانبية لسطح الهرم ---
التعبير اللفظي: المساحة الجانبية (جـ) لسطح الهرم المنتظم هي نصف محيط القاعدة (مح) مضروبًا في الارتفاع الجانبي (ل). الرموز: جـ = ½ مح ل

--- SECTION: المساحة الكلية لسطح الهرم ---
التعبير اللفظي: المساحة الكلية (ك) لسطح الهرم المنتظم هي مجموع المساحة الجانبية (جـ) ومساحة القاعدة (م). الرموز: ك = ½ مح ل + م أو ك = جـ + م

مثال

--- SECTION: 1 ---
أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح الهرم الثلاثي في الشكل المجاور.
جـ = ½ مح ل
جـ = ½ × ٣٠ × ١٢ = ١٨٠
جـ = ١٨٠ سم٢.
ك = جـ + م
ك = ١٨٠ + ٤٣,٥ = ٢٢٣,٥
ك = ٢٢٣,٥ سم٢.
المساحة الجانبية لسطح الهرم ١٨٠ سم٢، والمساحة الكلية له ٢٢٣,٥ سم٢.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
أ) أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح هرم طول ارتفاعه الجانبي ١٨ م، وطول ضلع قاعدته المربعة ١١ م.

مثال من واقع الحياة

--- SECTION: 2 ---
فن العمارة: استعمل المعلومات إلى اليمين لإيجاد المساحة الجانبية لهرم خفرع إذا علمت أن ارتفاعه الجانبي ١٧٨ م.
مساحة الهرم الجانبية.
جـ = ½ مح ل
جـ = ½ × ٨٦٠ × ١٧٨ = ٧٦٥٤٠
جـ = ٧٦٥٤٠ م٢.
فتكون المساحة الجانبية لهرم خفرع ٧٦٥٤٠ م٢.
بسط.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
ب) أوجد المساحة الكلية لسطح هرم خفرع.

--- SECTION: الربط بالحياة ---
يبلغ ارتفاع هرم خفرع في مصر، ١٤٣ م، وطول ضلع قاعدته المربعة ٢١٥ م. المصدر: كتاب الأهرامات المصرية؛ مكتبة الأنجلو المصرية؛ ٢٠١٢ م

وزارة التعليم Ministry of Education ١٧٩ الدرس ٨ - ٧: مساحة سطح الهرم 1447-2025

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: النموذج
Description: A 3D diagram of a regular pyramid with a square base. The diagram labels the slant height as (ل) الارتفاع الجانبي, the perimeter of the base as (مح) محيط القاعدة, and the lateral area as (جـ) المساحة الجانبية. Dashed lines indicate the height and base dimensions.
Context: Illustrates the components used to calculate the lateral surface area of a pyramid.

**DIAGRAM**: النموذج
Description: A 3D diagram of a regular pyramid with a square base. The diagram labels the slant height as (ل) الارتفاع الجانبي, the perimeter of the base as (مح) محيط القاعدة, the base area as (م) مساحة القاعدة, and the total surface area as (ك) المساحة الكلية. Dashed lines indicate the height and base dimensions.
Context: Illustrates the components used to calculate the total surface area of a pyramid.

**DIAGRAM**: الشكل المجاور
Description: A 3D diagram of a triangular pyramid. The base is an equilateral triangle with each side labeled '10 سم'. The slant height of the pyramid is labeled '12 سم'. The height of the triangular base is labeled '٨,٧ سم'.
Key Values: base side length: 10 سم, slant height: 12 سم, base height: 8.7 سم
Context: Provides the dimensions for calculating the lateral and total surface area of a specific triangular pyramid in Example 1.

**FIGURE**: هرم خفرع
Description: A photograph of the Pyramid of Khafre (Chephren) in Giza, Egypt, under a blue sky with some clouds. The pyramid is shown from a distance, with desert landscape in the foreground. The image is associated with the 'الربط بالحياة' section discussing the dimensions of the pyramid.
Context: Provides a real-world example of a pyramid, specifically the Pyramid of Khafre, to connect the mathematical concepts of surface area to architecture and history.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال أ: تحقق من فهمك: أ) أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح هرم طول ارتفاعه الجانبي ١٨ م، وطول ضلع قاعدته المربعة ١١ م.

الإجابة: المساحة الجانبية جـ = ١/٢ × (٤ × ١١) × ١٨ = ٣٩٦ م٢، المساحة الكلية ك = ٣٩٦ + ١١^٢ = ٣٩٦ + ١٢١ = ٥١٧ م٢

خطوات الحل:

**الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الارتفاع الجانبي (ل) | l | 18 | متر (م) | | طول ضلع القاعدة المربعة | a | 11 | متر (م) | | **المطلوب 1** | المساحة الجانبية للهرم | | م² | | **المطلوب 2** | المساحة الكلية للهرم | | م² |
**الخطوة 2: كتابة القوانين المستخدمة** - **المساحة الجانبية للهرم (جـ):** $جـ = \frac{1}{2} × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي (ل)$ - **المساحة الكلية للهرم (ك):** $ك = المساحة الجانبية (جـ) + مساحة القاعدة$ - محيط المربع = 4 × طول الضلع - مساحة المربع = (طول الضلع)²
**الخطوة 3: حساب محيط القاعدة** محيط القاعدة المربعة = 4 × طول الضلع = 4 × 11 = **44 م**.
**الخطوة 4: حساب المساحة الجانبية (جـ)** $جـ = \frac{1}{2} × محيط القاعدة × ل$ $جـ = \frac{1}{2} × 44 × 18$ نحسب:\ $\frac{1}{2} × 44 = 22$\ $22 × 18 = 396$\ إذن، **المساحة الجانبية = 396 م²**.
**الخطوة 5: حساب مساحة القاعدة** مساحة القاعدة المربعة = (طول الضلع)² = 11² = 11 × 11 = **121 م²**.
**الخطوة 6: حساب المساحة الكلية (ك)** $ك = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة$ $ك = 396 + 121 = 517$ إذن، **المساحة الكلية = 517 م²**.
**الإجابة النهائية:** > مساحة السطح الجانبي للهرم هي **396 مترًا مربعًا**، ومساحة سطحه الكلية هي **517 مترًا مربعًا**.

سؤال ب: تحقق من فهمك: ب) أوجد المساحة الكلية لسطح هرم خفرع.

الإجابة: المساحة الكلية لسطح هرم خفرع = ١/٢ × (٤ × ٢١٥) × ١٧٨ + ٢١٥^٢ = ٧٦٥٤٠ + ٤٦٢٢٥ = ١٢٢٧٦٥ م٢

خطوات الحل:

**الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** > ملاحظة: معطيات السؤال مستقاة من الشكل أو السياق العام لهرم خفرع. | الوصف | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الارتفاع الجانبي (ل) | l | 178 | متر (م) | | طول ضلع القاعدة المربعة | a | 215 | متر (م) | | **المطلوب** | المساحة الكلية لسطح هرم خفرع | | م² |
**الخطوة 2: كتابة القوانين المستخدمة** - **المساحة الجانبية للهرم:** $جـ = \frac{1}{2} × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي (ل)$ - **المساحة الكلية للهرم:** $ك = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة$ - محيط المربع = 4 × طول الضلع - مساحة المربع = (طول الضلع)²
**الخطوة 3: حساب محيط القاعدة** محيط القاعدة المربعة = 4 × طول الضلع = 4 × 215 = **860 م**.
**الخطوة 4: حساب المساحة الجانبية (جـ) أولاً** $جـ = \frac{1}{2} × محيط القاعدة × ل$ $جـ = \frac{1}{2} × 860 × 178$ لتبسيط الحساب: 1. $\frac{1}{2} × 860 = 430$ 2. $430 × 178 = 430 × (180 - 2) = (430×180) - (430×2) = 77400 - 860 = 76540$ إذن، **المساحة الجانبية = 76,540 م²**.
**الخطوة 5: حساب مساحة القاعدة** مساحة القاعدة المربعة = (طول الضلع)² = 215² = 215 × 215. لحساب 215²: $215 × 200 = 43000$\ $215 × 15 = 3225$\ $215² = 43000 + 3225 = 46225$\ إذن، **مساحة القاعدة = 46,225 م²**.
**الخطوة 6: حساب المساحة الكلية (ك)** $ك = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة$ $ك = 76540 + 46225 = 122765$ إذن، **المساحة الكلية = 122,765 م²**.
**الإجابة النهائية:** > تبلغ المساحة الإجمالية لجميع أوجه هرم خفرع وقاعدته **مئة واثنين وعشرين ألفاً وسبعمائة وخمسة وستين مترًا مربعًا** (122,765 م²).

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما هي صيغة إيجاد المساحة الجانبية لسطح الهرم المنتظم؟

أ) جـ = القاعدة × الارتفاع
ب) جـ = ½ مح ل
ج) جـ = محيط القاعدة + الارتفاع الجانبي
د) جـ = ٤ × طول الضلع

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المساحة الجانبية (جـ) هي نصف محيط القاعدة (مح) مضروبًا في الارتفاع الجانبي (ل)، أي جـ = ½ مح ل.

الشرح: المساحة الجانبية للهرم المنتظم تُحسب بضرب نصف محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي للهرم. الرموز: جـ = ½ مح ل.

تلميح: تذكر أن المساحة الجانبية لا تشمل القاعدة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هي صيغة إيجاد المساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم؟

أ) ك = محيط القاعدة + مساحة القاعدة
ب) ك = جـ - م
ج) ك = جـ + م
د) ك = ½ مح ل

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المساحة الكلية (ك) هي مجموع المساحة الجانبية (جـ) ومساحة القاعدة (م)، أي ك = جـ + م.

الشرح: المساحة الكلية لسطح الهرم المنتظم هي مجموع مساحته الجانبية ومساحة قاعدته. يمكن التعبير عنها أيضًا ك = ½ مح ل + م أو ك = جـ + م.

تلميح: المساحة الكلية تشمل جميع أسطح الهرم بما فيها القاعدة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

هرم قاعدته مربعة طول ضلعها 11 م. ما هو محيط القاعدة؟

أ) 22 م
ب) 121 م
ج) 44 م
د) 11 م

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 44 م

الشرح: محيط القاعدة المربعة = 4 × طول الضلع. بما أن طول الضلع 11 م، فإن محيط القاعدة = 4 × 11 = 44 م.

تلميح: محيط المربع يساوي 4 أضعاف طول الضلع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

هرم قاعدته مربعة طول ضلعها 11 م. ما هي مساحة القاعدة؟

أ) 22 م²
ب) 44 م²
ج) 121 م²
د) 110 م²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 121 م²

الشرح: مساحة القاعدة المربعة = (طول الضلع)². بما أن طول الضلع 11 م، فإن مساحة القاعدة = 11² = 11 × 11 = 121 م².

تلميح: مساحة المربع تساوي طول الضلع تربيع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كانت المساحة الجانبية لهرم قاعدته مربعة 396 م²، وطول ضلع قاعدته 11 م، فما هي المساحة الكلية لسطح الهرم؟

أ) 417 م²
ب) 517 م²
ج) 507 م²
د) 487 م²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 517 م²

الشرح: 1. احسب مساحة القاعدة: مساحة القاعدة المربعة = (طول الضلع)² = 11² = 121 م². 2. احسب المساحة الكلية: المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة = 396 + 121 = 517 م².

تلميح: المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط