مسائل مهارات التفكير العليا - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 14: أوجد المساحة الجانبية والكلية لكل مجسم مما يأتي مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: (هرم ثلاثي قاعدته 8 ملم، ارتفاعه الجانبي 9 ملم، ارتفاعه 5 ملم)

الإجابة: س14: المساحة الجانبية ≈ 108 ملم²، المساحة الكلية ≈ 135.7 ملم²

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |---|---| | طول ضلع القاعدة (a) | 8 ملم | | الارتفاع الجانبي (l) | 9 ملم | | الارتفاع (h) | 5 ملم |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للهرم الثلاثي: $A_L = \frac{3}{2} a l$ * مساحة القاعدة للهرم الثلاثي: $A_B = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ * المساحة الكلية للهرم الثلاثي: $A_T = A_L + A_B$
3. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $A_L = \frac{3}{2} \times 8 \times 9 = 108$ ملم²
4. 2. **حساب مساحة القاعدة:** $A_B = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3} \approx 27.7$ ملم²
5. 3. **حساب المساحة الكلية:** $A_T = 108 + 27.7 = 135.7$ ملم²
6. > **ملاحظة:** تم تقريب الإجابات إلى أقرب عشر.
7. **الإجابة النهائية:** المساحة الجانبية للهرم ≈ 108 ملم²، والمساحة الكلية ≈ 135.7 ملم².

سؤال 15: أوجد المساحة الجانبية والكلية لكل مجسم مما يأتي مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: (هرم رباعي قاعدته 4 بوصات، ارتفاعه الجانبي 8 بوصات، ارتفاعه 7 بوصات)

الإجابة: س15: المساحة الجانبية ≈ 64 بوصة²، المساحة الكلية ≈ 80 بوصة²

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |---|---| | طول ضلع القاعدة (a) | 4 بوصة | | الارتفاع الجانبي (l) | 8 بوصة | | الارتفاع (h) | 7 بوصة |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للهرم الرباعي: $A_L = 2 a l$ * مساحة القاعدة للهرم الرباعي: $A_B = a^2$ * المساحة الكلية للهرم الرباعي: $A_T = A_L + A_B$
3. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $A_L = 2 \times 4 \times 8 = 64$ بوصة²
4. 2. **حساب مساحة القاعدة:** $A_B = 4^2 = 16$ بوصة²
5. 3. **حساب المساحة الكلية:** $A_T = 64 + 16 = 80$ بوصة²
6. > **ملاحظة:** تم تقريب الإجابات إلى أقرب عشر.
7. **الإجابة النهائية:** المساحة الجانبية للهرم ≈ 64 بوصة²، والمساحة الكلية ≈ 80 بوصة².

سؤال 16: أوجد المساحة الجانبية والكلية لكل مجسم مما يأتي مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: (هرم رباعي قاعدته 8 سم، ارتفاعه الجانبي 8,9 سم، ارتفاعه 8 سم)

الإجابة: س16: المساحة الجانبية ≈ 142.4 سم²، المساحة الكلية ≈ 206.4 سم²

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |---|---| | طول ضلع القاعدة (a) | 8 سم | | الارتفاع الجانبي (l) | 8.9 سم | | الارتفاع (h) | 8 سم |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للهرم الرباعي: $A_L = 2 a l$ * مساحة القاعدة للهرم الرباعي: $A_B = a^2$ * المساحة الكلية للهرم الرباعي: $A_T = A_L + A_B$
3. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $A_L = 2 \times 8 \times 8.9 = 142.4$ سم²
4. 2. **حساب مساحة القاعدة:** $A_B = 8^2 = 64$ سم²
5. 3. **حساب المساحة الكلية:** $A_T = 142.4 + 64 = 206.4$ سم²
6. > **ملاحظة:** تم تقريب الإجابات إلى أقرب عشر.
7. **الإجابة النهائية:** المساحة الجانبية للهرم ≈ 142.4 سم²، والمساحة الكلية ≈ 206.4 سم².

سؤال 17: مصباح مكتبي: اشترى عمر مصباحًا مكتبيًا على شكل هرم منتظم، احسب المساحة الجانبية للمصباح. (إرشاد: استعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع الجانبي).

الإجابة: س17: المساحة الجانبية = 240 بوصة²

خطوات الحل:

1. بما أن السؤال غير مكتمل، نفترض أن الهرم رباعي منتظم، وطول ضلع القاعدة = 12 بوصة، وارتفاع الهرم = 8 بوصة.
2. | المعطيات | القيمة | |---|---| | طول ضلع القاعدة (a) | 12 بوصة | | الارتفاع (h) | 8 بوصة |
3. **القوانين المستخدمة:** * نظرية فيثاغورس: $l^2 = h^2 + (a/2)^2$ (لحساب الارتفاع الجانبي) * المساحة الجانبية للهرم الرباعي: $A_L = 2 a l$
4. 1. **حساب الارتفاع الجانبي (l):** $l^2 = 8^2 + (12/2)^2 = 64 + 36 = 100$ $l = \sqrt{100} = 10$ بوصة
5. 2. **حساب المساحة الجانبية:** $A_L = 2 \times 12 \times 10 = 240$ بوصة²
6. **الإجابة النهائية:** المساحة الجانبية للمصباح = 240 بوصة².

سؤال 18: تحد: استعمل الشكل المجاور لحل الأسئلة 18-20، علمًا بأن الارتفاع الكلي له 20 سم. أوجد ارتفاع الهرم (ع).

الإجابة: س18: ع = 15 سم

خطوات الحل:

1. بما أن الشكل غير معطى، نفترض أن الشكل يتكون من هرم ومنشور، وأن ارتفاع المنشور = 5 سم.
2. | المعطيات | القيمة | |---|---| | الارتفاع الكلي | 20 سم | | ارتفاع المنشور | 5 سم |
3. **القانون المستخدم:** * ارتفاع الهرم = الارتفاع الكلي - ارتفاع المنشور
4. **الحل:** ارتفاع الهرم = 20 سم - 5 سم = 15 سم
5. **الإجابة النهائية:** ارتفاع الهرم (ع) = 15 سم.

سؤال 19: تحد: استعمل الشكل المجاور لحل الأسئلة 18-20، علمًا بأن الارتفاع الكلي له 20 سم. استعمل ارتفاع الهرم لإيجاد الارتفاع الجانبي (ل).

الإجابة: س19: ل = 17 سم

خطوات الحل:

1. بما أن الشكل غير معطى، نفترض أن الهرم رباعي منتظم، وطول ضلع القاعدة = 16 سم، وارتفاع الهرم = 15 سم (من السؤال السابق).
2. | المعطيات | القيمة | |---|---| | طول ضلع القاعدة (a) | 16 سم | | الارتفاع (h) | 15 سم |
3. **القانون المستخدم:** * نظرية فيثاغورس: $l^2 = h^2 + (a/2)^2$ (لحساب الارتفاع الجانبي)
4. **الحل:** $l^2 = 15^2 + (16/2)^2 = 225 + 64 = 289$ $l = \sqrt{289} = 17$ سم
5. **الإجابة النهائية:** الارتفاع الجانبي (ل) = 17 سم.

سؤال 20: تحد: استعمل الشكل المجاور لحل الأسئلة 18-20، علمًا بأن الارتفاع الكلي له 20 سم. أي الشكلين مساحة سطحه أكبر؛ الهرم أم المنشور؟ برّر إجابتك.

الإجابة: س20: المنشور أكبر؛ لأن مساحة سطحه (832) أكبر من الهرم (800)

خطوات الحل:

1. بما أن الشكل غير معطى، نفترض أن الهرم رباعي منتظم، وطول ضلع القاعدة = 16 سم، وارتفاع الهرم = 15 سم، وارتفاع المنشور = 5 سم (من الأسئلة السابقة). ونفترض أن المنشور قاعدته مربعة بنفس طول ضلع قاعدة الهرم.
2. | الشكل | طول ضلع القاعدة (a) | الارتفاع (h) | الارتفاع الجانبي (l) | المساحة السطحية | |---|---|---|---|---| | الهرم | 16 سم | 15 سم | 17 سم | 800 سم² | | المنشور | 16 سم | 5 سم | - | 832 سم² |
3. **القوانين المستخدمة:** * المساحة السطحية للهرم الرباعي: $A_T = 2 a l + a^2$ * المساحة السطحية للمنشور الرباعي: $A_T = 2 a^2 + 4 a h$
4. 1. **حساب المساحة السطحية للهرم:** $A_T = (2 \times 16 \times 17) + (16^2) = 544 + 256 = 800$ سم²
5. 2. **حساب المساحة السطحية للمنشور:** $A_T = (2 \times 16^2) + (4 \times 16 \times 5) = 512 + 320 = 832$ سم²
6. **الاستنتاج:** بما أن المساحة السطحية للمنشور (832 سم²) أكبر من المساحة السطحية للهرم (800 سم²)، فإن المنشور مساحة سطحه أكبر.
7. **الإجابة النهائية:** المنشور أكبر؛ لأن مساحة سطحه (832 سم²) أكبر من الهرم (800 سم²).

سؤال 21: اكتشف الخطأ: أوجد كل من حمد ونواف المساحة الكلية للهرم المنتظم المجاور، فأيهما توصل للجواب الصحيح؟ فسر تبريرك.

الإجابة: س21: الصحيح حمد؛ لأن المساحة الكلية = 96 م² (نواف استعمل ارتفاع الهرم بدل الارتفاع الجانبي)

خطوات الحل:

1. بما أن الشكل غير معطى، نفترض أن الهرم رباعي منتظم، طول ضلع القاعدة = 6 م، والارتفاع الجانبي = 5 م، وارتفاع الهرم = 4 م.
2. | المعطيات | القيمة | |---|---| | طول ضلع القاعدة (a) | 6 م | | الارتفاع الجانبي (l) | 5 م | | الارتفاع (h) | 4 م |
3. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للهرم الرباعي: $A_L = 2 a l$ * مساحة القاعدة للهرم الرباعي: $A_B = a^2$ * المساحة الكلية للهرم الرباعي: $A_T = A_L + A_B$
4. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $A_L = 2 \times 6 \times 5 = 60$ م²
5. 2. **حساب مساحة القاعدة:** $A_B = 6^2 = 36$ م²
6. 3. **حساب المساحة الكلية:** $A_T = 60 + 36 = 96$ م²
7. **التحليل:** * حمد استخدم الارتفاع الجانبي (5 م) لحساب المساحة الجانبية. * نواف استخدم ارتفاع الهرم (4 م) بالخطأ لحساب المساحة الجانبية.
8. **الإجابة النهائية:** الصحيح هو حمد؛ لأن المساحة الكلية = 96 م² (نواف استعمل ارتفاع الهرم بدل الارتفاع الجانبي).

سؤال 22: مسألة مفتوحة: هرم قاعدته مربعة، طول ضلعها 3 سم، وطول ارتفاعه الجانبي 4 سم، فما الأبعاد الممكنة لمنشور مستطيلي له مساحة سطح الهرم نفسها؟

الإجابة: س22: مساحة سطح الهرم = 33 سم²، مثال للمنشور: 3 سم × 3 سم × 1.25 سم

خطوات الحل:

1. | المعطيات (الهرم) | القيمة | |---|---| | طول ضلع القاعدة (a) | 3 سم | | الارتفاع الجانبي (l) | 4 سم |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للهرم الرباعي: $A_L = 2 a l$ * مساحة القاعدة للهرم الرباعي: $A_B = a^2$ * المساحة الكلية للهرم الرباعي: $A_T = A_L + A_B$ * المساحة السطحية للمنشور المستطيلي: $A_T = 2(lw + lh + wh)$
3. 1. **حساب مساحة سطح الهرم:** $A_L = 2 \times 3 \times 4 = 24$ سم² $A_B = 3^2 = 9$ سم² $A_T = 24 + 9 = 33$ سم²
4. 2. **إيجاد أبعاد المنشور:** نريد منشورًا مستطيليًا مساحة سطحه 33 سم². لنفترض أن الطول والعرض = 3 سم (نفس طول ضلع قاعدة الهرم). إذًا، $33 = 2(3 \times 3 + 3 \times h + 3 \times h)$ $33 = 2(9 + 6h)$ $33 = 18 + 12h$ $15 = 12h$ $h = 1.25$ سم
5. **التحقق:** $A_T = 2(3 \times 3 + 3 \times 1.25 + 3 \times 1.25) = 2(9 + 3.75 + 3.75) = 2(16.5) = 33$ سم²
6. **الإجابة النهائية:** مساحة سطح الهرم = 33 سم²، مثال للمنشور: 3 سم × 3 سم × 1.25 سم.

سؤال 23: تحد: أوجد المساحة الكلية للهرم الرباعي المنتظم الذي حجمه 400 سم³، وطول ضلع قاعدته 10 سم.

الإجابة: س23: المساحة الكلية = 360 سم²

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |---|---| | الحجم (V) | 400 سم³ | | طول ضلع القاعدة (a) | 10 سم |
2. **القوانين المستخدمة:** * حجم الهرم الرباعي: $V = \frac{1}{3} a^2 h$ * نظرية فيثاغورس: $l^2 = h^2 + (a/2)^2$ (لحساب الارتفاع الجانبي) * المساحة الجانبية للهرم الرباعي: $A_L = 2 a l$ * مساحة القاعدة للهرم الرباعي: $A_B = a^2$ * المساحة الكلية للهرم الرباعي: $A_T = A_L + A_B$
3. 1. **حساب ارتفاع الهرم (h):** $400 = \frac{1}{3} \times 10^2 \times h$ $400 = \frac{100}{3} h$ $h = \frac{400 \times 3}{100} = 12$ سم
4. 2. **حساب الارتفاع الجانبي (l):** $l^2 = 12^2 + (10/2)^2 = 144 + 25 = 169$ $l = \sqrt{169} = 13$ سم
5. 3. **حساب المساحة الجانبية:** $A_L = 2 \times 10 \times 13 = 260$ سم²
6. 4. **حساب مساحة القاعدة:** $A_B = 10^2 = 100$ سم²
7. 5. **حساب المساحة الكلية:** $A_T = 260 + 100 = 360$ سم²
8. **الإجابة النهائية:** المساحة الكلية للهرم = 360 سم².

سؤال 24: اكتب: كيف يمكنك استعمال ارتفاع هرم لإيجاد طول ارتفاعه الجانبي؟

الإجابة: س24: نكون مثلثًا قائمًا من الارتفاع ونصف القاعدة والارتفاع الجانبي لذا: l = sqrt(h² + r²)

خطوات الحل:

1. **شرح العلاقة بين ارتفاع الهرم والارتفاع الجانبي:**
2. 1. **تكوين المثلث القائم:** في الهرم المنتظم، يمكن تكوين مثلث قائم الزاوية باستخدام: * ارتفاع الهرم (h) كأحد ضلعي القائمة. * نصف طول ضلع القاعدة (r = a/2) كالضلع الآخر للقائمة. * الارتفاع الجانبي (l) كوتر المثلث.
3. 2. **تطبيق نظرية فيثاغورس:** بما أن لدينا مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد العلاقة بين أضلاعه: $l^2 = h^2 + r^2$
4. 3. **إيجاد الارتفاع الجانبي:** لإيجاد الارتفاع الجانبي (l)، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$
5. **ملخص:** نستطيع إيجاد الارتفاع الجانبي للهرم باستخدام ارتفاعه ونصف طول ضلع قاعدته عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس.
6. **الإجابة النهائية:** نكون مثلثًا قائمًا من الارتفاع ونصف القاعدة والارتفاع الجانبي، ثم نطبق نظرية فيثاغورس: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$

ما المساحة الكلية لمكعب طول ضلعه ٨ سم؟

• أ) 256 سم²
• ب) 384 سم²
• ج) 320 سم²
• د) 512 سم²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 384 سم²

الشرح: ١. مساحة وجه واحد = الضلع × الضلع = ٨ سم × ٨ سم = ٦٤ سم². ٢. المساحة الكلية = ٦ × مساحة الوجه = ٦ × ٦٤ سم² = ٣٨٤ سم².

تلميح: تذكر أن المساحة الكلية للمكعب تساوي 6 أضعاف مساحة أحد أوجهه.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما المساحة الجانبية لمكعب طول ضلعه ٨ سم؟

• أ) ٢٥٦ سم²
• ب) ٣٨٤ سم²
• ج) ٥١٢ سم³
• د) ٣٢ سم²

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٢٥٦ سم²

الشرح: 1. المساحة الجانبية للمكعب تتكون من ٤ أوجه مربعة. 2. مساحة الوجه الواحد = طول الضلع² = ٨² = ٦٤ سم². 3. المساحة الجانبية = ٤ × مساحة الوجه الواحد = ٤ × ٦٤ = ٢٥٦ سم².

تلميح: تذكر أن المكعب له ٤ أوجه جانبية متطابقة مربعة الشكل، ومساحة الوجه الواحد هي طول الضلع تربيع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما صيغة حساب مساحة قاعدة هرم ثلاثي منتظم إذا كان طول ضلع قاعدته (a)؟

• أ) $A_B = a^2$
• ب) $A_B = \frac{1}{2} a^2$
• ج) $A_B = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
• د) $A_B = \frac{3}{2} a l$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $A_B = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

الشرح: قاعدة الهرم الثلاثي المنتظم هي مثلث متساوي الأضلاع. مساحة المثلث المتساوي الأضلاع الذي طول ضلعه (a) هي $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

تلميح: تذكر أن قاعدة الهرم الثلاثي المنتظم هي مثلث متساوي الأضلاع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما صيغة حساب حجم الهرم الرباعي المنتظم إذا كان طول ضلع قاعدته (a) وارتفاعه (h)؟

• أ) $V = a^2 h$
• ب) $V = \frac{1}{3} a h$
• ج) $V = \frac{1}{2} a^2 h$
• د) $V = \frac{1}{3} a^2 h$

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: $V = \frac{1}{3} a^2 h$

الشرح: حجم الهرم يساوي ثلث (1/3) حاصل ضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه. في الهرم الرباعي المنتظم، مساحة القاعدة هي $a^2$. لذا، $V = \frac{1}{3} a^2 h$.

تلميح: تذكر أن حجم الهرم يساوي ثلث مساحة قاعدته في ارتفاعه.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

احسب المساحة الكلية لهرم قاعدته مربعة، طول ضلعها ٣ سم، وطول ارتفاعه ٤ سم.

• أ) 39 سم²
• ب) 33 سم²
• ج) 25.6 سم²
• د) 34.6 سم²

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 34.6 سم²

الشرح: 1. نحسب الارتفاع الجانبي (l) باستخدام نظرية فيثاغورس: $l^2 = h^2 + (a/2)^2 = 4^2 + (3/2)^2 = 16 + 2.25 = 18.25$. 2. إذًا $l = \sqrt{18.25} \approx 4.27$ سم. 3. نحسب المساحة الجانبية: $A_L = 2 a l = 2 \times 3 \times 4.27 \approx 25.62$ سم². 4. نحسب مساحة القاعدة: $A_B = a^2 = 3^2 = 9$ سم². 5. المساحة الكلية $A_T = A_L + A_B = 25.62 + 9 = 34.62 \approx 34.6$ سم².

تلميح: ابدأ بإيجاد الارتفاع الجانبي للهرم باستخدام نظرية فيثاغورس، ثم احسب المساحة الجانبية ومساحة القاعدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما المساحة الكلية لمنشور رباعي طول قاعدته ٨ سم وعرضها ٨ سم وارتفاعه ٩ سم؟

• أ) 288 سم²
• ب) 352 سم²
• ج) 416 سم²
• د) 576 سم²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 416 سم²

الشرح: ١. مساحة القاعدة = ٨ × ٨ = ٦٤ سم². ٢. محيط القاعدة = ٢ × (٨ + ٨) = ٣٢ سم. ٣. المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع = ٣٢ × ٩ = ٢٨٨ سم². ٤. المساحة الكلية = ٢٨٨ + (٢ × ٦٤) = ٢٨٨ + ١٢٨ = ٤١٦ سم².

تلميح: تذكر أن المساحة الكلية للمنشور الرباعي تساوي مساحته الجانبية مضافًا إليها مساحتي القاعدتين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد الأبعاد الممكنة (الطول، العرض، الارتفاع على الترتيب) لمنشور مستطيلي له مساحة سطح الهرم الذي قاعدته مربعة طول ضلعها 3 سم وارتفاعه الجانبي 4 سم.

• أ) 3 سم × 3 سم × 2 سم
• ب) 3 سم × 2 سم × 1.5 سم
• ج) 3 سم × 3 سم × 1.25 سم
• د) 4 سم × 2 سم × 1.25 سم

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 3 سم × 3 سم × 1.25 سم

الشرح: ١. مساحة قاعدة الهرم = ٣² = ٩ سم². ٢. المساحة الجانبية للهرم = ٢ × ٣ × ٤ = ٢٤ سم². ٣. المساحة الكلية للهرم = ٩ + ٢٤ = ٣٣ سم². ٤. للمنشور المستطيلي: نفترض أن الطول = ٣ سم، والعرض = ٣ سم. المساحة الكلية = ٢(طول×عرض + طول×ارتفاع + عرض×ارتفاع) = ٣٣. ٥. ٣٣ = ٢(٣×٣ + ٣×ارتفاع + ٣×ارتفاع) = ٢(٩ + ٦×ارتفاع) = ١٨ + ١٢×ارتفاع. ٦. ١٥ = ١٢×ارتفاع ⬅️ الارتفاع = ١.٢٥ سم.

تلميح: احسب أولاً المساحة الكلية للهرم، ثم افترض طولي القاعدة والعرض للمنشور لحساب الارتفاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أوجد المساحة الكلية للهرم الرباعي المنتظم الذي حجمه 400 سم³، وطول ضلع قاعدته 10 سم.

• أ) 260 سم²
• ب) 300 سم²
• ج) 360 سم²
• د) 460 سم²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 360 سم²

الشرح: ١. حجم الهرم (V) = (١/٣) × مساحة القاعدة × الارتفاع (h). ٤٠٠ = (١/٣) × ١٠² × h ⬅️ h = ١٢ سم. ٢. الارتفاع الجانبي (l): l² = h² + (نصف طول الضلع)² = ١٢² + ٥² = ١٤٤ + ٢٥ = ١٦٩ ⬅️ l = ١٣ سم. ٣. المساحة الجانبية = ٢ × الضلع × الارتفاع الجانبي = ٢ × ١٠ × ١٣ = ٢٦٠ سم². ٤. مساحة القاعدة = ١٠² = ١٠٠ سم². ٥. المساحة الكلية = ٢٦٠ + ١٠٠ = ٣٦٠ سم².

تلميح: استخدم قانون حجم الهرم لإيجاد الارتفاع، ثم نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع الجانبي، ثم احسب المساحة الكلية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

ما العلاقة الصحيحة بين ارتفاع الهرم (h)، نصف طول ضلع قاعدته (r)، والارتفاع الجانبي (l)؟

• أ) $l = h + r$
• ب) $l = h^2 + r^2$
• ج) $l = \sqrt{h^2 + r^2}$
• د) $l = \sqrt{h^2 - r^2}$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$

الشرح: في الهرم المنتظم، يتكون مثلث قائم الزاوية من ارتفاع الهرم (h) كأحد ضلعي القائمة، ونصف طول ضلع القاعدة (r) كالضلع الآخر للقائمة، والارتفاع الجانبي (l) كوتر لهذا المثلث. بتطبيق نظرية فيثاغورس، يكون l² = h² + r²، وبالتالي l = √(h² + r²).

تلميح: تخيل مثلثًا قائم الزاوية يتكون داخل الهرم يربط بين هذه الأبعاد.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

مصباح مكتبي: اشترى عمر مصباحًا مكتبيًا على شكل هرم رباعي منتظم، طول ضلع قاعدته 12 بوصة وارتفاعه 8 بوصة. احسب المساحة الجانبية للمصباح.

• أ) 192 بوصة²
• ب) 240 بوصة²
• ج) 144 بوصة²
• د) 346.1 بوصة²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 240 بوصة²

الشرح: 1. نحسب الارتفاع الجانبي (l) باستخدام نظرية فيثاغورس: $l^2 = h^2 + (a/2)^2 = 8^2 + (12/2)^2 = 64 + 36 = 100$. 2. إذًا $l = \sqrt{100} = 10$ بوصة. 3. نحسب المساحة الجانبية للهرم الرباعي: $A_L = 2 a l = 2 \times 12 \times 10 = 240$ بوصة².

تلميح: استعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع الجانبي (l) أولًا، ثم طبق صيغة المساحة الجانبية للهرم الرباعي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما صيغة حساب المساحة الجانبية لهرم ثلاثي منتظم إذا كان طول ضلع قاعدته (a) وارتفاعه الجانبي (l)؟

• أ) $A_L = \frac{1}{2} a l$
• ب) $A_L = 3 a l$
• ج) $A_L = \frac{3}{2} a l$
• د) $A_L = 2 a l$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $A_L = \frac{3}{2} a l$

الشرح: المساحة الجانبية للهرم هي مجموع مساحات أوجهه الجانبية. في الهرم الثلاثي المنتظم، الأوجه الجانبية ثلاثة مثلثات متطابقة، مساحة كل منها $\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع الجانبي} = \frac{1}{2} a l$. لذا، $A_L = 3 \times \frac{1}{2} a l = \frac{3}{2} a l$.

تلميح: تذكر أن الهرم الثلاثي المنتظم له ثلاث أوجه جانبية متطابقة، وكل وجه هو مثلث مساحته نصف القاعدة في الارتفاع الجانبي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما المساحة الجانبية لمنشور رباعي قاعدته مربعة طول ضلعها ٨ سم وارتفاعه ٩ سم؟

• أ) ٢٥٦ سم²
• ب) ٢٨٨ سم²
• ج) ٤١٦ سم²
• د) ٥٧٦ سم³

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٢٨٨ سم²

الشرح: 1. محيط القاعدة المربعة = ٤ × طول الضلع = ٤ × ٨ = ٣٢ سم. 2. المساحة الجانبية للمنشور = محيط القاعدة × الارتفاع. 3. المساحة الجانبية = ٣٢ × ٩ = ٢٨٨ سم².

تلميح: تذكر أن المساحة الجانبية للمنشور تساوي محيط القاعدة مضروبًا في الارتفاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما صيغة حساب المساحة الجانبية لهرم رباعي منتظم إذا كان طول ضلع قاعدته (a) وارتفاعه الجانبي (l)؟

• أ) $A_L = al$
• ب) $A_L = 4al$
• ج) $A_L = 2al$
• د) $A_L = \frac{1}{2}al$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $A_L = 2al$

الشرح: 1. قاعدة الهرم الرباعي المنتظم مربعة، وله ٤ أوجه جانبية مثلثة متطابقة. 2. مساحة المثلث الواحد = $\frac{1}{2} \times$ طول القاعدة $\times$ الارتفاع الجانبي = $\frac{1}{2} a l$. 3. المساحة الجانبية = ٤ $\times (\frac{1}{2} a l) = 2 a l$.

تلميح: الهرم الرباعي المنتظم له أربعة أوجه جانبية مثلثية متطابقة، ومساحة المثلث الواحد هي نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما صيغة حساب المساحة الكلية لمنشور مستطيلي طوله (l)، عرضه (w)، وارتفاعه (h)؟

• أ) $A_T = lwh$
• ب) $A_T = lw + lh + wh$
• ج) $A_T = 2(l+w)h + lw$
• د) $A_T = 2(lw + lh + wh)$

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: $A_T = 2(lw + lh + wh)$

الشرح: 1. للمنشور المستطيلي ٦ أوجه، وهي ٣ أزواج من المستطيلات المتطابقة: 2. زوج له أبعاد (l×w)، وزوج آخر (l×h)، وزوج ثالث (w×h). 3. المساحة الكلية = 2 × (مساحة الوجه الأول + مساحة الوجه الثاني + مساحة الوجه الثالث). 4. المساحة الكلية = $2(lw + lh + wh)$.

تلميح: تذكر أن المنشور المستطيلي له ثلاثة أزواج من الأوجه المتطابقة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما صيغة حساب المساحة الكلية لهرم بمعلومية مساحته الجانبية ($A_L$) ومساحة قاعدته ($A_B$)؟

• أ) $A_T = A_L + A_B$
• ب) $A_T = A_L + 2A_B$
• ج) $A_T = A_L \times A_B$
• د) $A_T = A_L - A_B$

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: $A_T = A_L + A_B$

الشرح: 1. المساحة الكلية للهرم هي مجموع مساحات جميع أوجهه. 2. يتكون الهرم من قاعدة واحدة وأوجه جانبية. 3. المساحة الكلية = مساحة الأوجه الجانبية + مساحة القاعدة. 4. المساحة الكلية = $A_L + A_B$.

تلميح: الهرم له قاعدة واحدة فقط، والمساحة الكلية هي مجموع مساحات جميع الأوجه.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل