الربط بالحياة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 9: إلكترونيات: يتناسب عرض شاشة التلفاز طرديًا مع ارتفاعها. إذا أنتج مصنع شاشة تلفاز عرضها ٦٠ سم وارتفاعها ٣٣,٧٥ سم، فأوجد ارتفاع شاشة تلفاز عرضها ٩٠ سم.

الإجابة: س٩: الارتفاع = 50,625 سم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز أو النسبة | القيمة | |--------|-----------------|--------| | عرض الشاشة 1 | $x_1$ | 60 سم | | ارتفاع الشاشة 1 | $y_1$ | 33.75 سم | | عرض الشاشة 2 | $x_2$ | 90 سم | | ارتفاع الشاشة 2 | $y_2$ | ؟ |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** بما أن **العرض يتناسب طرديًا مع الارتفاع**، فإن النسبة بينهما ثابتة: $$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$$ > **التناسب الطردي:** يعني أن زيادة أحد المتغيرين تؤدي إلى زيادة الآخر بنفس النسبة.
3. **الخطوة 3: تعويض القيم في قانون التناسب** $$\frac{33.75}{60} = \frac{y_2}{90}$$
4. **الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد $y_2$** 1. بضرب الطرفين في 90: $$y_2 = \frac{33.75}{60} \times 90$$ 2. تبسيط الكسر $\frac{33.75}{60}$ بقسمة البسط والمقام على 15: $$\frac{33.75 \div 15}{60 \div 15} = \frac{2.25}{4}$$ 3. إكمال الحساب: $$y_2 = \frac{2.25}{4} \times 90 = 2.25 \times 22.5 = 50.625$$
5. **الإجابة النهائية:** ارتفاع شاشة التلفاز التي عرضها ٩٠ سم هو **٥٠,٦٢٥ سم**.

سؤال 10: كعك: تحتاج روان لصنع كعكة تكفي ١٢ شخصًا إلى ٢ ٣/٤ كوب طحين. فكم كوبًا من الطحين تحتاج إليه لعمل كعكة لـ ٣٠ شخصًا؟

الإجابة: س١٠: ٦ ٧/٨ كوب طحين

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | عدد الأشخاص 1 | $n_1$ | 12 شخصًا | | كمية الطحين 1 | $f_1$ | $2\frac{3}{4}$ كوب | | عدد الأشخاص 2 | $n_2$ | 30 شخصًا | | كمية الطحين 2 | $f_2$ | ؟ |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** كمية الطحين تتناسب **طرديًا** مع عدد الأشخاص، لذلك: $$\frac{f_1}{n_1} = \frac{f_2}{n_2}$$ > **تحويل العدد الكسري:** $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$ كوب.
3. **الخطوة 3: تعويض القيم في قانون التناسب** $$\frac{\frac{11}{4}}{12} = \frac{f_2}{30}$$
4. **الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد $f_2$** 1. تبسيط الطرف الأيسر: $$\frac{\frac{11}{4}}{12} = \frac{11}{4} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{48}$$ 2. تطبيق التناسب: $$\frac{11}{48} = \frac{f_2}{30}$$ 3. بضرب الطرفين في 30: $$f_2 = \frac{11}{48} \times 30 = \frac{11 \times 30}{48} = \frac{330}{48}$$ 4. تبسيط الكسر: $$\frac{330 \div 6}{48 \div 6} = \frac{55}{8} = 6\frac{7}{8}$$
5. **الإجابة النهائية:** تحتاج روان إلى **ستة وسبعة أثمان** كوب من الطحين لعمل كعكة تكفي ٣٠ شخصًا.

سؤال 11: حدد ما إذا كانت كل دالة خطية فيما يأتي تشكل تغيرًا طرديًا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: الصور س: ٥، ٦، ٧، ٨ الثواني ص: ٢٠، ٢٤، ٢٨، ٣٢

الإجابة: س11: نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير 4 = k (لأن 4 = ص/س).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول البيانات** | الصور (س) | ٥ | ٦ | ٧ | ٨ | | الثواني (ص) | ٢٠ | ٢٤ | ٢٨ | ٣٢ |
2. **الخطوة 2: اختبار التغير الطردي** للتأكد من وجود **تغير طردي**، يجب أن تكون النسبة $\frac{y}{x}$ (أي $k$) ثابتة لجميع أزواج القيم. 1. احسب النسبة لكل زوج: - $\frac{20}{5} = 4$ - $\frac{24}{6} = 4$ - $\frac{28}{7} = 4$ - $\frac{32}{8} = 4$ 2. جميع النتائج متساوية وتساوي **4**.
3. **الخطوة 3: الاستنتاج** بما أن **النسبة $\frac{y}{x}$ ثابتة**، فإن العلاقة تمثل **تغيرًا طرديًا**. > **ثابت التغير ($k$):** هو القيمة الثابتة للنسبة، أي $k = \frac{y}{x} = 4$.
4. **الإجابة النهائية:** نعم، العلاقة تمثل **تغيرًا طرديًا** وثابت التغير $k = 4$.

سؤال 12: حدد ما إذا كانت كل دالة خطية فيما يأتي تشكل تغيرًا طرديًا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: الدقائق س: ٢٠٠، ٤٠٠، ٦٠٠، ٨٠٠ التكلفة ص: ٦٥، ١١٥، ١٦٥، ٢١٥

الإجابة: س12: لا، ليست تغيراً طردياً.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول البيانات** | الدقائق (س) | ٢٠٠ | ٤٠٠ | ٦٠٠ | ٨٠٠ | | التكلفة (ص) | ٦٥ | ١١٥ | ١٦٥ | ٢١٥ |
2. **الخطوة 2: اختبار التغير الطردي** للتأكد من وجود **تغير طردي**، يجب أن تكون النسبة $\frac{y}{x}$ ثابتة لجميع أزواج القيم. 1. احسب النسبة لكل زوج: - $\frac{65}{200} = 0.325$ - $\frac{115}{400} = 0.2875$ - $\frac{165}{600} = 0.275$ - $\frac{215}{800} \approx 0.26875$ 2. النتائج **غير متساوية**.
3. **الخطوة 3: الاستنتاج** بما أن **النسبة $\frac{y}{x}$ غير ثابتة** وتختلف من زوج لآخر، فإن العلاقة **ليست تغيرًا طرديًا**. > **ملاحظة:** العلاقة هنا هي **دالة خطية** (لأن الزيادة في ص ثابتة = 50 لكل زيادة 200 في س) ولكنها لا تمر بنقطة الأصل (0,0)، لذا فهي ليست تغيرًا طرديًا.
4. **الإجابة النهائية:** لا، العلاقة **ليست تغيرًا طرديًا**.

سؤال 13: حدد ما إذا كانت كل دالة خطية فيما يأتي تشكل تغيرًا طرديًا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: العمر س: ١٠، ١١، ١٢، ١٣ الصف ص: ٥، ٦، ٧، ٨

الإجابة: س13: لا ليست تغيراً طردياً.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول البيانات** | العمر (س) | ١٠ | ١١ | ١٢ | ١٣ | | الصف (ص) | ٥ | ٦ | ٧ | ٨ |
2. **الخطوة 2: اختبار التغير الطردي** للتأكد من وجود **تغير طردي**، يجب أن تكون النسبة $\frac{y}{x}$ ثابتة لجميع أزواج القيم. 1. احسب النسبة لكل زوج: - $\frac{5}{10} = 0.5$ - $\frac{6}{11} \approx 0.545$ - $\frac{7}{12} \approx 0.583$ - $\frac{8}{13} \approx 0.615$ 2. النتائج **غير متساوية**.
3. **الخطوة 3: الاستنتاج** بما أن **النسبة $\frac{y}{x}$ غير ثابتة**، فإن العلاقة **ليست تغيرًا طرديًا**. > **ملاحظة:** على الرغم من أن قيم $y$ تزيد بواحد مع زيادة $x$ بواحد، إلا أن النسبة ليست ثابتة لأن العلاقة لا تمر بنقطة الأصل (0,0).
4. **الإجابة النهائية:** لا، العلاقة **ليست تغيرًا طرديًا**.

سؤال 14: حدد ما إذا كانت كل دالة خطية فيما يأتي تشكل تغيرًا طرديًا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: الثمن س: ١٠، ١٥، ٢٠، ٢٥ الربح ص: ٠,٧٠، ١,٠٥، ١,٤٠، ١,٧٥

الإجابة: س14: نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير 0.07 = k (أي 0,07).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول البيانات** | الثمن (س) | ١٠ | ١٥ | ٢٠ | ٢٥ | | الربح (ص) | ٠,٧٠ | ١,٠٥ | ١,٤٠ | ١,٧٥ |
2. **الخطوة 2: اختبار التغير الطردي** للتأكد من وجود **تغير طردي**، يجب أن تكون النسبة $\frac{y}{x}$ ثابتة لجميع أزواج القيم. 1. احسب النسبة لكل زوج: - $\frac{0.70}{10} = 0.07$ - $\frac{1.05}{15} = 0.07$ - $\frac{1.40}{20} = 0.07$ - $\frac{1.75}{25} = 0.07$ 2. جميع النتائج متساوية وتساوي **0.07**.
3. **الخطوة 3: الاستنتاج** بما أن **النسبة $\frac{y}{x}$ ثابتة**، فإن العلاقة تمثل **تغيرًا طرديًا**. > **ثابت التغير ($k$):** هو القيمة الثابتة للنسبة، أي $k = \frac{y}{x} = 0.07$.
4. **الإجابة النهائية:** نعم، العلاقة تمثل **تغيرًا طرديًا** وثابت التغير $k = 0.07$.

سؤال 15: جبر: إذا كانت ص تتغير طرديًا مع س. فاكتب معادلة التغير الطردي، ثم أوجد القيمة المطلوبة. إذا كانت ص = -١٢ عندما س = ٩، فأوجد قيمة ص عندما س = -٤.

الإجابة: س15: ص = -4/3 س؛ ص = 16/3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | قيمة $x$ المعطاة | $x_1$ | ٩ | | قيمة $y$ المعطاة | $y_1$ | -١٢ | | قيمة $x$ الجديدة | $x_2$ | -٤ | | قيمة $y$ الجديدة | $y_2$ | ؟ |
2. **الخطوة 2: كتابة معادلة التغير الطردي** معادلة التغير الطردي العامة: $y = kx$، حيث $k$ ثابت. 1. نوجد $k$ باستخدام القيم المعطاة: $$k = \frac{y_1}{x_1} = \frac{-12}{9} = -\frac{4}{3}$$ 2. معادلة التغير الطردي هي: $$\boxed{y = -\frac{4}{3}x}$$
3. **الخطوة 3: إيجاد قيمة $y$ عندما $x = -4$** نعوض $x = -4$ في المعادلة: $$y = -\frac{4}{3} \times (-4) = \frac{16}{3}$$ > يمكن كتابة الإجابة على الصورة الكسرية $\frac{16}{3}$ أو العشرية $5.\overline{3}$.
4. **الإجابة النهائية:** معادلة التغير الطردي هي $y = -\frac{4}{3}x$، وعندما $x = -4$ تكون $y = \frac{16}{3}$.

سؤال 16: جبر: إذا كانت ص تتغير طرديًا مع س. فاكتب معادلة التغير الطردي، ثم أوجد القيمة المطلوبة. إذا كانت ص = ٨ عندما س = ٢٠، فأوجد قيمة ص عندما س = ١٠.

الإجابة: س16: ص = 2/5 س؛ ص = 4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | قيمة $x$ المعطاة | $x_1$ | ٢٠ | | قيمة $y$ المعطاة | $y_1$ | ٨ | | قيمة $x$ الجديدة | $x_2$ | ١٠ | | قيمة $y$ الجديدة | $y_2$ | ؟ |
2. **الخطوة 2: كتابة معادلة التغير الطردي** معادلة التغير الطردي العامة: $y = kx$، حيث $k$ ثابت. 1. نوجد $k$ باستخدام القيم المعطاة: $$k = \frac{y_1}{x_1} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$ 2. معادلة التغير الطردي هي: $$\boxed{y = \frac{2}{5}x}$$
3. **الخطوة 3: إيجاد قيمة $y$ عندما $x = 10$** نعوض $x = 10$ في المعادلة: $$y = \frac{2}{5} \times 10 = \frac{20}{5} = 4$$
4. **الإجابة النهائية:** معادلة التغير الطردي هي $y = \frac{2}{5}x$، وعندما $x = 10$ تكون $y = 4$.

سؤال 17: جبر: إذا كانت ص تتغير طرديًا مع س. فاكتب معادلة التغير الطردي، ثم أوجد القيمة المطلوبة. إذا كانت ص = -٦ عندما س = -١٤، فما قيمة س عندما ص = -٤؟

الإجابة: س17: ص = 3/7 س؛ س = -28/3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | قيمة $x$ المعطاة | $x_1$ | -١٤ | | قيمة $y$ المعطاة | $y_1$ | -٦ | | قيمة $y$ الجديدة | $y_2$ | -٤ | | قيمة $x$ الجديدة | $x_2$ | ؟ |
2. **الخطوة 2: كتابة معادلة التغير الطردي** معادلة التغير الطردي العامة: $y = kx$، حيث $k$ ثابت. 1. نوجد $k$ باستخدام القيم المعطاة: $$k = \frac{y_1}{x_1} = \frac{-6}{-14} = \frac{3}{7}$$ 2. معادلة التغير الطردي هي: $$\boxed{y = \frac{3}{7}x}$$
3. **الخطوة 3: إيجاد قيمة $x$ عندما $y = -4$** نعوض $y = -4$ في المعادلة ونحل لإيجاد $x$: $$-4 = \frac{3}{7}x$$ 1. بضرب الطرفين في 7: $$-28 = 3x$$ 2. بقسمة الطرفين على 3: $$x = -\frac{28}{3}$$ > يمكن كتابة الإجابة على الصورة الكسرية $-\frac{28}{3}$ أو العشرية $-9.\overline{3}$.
4. **الإجابة النهائية:** معادلة التغير الطردي هي $y = \frac{3}{7}x$، وعندما $y = -4$ تكون $x = -\frac{28}{3}$.

سؤال 18: قياس: يتغير عدد السنتمترات طرديًا مع عدد البوصات. أوجد طول جسم بالسنتمترات إذا كان طوله ٥٠ بوصة. البوصات س: ٦، ٩، ١٢، ١٥ السنتمترات ص: ١٥,٢٤، ٢٢,٨٦، ٣٠,٤٨، ٣٨,١٠

الإجابة: س18: 127 سم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول البيانات المعطاة** | البوصات (س) | ٦ | ٩ | ١٢ | ١٥ | | السنتمترات (ص) | ١٥,٢٤ | ٢٢,٨٦ | ٣٠,٤٨ | ٣٨,١٠ |
2. **الخطوة 2: التأكد من أن العلاقة طردية (اختياري)** للتأكد، نحسب النسبة $\frac{y}{x}$ لزوج واحد (أي معامل التحويل): $$k = \frac{15.24}{6} = 2.54$$ > **2.54** هو عامل التحويل الثابت المعروف من البوصة إلى السنتيمتر.
3. **الخطوة 3: إيجاد الطول بالسنتمترات لـ 50 بوصة** بما أن العلاقة طردية، نستخدم القانون: $y = kx$. 1. نعوض $k = 2.54$ و $x = 50$: $$y = 2.54 \times 50$$ 2. ننفذ الضرب: $$y = 127$$
4. **الإجابة النهائية:** طول الجسم الذي طوله ٥٠ بوصة هو **١٢٧ سنتمترًا**.

سؤال 19: قياس: يتغير طول المستطيل المبين في الشكل المجاور طرديًا مع عرضه. فما محيطه عندما يصبح عرضه ١٠ م؟ (علماً بأن العرض الحالي ض=٤م، والطول ل=٦,٤م)

الإجابة: س19: المحيط = 52 م

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات من السؤال والشكل** | الوصف | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | العرض الحالي | $w_1$ | ٤ م | | الطول الحالي | $l_1$ | ٦,٤ م | | العرض الجديد | $w_2$ | ١٠ م | | الطول الجديد | $l_2$ | ؟ |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم والقانون** بما أن **الطول يتغير طرديًا مع العرض**، فإن النسبة بينهما ثابتة: $$\frac{l_1}{w_1} = \frac{l_2}{w_2}$$ وبعد إيجاد $l_2$، يمكن إيجاد **المحيط** للمستطيل الجديد باستخدام: $$\text{المحيط} = 2 \times (\text{الطول} + \text{العرض}) = 2(l_2 + w_2)$$
3. **الخطوة 3: إيجاد الطول الجديد ($l_2$)** 1. نطبق قانون التناسب: $$\frac{6.4}{4} = \frac{l_2}{10}$$ 2. نبسط الطرف الأيسر: $$\frac{6.4}{4} = 1.6$$ 3. نجد $l_2$: $$1.6 = \frac{l_2}{10} \Rightarrow l_2 = 1.6 \times 10 = 16 \text{ م}$$
4. **الخطوة 4: إيجاد محيط المستطيل الجديد** المحيط $= 2 \times (16 + 10) = 2 \times 26 = 52$ م.
5. **الإجابة النهائية:** عندما يصبح عرض المستطيل ١٠ م، يصبح طوله ١٦ م، ويكون **محيطه ٥٢ مترًا**.

سؤال 20: مسألة مفتوحة: حدّد قيمًا لكل من س، ص في علاقة تغير طردي تكون فيها ص = ٩ عندما س = ١٦.

الإجابة: س20: مثال: س = 32، ص = 18

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب** المطلوب هو اختيار **أي قيمتين** لـ $x$ و $y$ تحققان: 1. وجود **تغير طردي** بينهما، أي $y = kx$. 2. أن تكون $y = 9$ عندما $x = 16$. > هذا يعني أننا نبحث عن قيم أخرى على **نفس الخط المستقيم** الذي يمر بنقطة الأصل والنقطة (16, 9).
2. **الخطوة 2: إيجاد ثابت التغير ($k$)** من النقطة المعطاة (16, 9): $$k = \frac{y}{x} = \frac{9}{16}$$ إذن معادلة التغير الطردي هي: $y = \frac{9}{16}x$.
3. **الخطوة 3: اختيار قيمة لـ $x$ وحساب $y$ المناظرة** لنختار قيمة مناسبة لـ $x$ لتسهيل الحساب، مثل ضرب 16 في عدد بسيط. 1. **مثال 1:** لنضرب $x$ في 2: $$x = 32$$ $$y = \frac{9}{16} \times 32 = 9 \times 2 = 18$$ القيم: $x = 32$، $y = 18$. 2. **مثال 2:** نقسم $x$ على 2: $$x = 8$$ $$y = \frac{9}{16} \times 8 = \frac{9}{2} = 4.5$$ القيم: $x = 8$، $y = 4.5$.
4. **الإجابة النهائية:** مثال للقيم التي تحقق الشرط هو $x = 32$ و $y = 18$، أو أي زوج آخر يحقق النسبة $\frac{y}{x} = \frac{9}{16}$.

سؤال 21: تحدّ: تتناسب كمية الطلاء المطلوبة لتغطية سطح خشبي طرديًا مع مساحة السطح. فإذا كانت ٣ عبوات تكفي لتغطية ١,٢ م٢. فكم عبوة تلزم لتغطية ٣,١٥ م٢؟

الإجابة: س21: 21 6/7 (تقريباً 22 عبوة)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | |--------|-------|--------| | عدد العلب 1 | $c_1$ | ٣ عبوات | | المساحة 1 | $a_1$ | ١,٢ م² | | المساحة 2 | $a_2$ | ٣,١٥ م² | | عدد العلب 2 | $c_2$ | ؟ |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** كمية الطلاء (ممثلة بعدد العلب) تتناسب **طرديًا** مع مساحة السطح، لذلك: $$\frac{c_1}{a_1} = \frac{c_2}{a_2}$$
3. **الخطوة 3: تعويض القيم في قانون التناسب** $$\frac{3}{1.2} = \frac{c_2}{3.15}$$
4. **الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد $c_2$** 1. تبسيط الطرف الأيسر: $$\frac{3}{1.2} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$$ 2. تطبيق التناسب: $$2.5 = \frac{c_2}{3.15}$$ 3. بضرب الطرفين في 3.15: $$c_2 = 2.5 \times 3.15 = 7.875$$ 4. تحويل العدد العشري إلى كسر: $$7.875 = 7 + \frac{875}{1000} = 7 + \frac{7}{8} = 7\frac{7}{8}$$ > **ملاحظة:** العدد $7\frac{7}{8}$ يساوي $\frac{63}{8}$.
5. **الخطوة 5: التفسير العملي للعدد** بما أن عدد العلب يجب أن يكون عددًا صحيحًا (لا يمكن شراء جزء من عبوة عمليًا)، فإن: $$7\frac{7}{8} \approx 7.875$$ وهذا يعني أننا نحتاج إلى **٨ عبوات** تقريبًا لتغطية المساحة بالكامل. > يذكر السؤال **٢١ ٦/٧** وهو خطأ مطبعي محتمل، والصواب **٧ ٧/٨**.
6. **الإجابة النهائية:** عدد العلب اللازمة نظريًا هو **سبعة وسبعة أثمان ($7\frac{7}{8}$) عبوة**، أي **حوالي ٨ عبوات** عمليًا.

سؤال 22: اكتب معادلة تغير طردي، ثم اضرب قيمة س في ٣. وفسر كيف تجد التغير في قيمة ص المناظرة.

الإجابة: س22: معادلة التغير الطردي: ك س = ص؛ إذا ضربت س في 3 فإن ص تُضرب في 3 أيضاً.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة معادلة تغير طردي عامة** معادلة التغير الطردي تُكتب على الصورة: $$\boxed{y = kx}$$ حيث: - $y$: المتغير التابع. - $x$: المتغير المستقل. - $k$: ثابت التغير (عدد حقيقي لا يساوي الصفر).
2. **الخطوة 2: افتراض قيمة لـ $k$ وكتابة مثال** لنفترض $k = 5$، فتكون المعادلة: $$y = 5x$$ > يمكن اختيار أي قيمة لـ $k$ مثل $k = 2$ أو $k = -3$.
3. **الخطوة 3: ضرب قيمة $x$ في ٣ وملاحظة التغير في $y$** 1. لنأخذ قيمة أولية لـ $x$، مثلاً $x = 2$: $$y = 5 \times 2 = 10$$ 2. الآن نضرب $x$ في ٣، فتصبح القيمة الجديدة $x' = 3 \times 2 = 6$. 3. نحسب قيمة $y'$ الجديدة: $$y' = 5 \times x' = 5 \times 6 = 30$$ 4. نلاحظ أن: $$y' = 30 = 3 \times 10 = 3 \times y$$
4. **الخطوة 4: تفسير التغير بشكل عام** في **التغير الطردي**، إذا ضُرب المتغير المستقل $x$ في عدد ما (مثل ٣)، فإن المتغير التابع $y$ **يُضرب في العدد نفسه**. > **السبب:** لأن $y = kx$. إذا استبدلنا $x$ بــ $3x$، نحصل على $y_{new} = k(3x) = 3(kx) = 3y_{old}$.
5. **الإجابة النهائية:** إذا كانت $y = kx$ تمثل تغيرًا طرديًا، فإن ضرب $x$ في ٣ يؤدي إلى ضرب $y$ في ٣ أيضًا. وهذا ينطبق على ضرب $x$ في أي عدد.

إلكترونيات: يتناسب عرض شاشة التلفاز طرديًا مع ارتفاعها. إذا أنتج مصنع شاشة تلفاز عرضها 60 سم وارتفاعها 33.75 سم، فأوجد ارتفاع شاشة تلفاز عرضها 90 سم.

• أ) 45.0 سم
• ب) 50.625 سم
• ج) 67.5 سم
• د) 56.25 سم

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 50.625 سم

الشرح: 1. نحدد المعطيات: س₁=60، ص₁=33.75، س₂=90. 2. نطبق قانون التناسب الطردي: 33.75 / 60 = ص₂ / 90. 3. نضرب الطرفين في 90: ص₂ = (33.75 / 60) × 90. 4. نبسط ونحسب: ص₂ = 0.5625 × 90 = 50.625. إذن، ارتفاع الشاشة 50.625 سم.

تلميح: استخدم قانون التناسب الطردي: ص₁/س₁ = ص₂/س₂، حيث س هو العرض وص هو الارتفاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كعك: تحتاج روان لصنع كعكة تكفي 12 شخصًا إلى 2 3/4 كوب طحين. فكم كوبًا من الطحين تحتاج إليه لعمل كعكة لـ 30 شخصًا؟

• أ) 5 1/2 كوب طحين
• ب) 6 7/8 كوب طحين
• ج) 7 1/4 كوب طحين
• د) 8 3/4 كوب طحين

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 6 7/8 كوب طحين

الشرح: 1. حول 2 3/4 إلى كسر غير فعلي: 11/4. 2. نطبق قانون التناسب الطردي: (11/4) / 12 = ف₂ / 30. 3. نبسط الطرف الأيسر: 11/48 = ف₂ / 30. 4. نضرب الطرفين في 30: ف₂ = (11/48) × 30 = 330/48. 5. نبسط الكسر: 330 ÷ 6 = 55، 48 ÷ 6 = 8. إذن ف₂ = 55/8. 6. حول إلى عدد كسري: 55 ÷ 8 = 6 والباقي 7، إذن 6 7/8 كوب.

تلميح: حول العدد الكسري إلى كسر غير فعلي، ثم استخدم قانون التناسب الطردي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت العلاقة بين الصور (س) والثواني (ص) في الجدول التالي تشكل تغيرًا طرديًا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: الصور س: 5، 6، 7، 8 الثواني ص: 20، 24، 28، 32

• أ) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 5.
• ب) لا، ليست تغيرًا طرديًا.
• ج) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 4.
• د) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 20.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 4.

الشرح: 1. نحسب النسبة ص/س لكل زوج: 20/5 = 4، 24/6 = 4، 28/7 = 4، 32/8 = 4. 2. بما أن النسبة ثابتة (4) لجميع الأزواج، فإن العلاقة تغير طردي. 3. ثابت التغير (k) هو 4.

تلميح: لحساب ثابت التغير (k)، اقسم قيمة ص على قيمة س لكل زوج من البيانات. إذا كانت النتيجة ثابتة، فهناك تغير طردي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حدد ما إذا كانت العلاقة بين الدقائق (س) والتكلفة (ص) في الجدول التالي تشكل تغيرًا طرديًا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: الدقائق س: 200، 400، 600، 800 التكلفة ص: 65، 115، 165، 215

• أ) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 0.325.
• ب) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 50.
• ج) لا، ليست تغيرًا طرديًا.
• د) لا، لكنها دالة خطية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا، ليست تغيرًا طرديًا.

الشرح: 1. نحسب النسبة ص/س لكل زوج: 65/200 = 0.325. 2. للزوج التالي: 115/400 = 0.2875. 3. بما أن النسب غير متساوية، فالعلاقة ليست تغيرًا طرديًا.

تلميح: تذكر أن التغير الطردي يعني أن النسبة ص/س تكون ثابتة. احسب هذه النسبة لكل زوج من البيانات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حدد ما إذا كانت العلاقة بين الثمن (س) والربح (ص) في الجدول التالي تشكل تغيرًا طرديًا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: الثمن س: 10، 15، 20، 25 الربح ص: 0.70، 1.05، 1.40، 1.75

• أ) لا، ليست تغيرًا طرديًا.
• ب) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 0.7.
• ج) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 0.07.
• د) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 7.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير (k) هو 0.07.

الشرح: 1. نحسب النسبة ص/س لكل زوج: 0.70/10 = 0.07. 2. 1.05/15 = 0.07. 3. 1.40/20 = 0.07. 4. 1.75/25 = 0.07. 5. بما أن النسبة ثابتة (0.07)، فإن العلاقة تغير طردي وثابت التغير هو 0.07.

تلميح: اقسم قيمة الربح (ص) على قيمة الثمن (س) لكل زوج لتحديد ما إذا كانت النسبة ثابتة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت العلاقة بين العمر (س) والصف (ص) في الجدول التالي تشكل تغيرًا طرديًا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير:

• أ) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير = 0.5
• ب) لا، ليست تغيرًا طرديًا.
• ج) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير = 1
• د) نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير = 2

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، ليست تغيرًا طرديًا.

الشرح: 1. احسب النسبة ص/س لكل زوج: - 5/10 = 0.5 - 6/11 ≈ 0.545 - 7/12 ≈ 0.583 - 8/13 ≈ 0.615 2. النسبة ص/س ليست ثابتة لجميع الأزواج. 3. لذا، العلاقة ليست تغيرًا طرديًا.

تلميح: للعلاقة الطردية، يجب أن تكون النسبة (ص/س) ثابتة لجميع أزواج القيم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت ص تتغير طرديًا مع س، وكانت ص = -12 عندما س = 9، فأوجد قيمة ص عندما س = -4.

• أ) 3
• ب) -16/3
• ج) 16/3
• د) -3

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 16/3

الشرح: 1. أوجد ثابت التغير 'ك': ك = ص/س = -12/9 = -4/3. 2. اكتب معادلة التغير الطردي: ص = (-4/3)س. 3. عوض س = -4 في المعادلة: ص = (-4/3) × (-4) = 16/3.

تلميح: معادلة التغير الطردي هي ص = ك س. أوجد الثابت 'ك' أولاً ثم عوض لإيجاد القيمة المطلوبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت ص تتغير طرديًا مع س، وكانت ص = 8 عندما س = 20، فأوجد قيمة ص عندما س = 10.

• أ) 2.5
• ب) 4
• ج) 25
• د) 1.6

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 4

الشرح: 1. أوجد ثابت التغير 'ك': ك = ص/س = 8/20 = 2/5. 2. اكتب معادلة التغير الطردي: ص = (2/5)س. 3. عوض س = 10 في المعادلة: ص = (2/5) × 10 = 4.

تلميح: استخدم صيغة التناسب الطردي: ص1/س1 = ص2/س2 أو أوجد ثابت التغير 'ك' أولاً.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كانت ص تتغير طرديًا مع س، وكانت ص = -6 عندما س = -14، فما قيمة س عندما ص = -4؟

• أ) -12/7
• ب) -28/3
• ج) 28/3
• د) 12/7

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -28/3

الشرح: 1. أوجد ثابت التغير 'ك': ك = ص/س = -6/-14 = 3/7. 2. اكتب معادلة التغير الطردي: ص = (3/7)س. 3. عوض ص = -4 في المعادلة: -4 = (3/7)س. 4. اضرب الطرفين في (7/3): س = -4 × (7/3) = -28/3.

تلميح: أوجد ثابت التغير 'ك' ثم استخدم المعادلة لإيجاد قيمة س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يتغير عدد السنتمترات طرديًا مع عدد البوصات. إذا كان 6 بوصات = 15.24 سم، فكم سنتيمترًا يساوي 50 بوصة؟

• أ) 127 سم
• ب) 30.48 سم
• ج) 65.24 سم
• د) 300 سم

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 127 سم

الشرح: 1. أوجد ثابت التغير 'ك': ك = السنتمترات/البوصات = 15.24/6 = 2.54. 2. اكتب معادلة التغير الطردي: السنتمترات = 2.54 × البوصات. 3. عوض بعدد البوصات = 50: السنتمترات = 2.54 × 50 = 127 سم.

تلميح: أوجد ثابت التغير (معامل التحويل) بين البوصات والسنتمترات ثم استخدمه.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كانت ص تتغير طرديًا مع س، وكانت ص = 9 عندما س = 16. أي من أزواج القيم (س، ص) الآتية يحقق نفس علاقة التغير الطردي؟

• أ) (32, 18)
• ب) (32, 25)
• ج) (24, 15)
• د) (8, 9)

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: (32, 18)

الشرح: 1. أوجد ثابت التغير (k) من القيم المعطاة: k = ص/س = 9/16. 2. تصبح معادلة التغير الطردي: ص = (9/16)س. 3. اختبر الخيارات: عندما س = 32، ص = (9/16) × 32 = 9 × 2 = 18. إذن الزوج (32، 18) يحقق العلاقة.

تلميح: تذكر أن ثابت التغير (k) في العلاقة ص = ك س يكون ثابتًا لجميع الأزواج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تتناسب كمية الطلاء المطلوبة لتغطية سطح خشبي طرديًا مع مساحة السطح. فإذا كانت 3 عبوات تكفي لتغطية 1.2 م²، فكم عبوة تلزم لتغطية 3.15 م²؟

• أ) 63/8 عبوة
• ب) 8 عبوات
• ج) 1.26 عبوة
• د) 9 عبوات

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 63/8 عبوة

الشرح: 1. أوجد ثابت التغير k (عدد العبوات لكل متر مربع): k = 3 / 1.2 = 2.5 عبوة/م². 2. استخدم معادلة التناسب الطردي: العبوات = k × المساحة. 3. العبوات اللازمة = 2.5 × 3.15 = 7.875. 4. حول الناتج إلى كسر: 7.875 = 7 و 7/8 = 63/8 عبوة.

تلميح: تذكر صيغة التناسب الطردي: ص1/س1 = ص2/س2. وحوّل العدد العشري إلى كسر بعد إيجاد الناتج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت العلاقة بين ص وس تمثل تغيرًا طرديًا، وقمت بضرب قيمة س في 3، فما التغير الذي يطرأ على قيمة ص المناظرة؟

• أ) تُضرب قيمة ص في 3 أيضًا
• ب) تُضاف 3 إلى قيمة ص
• ج) تُقسم قيمة ص على 3
• د) تزداد قيمة ص بمقدار 9

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: تُضرب قيمة ص في 3 أيضًا

الشرح: 1. معادلة التغير الطردي هي ص = ك س. 2. إذا ضربت س في 3، تصبح القيمة الجديدة لس هي 3س. 3. بالتعويض في المعادلة: ص' = ك (3س) = 3 (ك س). 4. بما أن ص = ك س، فإن ص' = 3ص. أي أن قيمة ص تُضرب في 3.

تلميح: تذكر تعريف التغير الطردي وكيف يرتبط المتغيران في العلاقة ص = ك س.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

بالنظر إلى التمثيل البياني، ما هي الخاصية الرئيسية التي يجب أن يتحلى بها الخط المستقيم ليمثل علاقة تغير طردي؟

• أ) يجب أن يمتلك الخط المستقيم ميلًا موجبًا دائمًا.
• ب) يجب أن يكون الخط المستقيم أفقيًا.
• ج) يجب أن يمر الخط المستقيم بنقطة الأصل (0,0).
• د) يجب أن يكون الخط المستقيم عموديًا.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يجب أن يمر الخط المستقيم بنقطة الأصل (0,0).

الشرح: 1. معادلة التغير الطردي هي $y = kx$. 2. إذا كانت $x = 0$، فإن $y = k \times 0 = 0$. 3. هذا يعني أن الخط المستقيم الذي يمثل التغير الطردي يجب أن يمر دائمًا بالنقطة (0,0) على مستوى الإحداثيات.

تلميح: تذكر العلاقة بين قيمة ص وقيمة س عندما تكون إحدى القيم صفرًا في التغير الطردي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما تعريف التغير الطردي؟

• أ) هو علاقة بين متغيرين يكون فيها ناتج جمعهما ثابتًا دائمًا.
• ب) هو علاقة بين متغيرين تزداد فيها قيمة أحدهما بزيادة قيمة الآخر بنفس النسبة، أو تتناقص بنقصانه بنفس النسبة، بحيث تكون النسبة بينهما ثابتة.
• ج) هو علاقة بين متغيرين تتناقص فيها قيمة أحدهما بزيادة قيمة الآخر.
• د) هو علاقة بين متغيرين يكون فيها ناتج ضربهما ثابتًا دائمًا.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هو علاقة بين متغيرين تزداد فيها قيمة أحدهما بزيادة قيمة الآخر بنفس النسبة، أو تتناقص بنقصانه بنفس النسبة، بحيث تكون النسبة بينهما ثابتة.

الشرح: 1. التغير الطردي هو علاقة رياضية يكون فيها ناتج قسمة المتغير التابع (ص) على المتغير المستقل (س) ثابتًا دائمًا (k). 2. هذا يعني أن الزيادة أو النقصان في أحدهما يؤثر على الآخر بنفس النسبة.

تلميح: فكر في كيفية تغير قيم المتغيرات معًا والعلاقة بينهما.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

ما هي الصورة العامة لمعادلة التغير الطردي بين المتغيرين ص وس؟

• أ) $y = x + k$
• ب) $y = k/x$
• ج) $y = kx$
• د) $y = kx + b$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $y = kx$

الشرح: 1. الصورة العامة لمعادلة التغير الطردي هي $y = kx$. 2. حيث $y$ هو المتغير التابع، و$x$ هو المتغير المستقل، و$k$ هو ثابت التغير الذي لا يساوي صفرًا.

تلميح: تذكر أن ثابت التغير (k) يربط بين المتغيرين بعملية ضرب.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في معادلة التغير الطردي $y = kx$، ماذا يمثل الرمز $k$ وكيف يتم إيجاده؟

• أ) يمثل الميل وهو الفرق بين ص وس، ويُمكن إيجاده بطرح س من ص ($k = ص - س$).
• ب) يمثل المقطع الصادي وهو حاصل ضرب ص وس، ويُمكن إيجاده بضرب ص في س ($k = ص \times س$).
• ج) يمثل ثابت التغير وهو النسبة الثابتة بين ص وس، ويُمكن إيجاده بقسمة ص على س ($k = \frac{ص}{س}$).
• د) يمثل الميل وهو النسبة الثابتة بين س وص، ويُمكن إيجاده بقسمة س على ص ($k = \frac{س}{ص}$).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يمثل ثابت التغير وهو النسبة الثابتة بين ص وس، ويُمكن إيجاده بقسمة ص على س ($k = \frac{ص}{س}$).

الشرح: 1. الرمز $k$ هو ثابت التناسب أو ثابت التغير، وهو قيمة لا تتغير طوال علاقة التغير الطردي. 2. يتم حسابه بقسمة قيمة المتغير التابع (ص) على قيمة المتغير المستقل (س) ($k = \frac{ص}{س}$).

تلميح: فكر في العلاقة التي تجعل التغير بين المتغيرين طرديًا.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

كيف يمكن تحديد ما إذا كانت العلاقة بين المتغيرين ص وس في جدول للبيانات تمثل تغيرًا طرديًا؟

• أ) بالتأكد من أن قيم ص تزداد كلما ازدادت قيم س.
• ب) بحساب الفرق بين كل زوج من القيم (ص - س)، فإذا كان الفرق ثابتًا لجميع الأزواج، فإنها تمثل تغيرًا طرديًا.
• ج) بحساب النسبة $\frac{ص}{س}$ لكل زوج من القيم، فإذا كانت النسبة ثابتة لجميع الأزواج، فإنها تمثل تغيرًا طرديًا.
• د) بحساب حاصل ضرب كل زوج من القيم (ص × س)، فإذا كان الناتج ثابتًا لجميع الأزواج، فإنها تمثل تغيرًا طرديًا.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: بحساب النسبة $\frac{ص}{س}$ لكل زوج من القيم، فإذا كانت النسبة ثابتة لجميع الأزواج، فإنها تمثل تغيرًا طرديًا.

الشرح: 1. يُعد حساب النسبة $\frac{ص}{س}$ لكل زوج من القيم هو الطريقة الأساسية لتحديد التغير الطردي. 2. إذا كانت هذه النسبة ثابتة (أي لها نفس القيمة $k$)، فإن العلاقة تكون طردية.

تلميح: ركز على الشرط الأساسي لثابت التغير في التناسب الطردي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط