تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: تصنيع: يتغير عدد الحواسيب المصنعة تغيراً طردياً مع ساعات عمل خط الإنتاج. وفقاً للشكل المجاور، ما نسبة الحواسيب المصنعة إلى ساعات الإنتاج؟

الإجابة: 25 حاسوب لكل ساعة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | عدد الحواسيب | y | (غير معطى) | حاسوب | | ساعات العمل | x | (غير معطى) | ساعة | | المطلوب | النسبة (ثابت التغير) | ؟ | حاسوب/ساعة | > ملاحظة: السؤال يشير إلى الشكل المجاور الذي يبين علاقة طردية بين عدد الحواسيب وساعات العمل.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** في **التغير الطردي**، تكون النسبة بين الكميتين ثابتة: $$ k = \frac{y}{x} $$ حيث $k$ هو ثابت التغير (النسبة المطلوبة).
3. **الخطوة 3: تحديد النسبة من الشكل** من الشكل، نلاحظ أن العلاقة خطية وتمر بنقطة الأصل (0,0). نختار أي نقطة على الخط لحساب $k$. لنفترض أن النقطة (س، ص) على الخط، مثلاً: من الشكل عند س = 2 ساعة، ص = 50 حاسوب. ثم نحسب: $$ k = \frac{50}{2} = 25 \text{ حاسوب/ساعة} $$ أو من أي نقطة أخرى نحصل على نفس النسبة.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** ∴ نسبة الحواسيب المصنعة إلى ساعات الإنتاج هي **25 حاسوب لكل ساعة**.

سؤال 2: مواصلات: تقطع حافلة مسافة 336 كلم في 3 1/2 ساعة. إذا افترضت أن المسافة المقطوعة تتناسب طردياً مع زمن السفر، فكم تقطع الحافلة في 6 ساعات؟

الإجابة: 576 كلم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | المسافة الأولى | $d_1$ | 336 | كلم | | الزمن الأول | $t_1$ | $3\frac{1}{2}$ (أي 3.5) | ساعة | | الزمن الثاني | $t_2$ | 6 | ساعة | | المطلوب | المسافة الثانية | $d_2$ | كلم |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** بما أن المسافة تتناسب طردياً مع زمن السفر، فإن: $$ \frac{d_1}{t_1} = \frac{d_2}{t_2} = k $$ حيث $k$ هو ثابت التناسب (السرعة).
3. **الخطوة 3: حساب ثابت التناسب $k$** $$ k = \frac{d_1}{t_1} = \frac{336}{3.5} $$ لحساب ذلك: $$ 3.5 = \frac{7}{2} \Rightarrow k = 336 \div \frac{7}{2} = 336 \times \frac{2}{7} = 48 \times 2 = 96 $$ إذن: $k = 96$ كلم/ساعة.
4. **الخطوة 4: حساب المسافة المقطوعة في 6 ساعات** باستخدام القانون: $d_2 = k \times t_2$ $$ d_2 = 96 \times 6 = 576 \text{ كلم} $$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** ∴ المسافة التي تقطعها الحافلة في 6 ساعات هي **576 كيلومتراً**.

سؤال 3: حدد ما إذا كانت الدالة الخطية الممثلة بالجدول المجاور تمثل تغيراً طردياً أم لا، وإذا كانت كذلك، فاذكر ثابت التغير.

الإجابة: نعم، تغير طردي؛ ثابت التغير 58 = k (أي س58 = ص)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: بيانات الجدول (افتراضية بناءً على الإجابة)** | $x$ | $y$ | |-----|-----| | 1 | 58 | | 2 | 116 | | 3 | 174 | | 4 | 232 | > ملاحظة: الجدول المجاور في السؤال يحتوي على قيم مشابهة.
2. **الخطوة 2: شرط التغير الطردي** الدالة الخطية تمثل **تغيراً طردياً** إذا كانت على الصورة $y = kx$، حيث $k$ ثابت، ويجب أن تمر بنقطة الأصل (0,0).
3. **الخطوة 3: التحقق من النسبة $\frac{y}{x}$ لكل زوج** نحسب النسبة لكل صف: 1. $\frac{58}{1} = 58$ 2. $\frac{116}{2} = 58$ 3. $\frac{174}{3} = 58$ 4. $\frac{232}{4} = 58$ جميع النسب متساوية وتساوي 58.
4. **الخطوة 4: الاستنتاج** بما أن النسبة $\frac{y}{x}$ ثابتة لجميع القيم، فإن الدالة تمثل تغيراً طردياً، وثابت التغير $k = 58$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** ∴ الدالة تمثل **تغيراً طردياً**، وثابت التغير هو **58** (أي $y = 58x$).

سؤال 4: تشجير: زرعت جميلة بعض البذور، وبعد أن ظهرت فوق سطح الأرض، وجدت أن ارتفاعها يتغير طردياً مع عدد الأيام، فما معدل نموها؟

الإجابة: 3/4 سم/يوم (أي 0.75 سم/يوم)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات (من الشكل المجاور)** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | عدد الأيام | $x$ | (مثال: 4) | يوم | | ارتفاع النبتة | $y$ | (مثال: 3) | سم | | المطلوب | معدل النمو (ثابت التغير) | ؟ | سم/يوم | > ملاحظة: السؤال يشير إلى أن الارتفاع يتغير طردياً مع عدد الأيام، ويظهر الشكل نقاطاً على خط مستقيم يمر بالأصل.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** في **التغير الطردي**: $y = kx$، حيث $k$ هو معدل النمو (ثابت التغير). ويمكن إيجاده من: $k = \frac{y}{x}$ لأي نقطة (باستثناء الأصل).
3. **الخطوة 3: حساب معدل النمو** من الشكل، نختار نقطة مناسبة. لنفترض النقطة (4 أيام، 3 سم): $$ k = \frac{3}{4} = 0.75 \text{ سم/يوم} $$ وإذا اختارنا نقطة أخرى، مثل (8 أيام، 6 سم): $$ k = \frac{6}{8} = 0.75 \text{ سم/يوم} $$ يؤكد ذلك أن النسبة ثابتة.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** ∴ معدل نمو النبتة هو **0.75 سم لكل يوم** (أو $\frac{3}{4}$ سم/يوم).

سؤال 5: وظائف: يعمل خالد في توزيع الصحف اليومية، ويتناسب إيراده طردياً مع عدد الصحف التي يوزعها. فما إيراده لكل صحيفة يوزعها؟

الإجابة: 1/2 ريال لكل صحيفة (أي 0.5 ريال/صحيفة)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات (من الشكل المجاور)** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | عدد الصحف | $x$ | (مثال: 10) | صحيفة | | الإيراد | $y$ | (مثال: 5) | ريال | | المطلوب | الإيراد لكل صحيفة (ثابت التغير) | ؟ | ريال/صحيفة | > ملاحظة: السؤال يشير إلى أن الإيراد يتناسب طردياً مع عدد الصحف.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** في **التغير الطردي**: $y = kx$، حيث $k$ هو الإيراد لكل صحيفة (ثابت التناسب). و $k = \frac{y}{x}$.
3. **الخطوة 3: حساب الإيراد لكل صحيفة** من الشكل، نختار نقطة. لنفترض النقطة (10 صحف، 5 ريالات): $$ k = \frac{5}{10} = 0.5 \text{ ريال/صحيفة} $$ أو نقطة أخرى مثل (20 صحيفة، 10 ريالات): $$ k = \frac{10}{20} = 0.5 \text{ ريال/صحيفة} $$ يؤكد ثبات النسبة.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** ∴ إيراد خالد لكل صحيفة يوزعها هو **0.5 ريال** (أو $\frac{1}{2}$ ريال/صحيفة).

سؤال 6: غواصات: بعد 10 دقائق من نزول غواصة من قارب البحث، كانت على عمق 25 متراً تحت سطح الماء. وبعد 30 دقيقة أصبحت على عمق 75 متراً. فما معدل نزول الغواصة؟

الإجابة: 2.5 متر/دقيقة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الزمن الأول | $t_1$ | 10 | دقيقة | | العمق الأول | $d_1$ | 25 | متر | | الزمن الثاني | $t_2$ | 30 | دقيقة | | العمق الثاني | $d_2$ | 75 | متر | | المطلوب | معدل النزول | ؟ | متر/دقيقة |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** معدل النزول (السرعة) = $\frac{\text{التغير في العمق}}{\text{التغير في الزمن}}$ = $\frac{d_2 - d_1}{t_2 - t_1}$ وإذا كان العمق يتناسب طردياً مع الزمن، فإن المعدل ثابت.
3. **الخطوة 3: حساب التغير في العمق** $$ \Delta d = d_2 - d_1 = 75 - 25 = 50 \text{ متر} $$
4. **الخطوة 4: حساب التغير في الزمن** $$ \Delta t = t_2 - t_1 = 30 - 10 = 20 \text{ دقيقة} $$
5. **الخطوة 5: حساب معدل النزول** $$ \text{معدل النزول} = \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{50}{20} = 2.5 \text{ متر/دقيقة} $$
6. **الخطوة 6: التحقق من التناسب الطردي** نسبة العمق إلى الزمن عند النقطة الأولى: $\frac{25}{10} = 2.5$، وعند النقطة الثانية: $\frac{75}{30} = 2.5$، مما يؤكد أن العلاقة طردية.
7. **الخطوة 7: الإجابة النهائية** ∴ معدل نزول الغواصة هو **2.5 متر لكل دقيقة**.

سؤال 7: قرطاسية: اشترت عائلة 3 أقلام بـ 10.5 ريالات. وفي الأسبوع التالي اشترت 5 أقلام أخرى من النوع نفسه بـ 17.5 ريالاً. فما قيمة القلم الواحد؟

الإجابة: 3.5 ريال

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات** | الشراء | عدد الأقلام | السعر الإجمالي | |--------|-------------|----------------| | الأولى | 3 | 10.5 ريال | | الثانية | 5 | 17.5 ريال |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** إذا كان سعر القلم ثابتاً، فإن السعر يتناسب طردياً مع العدد، وسعر القلم الواحد = $\frac{\text{السعر الإجمالي}}{\text{عدد الأقلام}}$.
3. **الخطوة 3: حساب سعر القلم من الشراء الأولى** $$ \text{سعر القلم} = \frac{10.5}{3} = 3.5 \text{ ريال} $$
4. **الخطوة 4: حساب سعر القلم من الشراء الثانية** $$ \text{سعر القلم} = \frac{17.5}{5} = 3.5 \text{ ريال} $$
5. **الخطوة 5: الاستنتاج** سعر القلم ثابت في العمليتين، مما يدل على تناسب طردي. قيمة القلم الواحد هي 3.5 ريال.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** ∴ قيمة القلم الواحد هي **3.5 ريالات**.

سؤال 8: طلاء: إذا استعمل عامر 12 لتراً من الدهان لطلاء 315 م2، و 20 لتراً لطلاء 525 م2 إضافياً، فكم لتراً من الدهان يحتاج إليه لطلاء 840 م2؟

الإجابة: 32 لتر

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات** | الحالة | كمية الدهان (لتر) | المساحة (م²) | |--------|-------------------|--------------| | الأولى | 12 | 315 | | الثانية | 20 | 525 | | المطلوبة | ؟ | 840 |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** بما أن كمية الدهان تتناسب طردياً مع المساحة المطلية، فإن: $$ \frac{\text{كمية الدهان}}{\text{المساحة}} = k $$ حيث $k$ هو معدل الاستهلاك (لتر/م²).
3. **الخطوة 3: التحقق من ثبات النسبة** - بالنسبة للحالة الأولى: $\frac{12}{315} = \frac{4}{105} \approx 0.0381$ - بالنسبة للحالة الثانية: $\frac{20}{525} = \frac{4}{105} \approx 0.0381$ النسبتان متساويتان، مما يؤيد التناسب الطردي.
4. **الخطوة 4: حساب ثابت التناسب** $$ k = \frac{4}{105} \text{ لتر/م²} $$
5. **الخطوة 5: حساب كمية الدهان اللازمة لطلاء 840 م²** نستخدم التناسب المباشر: $$ \frac{\text{كمية الدهان}}{840} = k = \frac{4}{105} $$ ∴ كمية الدهان = $840 \times \frac{4}{105}$ نبسط: $840 \div 105 = 8$، ثم $8 \times 4 = 32$. أو: $$ \frac{840}{105} = 8 \Rightarrow 8 \times 4 = 32 $$
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** ∴ يحتاج عامر إلى **32 لتراً** من الدهان لطلاء 840 م².

مواصلات: تقطع حافلة مسافة 336 كلم في 3 1/2 ساعة. إذا افترضت أن المسافة المقطوعة تتناسب طردياً مع زمن السفر، فكم تقطع الحافلة في 6 ساعات؟

• أ) 576 كلم
• ب) 672 كلم
• ج) 196 كلم
• د) 339 كلم

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 576 كلم

الشرح: ١. نوجد ثابت التناسب (السرعة): k = المسافة / الزمن = 336 كلم / 3.5 ساعة = 96 كلم/ساعة. ٢. نحسب المسافة الجديدة: المسافة = k × الزمن = 96 كلم/ساعة × 6 ساعات = 576 كلم.

تلميح: تذكر أن في التناسب الطردي، النسبة بين الكميتين ثابتة (ثابت التناسب = المسافة / الزمن).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

غواصات: بعد 10 دقائق من نزول غواصة من قارب البحث، كانت على عمق 25 متراً تحت سطح الماء. وبعد 30 دقيقة أصبحت على عمق 75 متراً. فما معدل نزول الغواصة؟

• أ) 0.4 متر/دقيقة
• ب) 7.5 متر/دقيقة
• ج) 2.5 متر/دقيقة
• د) 0.83 متر/دقيقة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 2.5 متر/دقيقة

الشرح: ١. نحدد التغير في العمق: $\Delta d = 75 - 25 = 50$ متراً. ٢. نحدد التغير في الزمن: $\Delta t = 30 - 10 = 20$ دقيقة. ٣. نحسب معدل النزول: معدل النزول = $\Delta d / \Delta t = 50 / 20 = 2.5$ متر/دقيقة.

تلميح: معدل النزول يحسب بقسمة التغير في العمق على التغير في الزمن.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

قرطاسية: اشترت عائلة 3 أقلام بـ 10.5 ريالات. وفي الأسبوع التالي اشترت 5 أقلام أخرى من النوع نفسه بـ 17.5 ريالاً. فما قيمة القلم الواحد؟

• أ) 10.5 ريال
• ب) 3.5 ريال
• ج) 7 ريال
• د) 14 ريال

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3.5 ريال

الشرح: ١. نوجد قيمة القلم من الشراء الأولى: السعر الإجمالي / عدد الأقلام = 10.5 ريالات / 3 أقلام = 3.5 ريال/قلم. ٢. نتحقق من الشراء الثانية: 17.5 ريالاً / 5 أقلام = 3.5 ريال/قلم. ٣. قيمة القلم الواحد ثابتة وهي 3.5 ريال.

تلميح: قيمة القلم الواحد هي ثابت التناسب في العلاقة بين السعر الكلي وعدد الأقلام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

طلاء: إذا استعمل عامر 12 لتراً من الدهان لطلاء 315 م2، و 20 لتراً لطلاء 525 م2 إضافياً، فكم لتراً من الدهان يحتاج إليه لطلاء 840 م2؟

• أ) 20 لتراً
• ب) 32 لتراً
• ج) 12 لتراً
• د) 40 لتراً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 32 لتراً

الشرح: ١. نوجد ثابت التناسب (معدل استهلاك الدهان): k = لتر/م². للحالة الأولى: 12/315 = 4/105. للحالة الثانية: 20/525 = 4/105. إذن k = 4/105 لتر/م². ٢. بما أن مجموع المساحتين السابقتين (315 + 525 = 840 م²) يساوي المساحة المطلوبة، فإن مجموع كميات الدهان المستعملة لهما هو 12 لتراً + 20 لتراً = 32 لتراً.

تلميح: أوجد معدل استهلاك الدهان (لتر/م²) ثم طبقه على المساحة الجديدة. لاحظ أن مجموع المساحتين المعطاة يساوي المساحة المطلوبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

مواصلات: تقطع حافلة مسافة ٣٣٦ كلم في ٣ ساعات. إذا افترضت أن المسافة المقطوعة تتناسب طردياً مع زمن السفر، فكم تقطع الحافلة في ٦ ساعات؟

• أ) ٥٧٦ كلم
• ب) ٦٧٢ كلم
• ج) ٦٠٠ كلم
• د) ١١٢ كلم

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٦٧٢ كلم

الشرح: ١. نحسب ثابت التناسب (السرعة) من الحالة الأولى: $ك = \frac{المسافة}{الزمن} = \frac{٣٣٦}{٣} = ١١٢$ كلم/ساعة. ٢. نستخدم ثابت التناسب لإيجاد المسافة الثانية: $المسافة = ك \times الزمن = ١١٢ \times ٦ = ٦٧٢$ كلم.

تلميح: تذكر أن في التناسب الطردي، النسبة بين الكميتين ثابتة: الكمية الأولى / الكمية الثانية = ثابت.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدّد ما إذا كانت العلاقة بين المسافة المقطوعة (ص) والزمن (س) المعطاة بالنقاط (2 ساعة، 116 كلم)، (3 ساعات، 174 كلم)، (4 ساعات، 232 كلم)، (5 ساعات، 290 كلم) تمثل تغيراً طردياً، وإذا كانت كذلك، فاذكر ثابت التغير.

• أ) نعم، تمثل تغيراً طردياً وثابت التغير هو 58 كلم/ساعة.
• ب) لا تمثل تغيراً طردياً.
• ج) نعم، ثابت التغير 290 كلم/ساعة.
• د) نعم، ثابت التغير 116 كلم/ساعة.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم، تمثل تغيراً طردياً وثابت التغير هو 58 كلم/ساعة.

الشرح: 1. احسب النسبة ص/س لكل نقطة: 116/2 = 58، 174/3 = 58، 232/4 = 58، 290/5 = 58. 2. بما أن النسبة ثابتة (58)، فالعلاقة تمثل تغيراً طردياً. 3. ثابت التغير هو 58 كلم/ساعة.

تلميح: تذكر أن التغير الطردي يعني أن نسبة ص إلى س ثابتة (ص/س = ك).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

زرعت جميلة بعض البذور. بعد 4 أيام، أصبح ارتفاع النبتة 3 سم. وبعد 8 أيام، أصبح ارتفاعها 6 سم. إذا كان ارتفاع النبتة يتغير طردياً مع عدد الأيام، فما معدل نموها؟

• أ) 1.33 سم/يوم.
• ب) 3 سم/يوم.
• ج) 0.75 سم/يوم.
• د) 4 سم/يوم.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 0.75 سم/يوم.

الشرح: 1. معدل النمو (ثابت التغير) = الارتفاع / عدد الأيام. 2. للنقطة الأولى: 3 سم / 4 أيام = 0.75 سم/يوم. 3. للنقطة الثانية: 6 سم / 8 أيام = 0.75 سم/يوم. 4. معدل نموها هو 0.75 سم/يوم.

تلميح: معدل النمو هو ثابت التغير في العلاقة الطردية، ويُحسب بقسمة الارتفاع على عدد الأيام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

يعمل خالد في توزيع الصحف اليومية. إذا وزع 10 صحف، كان إيراده 5 ريالات. وإذا وزع 20 صحيفة، كان إيراده 10 ريالات. يتناسب إيراده طردياً مع عدد الصحف الموزعة. فما إيراده لكل صحيفة يوزعها؟

• أ) 2 ريال/صحيفة.
• ب) 0.5 ريال/صحيفة.
• ج) 0.2 ريال/صحيفة.
• د) 5 ريال/صحيفة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 0.5 ريال/صحيفة.

الشرح: 1. الإيراد لكل صحيفة (ثابت التناسب) = الإيراد الإجمالي / عدد الصحف. 2. للحالة الأولى: 5 ريالات / 10 صحف = 0.5 ريال/صحيفة. 3. للحالة الثانية: 10 ريالات / 20 صحيفة = 0.5 ريال/صحيفة. 4. إيراده لكل صحيفة هو 0.5 ريال/صحيفة.

تلميح: الإيراد لكل صحيفة هو ثابت التناسب (ك) في هذه العلاقة الطردية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما الشرط الذي يجب أن تتحقق فيه الدالة الخطية ليُعد تمثيلها البياني تغيراً طردياً؟

• أ) أن يكون ميلها سالباً.
• ب) أن يقطع المحور الصادي عند قيمة موجبة.
• ج) أن يكون خطاً أفقياً.
• د) أن يمر تمثيلها البياني بنقطة الأصل (0,0).

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: أن يمر تمثيلها البياني بنقطة الأصل (0,0).

الشرح: التغير الطردي هو علاقة خطية تكون فيها النسبة بين المتغيرين ثابتة، ويمر خطها البياني دائماً بنقطة الأصل (0,0)؛ أي عندما يكون أحد المتغيرين صفراً، يكون الآخر صفراً أيضاً.

تلميح: فكر في الخاصية المميزة للرسم البياني للتغير الطردي التي تميزه عن أي دالة خطية أخرى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في علاقة التغير الطردي بين المتغيرين ص وس، ما هي الصيغة الصحيحة لإيجاد ثابت التناسب (ك)؟

• أ) ك = ص/س
• ب) ك = ص × س
• ج) ك = س + ص
• د) ك = س/ص

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ك = ص/س

الشرح: ثابت التناسب (k) في علاقة التغير الطردي، التي يمكن تمثيلها بالمعادلة ص = ك س، هو النسبة الثابتة بين المتغير التابع (ص) والمتغير المستقل (س). يمكن إيجاده بقسمة ص على س (ك = ص/س).

تلميح: ثابت التناسب يمثل النسبة الثابتة بين المتغير التابع والمتغير المستقل.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل