إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 38: حل كل من المعادلات الآتية، ثم تحقق من صحة الحل: ٦ ل² = ١٢ ل

الإجابة: ٦ ل² = ١٢ ل ٦ ل² - ١٢ ل = ٠ ٦ ل (ل - ٢) = ٠ ٦ ل = ٠ أو ل - ٢ = ٠ ل = ٠ أو ل = ٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | المعادلة | $6 ل^2 = 12 ل$ | | المطلوب | إيجاد قيمة $ل$ والتحقق |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لحل معادلة تربيعية على الصورة $أ س^2 + ب س = 0$، نستخدم **طريقة التحليل إلى عوامل** بأخذ **العامل المشترك**.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نجعل أحد الطرفين يساوي صفراً: $6 ل^2 = 12 ل$ $6 ل^2 - 12 ل = 0$ 2. نلاحظ وجود عامل مشترك هو $6ل$، فنقوم بإخراجه: $6 ل (ل - 2) = 0$ 3. وفقاً **لمبدأ الضرب الصفري**: إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفراً، فإن أحدهما على الأقل يساوي صفراً. $6 ل = 0$ **أو** $ل - 2 = 0$ 4. نحل كل معادلة بسيطة: - من $6 ل = 0$ بقسمة الطرفين على 6: $ل = 0$. - من $ل - 2 = 0$ بإضافة 2 للطرفين: $ل = 2$.
4. **الخطوة 4: التحقق من صحة الحل** - عند $ل = 0$: الطرف الأيمن $6 × (0)^2 = 0$، الطرف الأيسر $12 × 0 = 0$ ✔ - عند $ل = 2$: الطرف الأيمن $6 × (2)^2 = 6 × 4 = 24$، الطرف الأيسر $12 × 2 = 24$ ✔
5. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** مجموعة حلول المعادلة $6 ل^2 = 12 ل$ هي **$ل = 0$ أو $ل = 2$**.

سؤال 39: ٨ س² = ٢ س

الإجابة: ٨ س² = ٢ س ٨ س² - ٢ س = ٠ ٢ س (٤ س - ١) = ٠ ٢ س = ٠ أو ٤ س - ١ = ٠ س = ٠ أو ٤ س = ١ س = ١/٤

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | المعادلة | $8 س^2 = 2 س$ | | المطلوب | إيجاد قيمة $س$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لحل معادلة تربيعية على الصورة $أ س^2 + ب س = 0$، نستخدم **التحليل إلى عوامل** بإخراج **العامل المشترك**.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نجعل الطرف الآخر صفراً: $8 س^2 = 2 س$ $8 س^2 - 2 س = 0$ 2. نبحث عن العامل المشترك. نلاحظ أن $2س$ عامل مشترك: $2 س (4 س - 1) = 0$ 3. نطبق **مبدأ الضرب الصفري**: $2 س = 0$ **أو** $4 س - 1 = 0$ 4. نحل كل معادلة: - من $2 س = 0$: بقسمة الطرفين على 2، $س = 0$. - من $4 س - 1 = 0$: نضيف 1 للطرفين $4 س = 1$، ثم نقسم على 4، $س = \frac{1}{4}$.
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** قيم $س$ التي تحقق المعادلة هي **$س = 0$ أو $س = \frac{1}{4}$**.

سؤال 40: ٤ ص² = ٩/١٦

الإجابة: ٤ ص² = ٩/١٦ ٤ ص² - ٩/١٦ = ٠ (٢ ص - ٣/٤) (٢ ص + ٣/٤) = ٠ ٢ ص - ٣/٤ = ٠ أو ٢ ص + ٣/٤ = ٠ ٢ ص = ٣/٤ أو ٢ ص = -٣/٤ ص = ٣/٨ أو ص = -٣/٨

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | المعادلة | $4 ص^2 = \frac{9}{16}$ | | المطلوب | إيجاد قيمة $ص$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لحل معادلة على الصورة $أ س^2 = ج$، يمكن إعادة ترتيبها إلى **فرق بين مربعين**: $أ س^2 - ج = 0$، ثم التحليل باستخدام القاعدة: $أ^2 - ب^2 = (أ - ب)(أ + ب)$.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نعيد كتابة المعادلة بحيث يكون الطرف الآخر صفراً: $4 ص^2 - \frac{9}{16} = 0$ 2. نلاحظ أن العبارة هي **فرق بين مربعين**، حيث: - $4 ص^2 = (2 ص)^2$ - $\frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2$ 3. نطبق قاعدة الفرق بين مربعين: $(2 ص)^2 - (\frac{3}{4})^2 = (2 ص - \frac{3}{4})(2 ص + \frac{3}{4}) = 0$ 4. نطبق **مبدأ الضرب الصفري**: $2 ص - \frac{3}{4} = 0$ **أو** $2 ص + \frac{3}{4} = 0$ 5. نحل كل معادلة: - من الأولى: $2 ص = \frac{3}{4}$، بقسمة الطرفين على 2: $ص = \frac{3}{4} ÷ 2 = \frac{3}{8}$. - من الثانية: $2 ص = -\frac{3}{4}$، بقسمة الطرفين على 2: $ص = -\frac{3}{4} ÷ 2 = -\frac{3}{8}$.
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** مجموعة الحل للمعادلة هي **$ص = \frac{3}{8}$ أو $ص = -\frac{3}{8}$**.

سؤال 41: ٨١ - ٤٩ ب² = ٠

الإجابة: ٨١ - ٤٩ ب² = ٠ (٩ - ٧ ب) (٩ + ٧ ب) = ٠ ٩ - ٧ ب = ٠ أو ٩ + ٧ ب = ٠ ٩ = ٧ ب أو -٩ = ٧ ب ب = ٩/٧ أو ب = -٩/٧

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | المعادلة | $81 - 49 ب^2 = 0$ | | المطلوب | إيجاد قيمة $ب$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** معادلة على صورة **فرق بين مربعين**، نستخدم قاعدة التحليل: $أ^2 - ب^2 = (أ - ب)(أ + ب)$.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. المعادلة معطاة بالفعل على الصورة المطلوبة: $81 - 49 ب^2 = 0$. 2. نعبر عن كل حد كمربع كامل: - $81 = (9)^2$ - $49 ب^2 = (7 ب)^2$ 3. نعيد ترتيبها كفرق بين مربعين: $(9)^2 - (7 ب)^2 = 0$. 4. نحلل باستخدام القاعدة: $(9 - 7 ب)(9 + 7 ب) = 0$ 5. نطبق **مبدأ الضرب الصفري**: $9 - 7 ب = 0$ **أو** $9 + 7 ب = 0$ 6. نحل كل معادلة بالنسبة لـ $ب$: - من $9 - 7 ب = 0$: $9 = 7 ب$، لذا $ب = \frac{9}{7}$. - من $9 + 7 ب = 0$: $7 ب = -9$، لذا $ب = -\frac{9}{7}$.
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** قيم $ب$ التي تحقق المعادلة هي **$ب = \frac{9}{7}$ أو $ب = -\frac{9}{7}$**.

سؤال 42: ٤ ص² = ١٦ ص

الإجابة: ٤ ص² = ١٦ ص ٤ ص² - ١٦ ص = ٠ ٤ ص (ص - ٤) = ٠ ٤ ص = ٠ أو ص - ٤ = ٠ ص = ٠ أو ص = ٤

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | المعادلة | $4 ص^2 = 16 ص$ | | المطلوب | إيجاد قيمة $ص$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لحل معادلة تربيعية، نجعل أحد الطرفين صفراً ونحلل بأخذ **العامل المشترك**، ثم نطبق **مبدأ الضرب الصفري**.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نجعل الطرف الآخر صفراً: $4 ص^2 - 16 ص = 0$ 2. نبحث عن **العامل المشترك الأكبر**. نلاحظ أن $4ص$ عامل مشترك: $4 ص (ص - 4) = 0$ 3. نطبق **مبدأ الضرب الصفري**: $4 ص = 0$ **أو** $ص - 4 = 0$ 4. نحل كل معادلة: - من $4 ص = 0$: بقسمة الطرفين على 4، $ص = 0$. - من $ص - 4 = 0$: بإضافة 4 للطرفين، $ص = 4$.
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** حل المعادلة $4 ص^2 = 16 ص$ هو **$ص = 0$ أو $ص = 4$**.

سؤال 43: ٤٩ د² = ٣٦

الإجابة: ٤٩ د² = ٣٦ ٤٩ د² - ٣٦ = ٠ (٧ د - ٦) (٧ د + ٦) = ٠ ٧ د - ٦ = ٠ أو ٧ د + ٦ = ٠ ٧ د = ٦ أو ٧ د = -٦ د = ٦/٧ أو د = -٦/٧

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | المعادلة | $49 د^2 = 36$ | | المطلوب | إيجاد قيمة $د$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** معادلة على صورة $أ س^2 = ج$. يمكن حلها إما بإعادة ترتيبها إلى **فرق بين مربعين** واستخدام التحليل، أو بإيجاد الجذر التربيعي مباشرة بعد التبسيط.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نعيد كتابة المعادلة بحيث يكون الطرف الآخر صفراً: $49 د^2 - 36 = 0$ 2. نلاحظ أنها **فرق بين مربعين**، حيث: - $49 د^2 = (7 د)^2$ - $36 = (6)^2$ 3. نحلل باستخدام القاعدة $(أ^2 - ب^2) = (أ - ب)(أ + ب)$: $(7 د - 6)(7 د + 6) = 0$ 4. نطبق **مبدأ الضرب الصفري**: $7 د - 6 = 0$ **أو** $7 د + 6 = 0$ 5. نحل كل معادلة: - من $7 د - 6 = 0$: $7 د = 6$، $د = \frac{6}{7}$. - من $7 د + 6 = 0$: $7 د = -6$، $د = -\frac{6}{7}$.
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** مجموعة حلول المعادلة هي **$د = \frac{6}{7}$ أو $د = -\frac{6}{7}$**.

سؤال 44: تحليلات متعددة. ستكتشف في هذه المسألة ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً. أ) جدولياً: انسخ الجدول أدناه وأكمله بتحليل كل ثلاثية حدود، ثم اكتب أول وآخر حد في كثيرة الحدود على صورة مربعات كاملة. كثيرة الحدود: ٤ س² + ١٢ س + ٩, ٩ س² - ٦ س + ١, ٤ س² - ٢٠ س + ٢٥, ١٦ س² + ٨ س + ٩ ب) تحليلياً: اكتب الحد الأوسط في كل كثيرة حدود باستعمال الجذور التربيعية للمربعات الكاملة للحدين الأول والأخير. جـ) جبرياً: اكتب قاعدة ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً. د) لفظياً: ما الشروط الواجب توافرها في ثلاثية حدود لتصنف على أنها مربع كامل؟

الإجابة: أ) جدولياً: كثيرة الحدود: ٤ س² + ١٢ س + ٩, تحليل كثيرة الحدود: (٢ س + ٣) (٢ س + ٣), الحد الأول: (٢ س)², الحد الأخير: (٣)², الحد الأوسط: ١٢ س كثيرة الحدود: ٩ س² - ٦ س + ١, تحليل كثيرة الحدود: (٣ س - ١) (٣ س - ١), الحد الأول: (٣ س)², الحد الأخير: (١)², الحد الأوسط: -٦ س كثيرة الحدود: ٤ س² - ٢٠ س + ٢٥, تحليل كثيرة الحدود: (٢ س - ٥) (٢ س - ٥), الحد الأول: (٢ س)², الحد الأخير: (٥)², الحد الأوسط: -٢٠ س كثيرة الحدود: ١٦ س² + ٨ س + ٩, تحليل كثيرة الحدود: (٤ س + ٣) (٤ س + ٣), الحد الأول: (٤ س)², الحد الأخير: (٣)², الحد الأوسط: ٢٤ س ب) تحليلياً: الحد الأوسط = ٢ × الجذر التربيعي للحد الأول × الجذر التربيعي للحد الأخير جـ) جبرياً: أ² + ٢ أ ب + ب² = (أ + ب)² أو أ² - ٢ أ ب + ب² = (أ - ب)² د) لفظياً: الحد الأول مربع كامل، الحد الأخير مربع كامل، الحد الأوسط = ٢ × الجذر التربيعي للحد الأول × الجذر التربيعي للحد الأخير

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب** المسألة تتكون من أربعة أجزاء (أ، ب، ج، د) للتعرف على **ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً**.
2. **الخطوة 2: الجزء (أ) - جدولياً** > **ملاحظة:** يبدو أن هناك خطأ مطبعي في الجدول الأصلي في كثيرة الحدود الرابعة. الصواب هو $16 س^2 + 24 س + 9$ وليس $+8 س+9$، حتى تكون مربعاً كاملاً. | كثيرة الحدود | تحليل كثيرة الحدود | الحد الأول (مربع) | الحد الأخير (مربع) | الحد الأوسط (المعطى) | |---------------|----------------------|---------------------|----------------------|----------------------| | $4 س^2 + 12 س + 9$ | $(2 س + 3)^2$ | $(2 س)^2$ | $(3)^2$ | $12 س$ | | $9 س^2 - 6 س + 1$ | $(3 س - 1)^2$ | $(3 س)^2$ | $(1)^2$ | $-6 س$ | | $4 س^2 - 20 س + 25$ | $(2 س - 5)^2$ | $(2 س)^2$ | $(5)^2$ | $-20 س$ | | $16 س^2 + 24 س + 9$ | $(4 س + 3)^2$ | $(4 س)^2$ | $(3)^2$ | $24 س$ |
3. **الخطوة 3: الجزء (ب) - تحليلياً** لإيجاد الحد الأوسط باستعمال جذري الحد الأول والأخير: 1. **مثال الأول**: $\sqrt{4 س^2} = 2 س$، $\sqrt{9} = 3$، الحد الأوسط = $2 × (2 س) × (3) = 12 س$ ✔ 2. **مثال الثاني**: $\sqrt{9 س^2} = 3 س$، $\sqrt{1} = 1$، الحد الأوسط = $2 × (3 س) × (1) = 6 س$، والإشارة سالبة، لذا هو $-6 س$ ✔ 3. **القاعدة**: الحد الأوسط = $2 × (\text{الجذر التربيعي للحد الأول}) × (\text{الجذر التربيعي للحد الأخير})$.
4. **الخطوة 4: الجزء (جـ) - جبرياً** نستنتج **قاعدة ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً**: 1. $(أ + ب)^2 = أ^2 + 2 أ ب + ب^2$ 2. $(أ - ب)^2 = أ^2 - 2 أ ب + ب^2$ > أي أنها تكون على إحدى الصورتين: **$أ^2 + 2 أ ب + ب^2$** أو **$أ^2 - 2 أ ب + ب^2$**.
5. **الخطوة 5: الجزء (د) - لفظياً** **الشروط الواجب توافرها في ثلاثية الحدود لتصنف كمربع كامل:** 1. **الشرط الأول:** أن يكون **الحد الأول** مربعاً كاملاً (أي يمكن كتابته على صورة شيء مربع). 2. **الشرط الثاني:** أن يكون **الحد الأخير** مربعاً كاملاً. 3. **الشرط الثالث:** أن يكون **الحد الأوسط** مساوياً لضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الأول في الجذر التربيعي للحد الأخير. - أي: الحد الأوسط = $± 2 × \sqrt{\text{الحد الأول}} × \sqrt{\text{الحد الأخير}}$.

سؤال 45: اكتشف الخطأ. حللت كل من هلا ومنى العبارة الآتية، فأيهما إجابتها صحيحة؟ فسر ذلك. منى: ١٦ س² - ٩ ص² = (٤ س - ٩ ص) (٤ س + ٩ ص) هلا: ١٦ س² - ٩ ص² = (٤ س - ٣ ص) (٤ س + ٣ ص)

الإجابة: منى هي الصحيحة؛ لأن ١٦ س² - ٩ ص² = (٤ س - ٣ ص) (٤ س + ٣ ص) وطبقاً لمبدأ فرق المربعين (أ² - ب²) = (أ - ب) (أ + ب) بينما هلا أخطأت في تحديد الجذر التربيعي للحد الثاني.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | العبارة | $16 س^2 - 9 ص^2$ | | إجابة منى | $(4 س - 9 ص)(4 س + 9 ص)$ | | إجابة هلا | $(4 س - 3 ص)(4 س + 3 ص)$ | | المطلوب | تحديد الإجابة الصحيحة وتفسير ذلك |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** قاعدة **الفرق بين مربعين**: $أ^2 - ب^2 = (أ - ب)(أ + ب)$، حيث $أ$ و $ب$ هما **الجذران التربيعيان** للحدين.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل والتحليل** 1. نطبق القاعدة على العبارة $16 س^2 - 9 ص^2$: - نحدد $أ^2 = 16 س^2$، إذن $أ = \sqrt{16 س^2} = 4 س$. - نحدد $ب^2 = 9 ص^2$، إذن $ب = \sqrt{9 ص^2} = 3 ص$. 2. بالتطبيق المباشر للقاعدة: $16 س^2 - 9 ص^2 = (أ - ب)(أ + ب) = (4 س - 3 ص)(4 س + 3 ص)$. 3. نفحص إجابة كل منهما: - **هلا**: $(4 س - 3 ص)(4 س + 3 ص)$ → هذه تطبيق صحيح للقاعدة. - **منى**: $(4 س - 9 ص)(4 س + 9 ص)$ → هنا اعتبرت $ب = 9 ص$، وهذا خطأ لأن $ب^2$ يجب أن يساوي $9 ص^2$، وجذر $9 ص^2$ هو $3 ص$ وليس $9 ص$. > **ملاحظة:** في إجابة منى، عند ضرب القوسين نحصل على $16 س^2 - 81 ص^2$ وليس $16 س^2 - 9 ص^2$.
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية والتفسير** **الإجابة الصحيحة هي إجابة هلا.** **التفسير:** لأن تحليل **فرق المربعين** $16 س^2 - 9 ص^2$ يعتمد على أخذ الجذر التربيعي لكل حد. الجذر التربيعي لـ $9 ص^2$ هو $3 ص$ وليس $9 ص$. لذا، التحليل الصحيح هو $(4 س - 3 ص)(4 س + 3 ص)$. إجابة منى خاطئة لأنها استخدمت $9 ص$ بدلاً من $3 ص$ كجذر تربيعي.

سؤال 46: تحد. بسّط العبارة: ٩ - (ك + ٣)² بتحليلها بالفرق بين مربعين.

الإجابة: ٩ - (ك + ٣)² = [٣ - (ك + ٣)] [٣ + (ك + ٣)] = (٣ - ك - ٣) (٣ + ك + ٣) = (-ك) (٦ + ك) = -٦ ك - ك²

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | العبارة | $9 - (ك + 3)^2$ | | المطلوب | تبسيط العبارة باستخدام **تحليل الفرق بين مربعين** |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** قاعدة **الفرق بين مربعين**: $أ^2 - ب^2 = (أ - ب)(أ + ب)$. في هذه العبارة: - $أ^2 = 9$، إذن $أ = 3$. - $ب^2 = (ك + 3)^2$، إذن $ب = (ك + 3)$.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نكتب العبارة على صورة فرق بين مربعين: $9 - (ك + 3)^2 = (3)^2 - (ك + 3)^2$ 2. نطبق قاعدة التحليل: $= [3 - (ك + 3)] [3 + (ك + 3)]$ 3. نبسط داخل كل قوس: - القوس الأول: $3 - (ك + 3) = 3 - ك - 3 = -ك$ - القوس الثاني: $3 + (ك + 3) = 3 + ك + 3 = ك + 6$ 4. نكتب حاصل الضرب: $= (-ك) × (ك + 6)$ 5. نوزع $-ك$: $= -ك × ك + (-ك) × 6 = -ك^2 - 6ك$
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** التبسيط النهائي للعبارة $9 - (ك + 3)^2$ هو **$-ك^2 - 6ك$**.

سؤال 47: تحد. حلل: س٨ - ١

الإجابة: س٨ - ١ = (س٤ - ١) (س٤ + ١) = (س² - ١) (س² + ١) (س٤ + ١) = (س - ١) (س + ١) (س² + ١) (س٤ + ١)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | العبارة | $س^8 - 1$ | | المطلوب | تحليل العبارة تحليلاً تاماً |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - **قاعدة الفرق بين مربعين** بشكل متكرر: $أ^2 - ب^2 = (أ - ب)(أ + ب)$. - الهدف هو التبسيط حتى لا نستطيع تطبيق قاعدة الفرق بين مربعين مرة أخرى على العوامل الناتجة.
3. **الخطوة 3: خطوات التحليل المتتالية** 1. **التطبيق الأول:** نعتبر $س^8 = (س^4)^2$ و $1 = (1)^2$. $س^8 - 1 = (س^4)^2 - (1)^2 = (س^4 - 1)(س^4 + 1)$ 2. **التطبيق الثاني:** نلاحظ أن $س^4 - 1$ هو أيضاً فرق بين مربعين، حيث $س^4 = (س^2)^2$ و $1 = (1)^2$. $(س^4 - 1) = (س^2)^2 - (1)^2 = (س^2 - 1)(س^2 + 1)$ 3. **التطبيق الثالث:** نلاحظ أن $س^2 - 1$ هو أيضاً فرق بين مربعين، حيث $س^2 = (س)^2$ و $1 = (1)^2$. $(س^2 - 1) = (س - 1)(س + 1)$ 4. **نتائج التحليل:** - العامل $(س^4 + 1)$ **لا يمكن تحليله** كفرق بين مربعين في مجموعة الأعداد الحقيقية. - العامل $(س^2 + 1)$ **لا يمكن تحليله** كفرق بين مربعين في مجموعة الأعداد الحقيقية. 5. **التحليل النهائي التام:** ندمج جميع العوامل: $س^8 - 1 = (س^4 - 1)(س^4 + 1) = [(س^2 - 1)(س^2 + 1)](س^4 + 1) = [(س - 1)(س + 1)(س^2 + 1)](س^4 + 1)$
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** التحليل التام للعبارة $س^8 - 1$ هو **$(س - 1)(س + 1)(س^2 + 1)(س^4 + 1)$**.

سؤال 48: تعبير. حدد إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أم خاطئة. وأعط مثالاً مضاداً للتحقق من إجابتك: "أي ناتج حد جمع جذورها مربعات كاملة قابلة للتحليل".

الإجابة: خاطئة. مثال مضاد: س² + ٩ لا يمكن تحليلها بالفرق بين مربعين.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم العبارة المقترحة** العبارة: "أي ناتج حد جمع جذورها مربعات كاملة قابلة للتحليل". - **التفسير:** يُقصد بها: أي عبارة من الشكل $أ^2 + ب^2$ (حيث $أ$ و $ب$ مربعان كاملان) يمكن تحليلها. هذا يختلف عن **فرق المربعات** $أ^2 - ب^2$. - المطلوب: تحديد صحة العبارة وإعطاء مثال مضاد إذا كانت خاطئة.
2. **الخطوة 2: تحليل صحة العبارة** 1. نستذكر صيغ التحليل المعروفة: - **فرق مربعين**: $أ^2 - ب^2 = (أ - ب)(أ + ب)$ ← **قابلة للتحليل**. - **مجموع مربعين**: $أ^2 + ب^2$ ← **لا توجد قاعدة تحليل** في مجموعة الأعداد الحقيقية (لا يمكن تحليلها إلى عوامل حقيقية). 2. **الخلاصة:** العبارة المقترحة **خاطئة**، لأن "مجموع مربعين" لا يمكن تحليله في مجال الأعداد الحقيقية، بخلاف "فرق مربعين".
3. **الخطوة 3: إعطاء مثال مضاد للتحقق** - لنختار $أ = س$، $ب = 3$، فتكون العبارة $أ^2 + ب^2 = س^2 + 3^2 = س^2 + 9$. - هل $س^2 + 9$ قابلة للتحليل إلى عوامل حقيقية؟ - نحاول تحليلها كفرق بين مربعين: لا، لأنها مجموع. - لا يمكن كتابتها على صورة $()()$ ذات معاملات حقيقية. - **لذلك، $س^2 + 9$ هو مثال مضاد يبين خطأ العبارة.**
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** العبارة **خاطئة**. **المثال المضاد:** العبارة $س^2 + 9$ هي مجموع مربعين كاملين ($س^2$ و $3^2$)، ومع ذلك **لا يمكن تحليلها** في مجموعة الأعداد الحقيقية.

سؤال 49: مسألة مفتوحة. أعط مثالاً لثنائية حد تحتاج عند تحليلها تحليلاً تاماً إلى تكرار قاعدة الفرق بين مربعين، ثم حللها.

الإجابة: س٤ - ١٦ = (س² - ٤) (س² + ٤) = (س - ٢) (س + ٢) (س² + ٤)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب** المطلوب هو: 1. إعطاء مثال لـ **ثنائية حد** (مقدار جبري بحدين) تحتاج عند تحليلها تحليلاً تاماً إلى **تكرار** قاعدة الفرق بين مربعين. 2. ثم حلل هذا المثال خطوة بخطوة.
2. **الخطوة 2: اختيار المثال** أبسط مثال هو العبارة: $س^4 - 16$. - هي ثنائية حد (حدان: $س^4$ و $-16$). - يمكن اعتبارها فرق بين مربعين: $(س^2)^2 - (4)^2$. - ولكن التحليل الناتج $(س^2 - 4)(س^2 + 4)$، نجد أن $(س^2 - 4)$ هو نفسه فرق بين مربعين، لذا نحتاج لتطبيق القاعدة مرة أخرى.
3. **الخطوة 3: خطوات التحليل** 1. **التطبيق الأول للقاعدة:** $س^4 - 16 = (س^2)^2 - (4)^2 = (س^2 - 4)(س^2 + 4)$ 2. **فحص العوامل الناتجة:** - العامل $(س^2 + 4)$: هو **مجموع مربعين**، لا يمكن تحليله في الأعداد الحقيقية. - العامل $(س^2 - 4)$: هو **فرق بين مربعين** مرة أخرى، حيث $س^2 = (س)^2$ و $4 = (2)^2$. لذا، يمكن تحليله مرة ثانية. 3. **التطبيق الثاني للقاعدة (التكرار):** $(س^2 - 4) = (س)^2 - (2)^2 = (س - 2)(س + 2)$ 4. **التحليل النهائي التام:** $س^4 - 16 = (س^2 - 4)(س^2 + 4) = (س - 2)(س + 2)(س^2 + 4)$
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** **المثال:** $س^4 - 16$ **التحليل التام:** $(س - 2)(س + 2)(س^2 + 4)$ > نلاحط أننا طبقنا قاعدة الفرق بين مربعين مرتين: أولاً على $س^4 - 16$، وثانياً على $س^2 - 4$.

سؤال 50: اكتب. لماذا لا تتضمن قاعدة الفرق بين مربعين حداً متغيراً في الوسط؟

الإجابة: لأنها ناتجة عن ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما، حيث يلغي الحد الأوسط بعضه بعضاً.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم السؤال** السؤال: "لماذا لا تتضمن قاعدة الفرق بين مربعين حداً متغيراً في الوسط؟" - المقصود بقاعدة الفرق بين مربعين: $أ^2 - ب^2 = (أ - ب)(أ + ب)$. - عند ضرب $(أ - ب)(أ + ب)$، الناتج هو $أ^2 - ب^2$ مباشرة، دون وجود حد وسيط مثل $± 2أب$.
2. **الخطوة 2: إثبات جبري** 1. لنضرب $(أ - ب)(أ + ب)$: $(أ - ب)(أ + ب) = أ(أ + ب) - ب(أ + ب)$ $= أ^2 + أ ب - أ ب - ب^2$ 2. نلاحظ أن الحدين الأوسطين $+أب$ و $-أب$ **يلغيان بعضهما**. $= أ^2 + (أ ب - أ ب) - ب^2 = أ^2 - ب^2$ 3. **النتيجة:** حاصل الضرب هو $أ^2 - ب^2$ فقط، دون أي حد وسيط.
3. **الخطوة 3: تفسير هندسي/منطقي** - طبيعة الضرب بين **مجموع حدين** و **فرق نفس الحدين** تؤدي دائماً إلى إلغاء الحدود المتوسطة. - إذا فكرنا في $أ$ و $ب$ كقيمتين، فإن: - $(أ + ب)$ يحتوي على مجموع القيمتين. - $(أ - ب)$ يحتوي على الفرق بينهما. - عند ضربهما، يتلاشى الحد المشترك $(أ ب)$ لأنه يظهر مرة بالإشارة الموجبة ومرة بالإشارة السالبة.
4. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** **السبب:** لأن قاعدة الفرق بين مربعين هي ناتج ضرب **مجموع حدين** في **فرق نفس الحدين** $(أ + ب)(أ - ب)$. عند تنفيذ عملية الضرب، يظهر الحد المتوسط $أ ب$ مرتين بإشارتين متعاكستين (+ أب و - أب) فيلغي بعضهما، تاركاً فقط الحدين التربيعيين $أ^2$ و $ب^2$ مع إشارة الطرح بينهما، دون أي حد وسيط.

سؤال 51: إذا كان أحد جذري المعادلة س² + ١٣ س = ٤٠ هو ٨- ، فما الجذر الآخر؟ أ) -٥ ب) -٣ جـ) ٣ د) ٥

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (أ)، مجموع الجذرين = -١٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|---------| | المعادلة | $س^2 + 13 س = 40$ أو $س^2 + 13 س - 40 = 0$ | | أحد الجذور المعطى | $-8$ | | المطلوب | إيجاد الجذر الآخر |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** **خصائص جذور المعادلة التربيعية** ($أ س^2 + ب س + ج = 0$): 1. **مجموع الجذرين** ($س_1 + س_2$) = $-\frac{ب}{أ}$. 2. **حاصل ضرب الجذرين** ($س_1 × س_2$) = $\frac{ج}{أ}$. > سنستخدم خاصية **مجموع الجذرين** لأنها الأسرع معطياً أحد الجذور.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نكتب المعادلة بالصورة القياسية: $س^2 + 13 س - 40 = 0$ إذن، $أ = 1$، $ب = 13$، $ج = -40$. 2. نحسب **مجموع الجذرين** باستخدام القانون: $س_1 + س_2 = -\frac{ب}{أ} = -\frac{13}{1} = -13$ 3. نعرف أن أحد الجذرين $س_1 = -8$. لنفرض الجذر الآخر هو $س_2$. 4. نطبق قانون المجموع: $(-8) + س_2 = -13$ 5. نحل هذه المعادلة البسيطة لإيجاد $س_2$: $س_2 = -13 - (-8) = -13 + 8 = -5$ 6. **(طريقة بديلة باستخدام التحليل):** - نحل المعادلة بالتحليل: $س^2 + 13 س - 40 = 0$. - نبحث عن عددين مجموعهما $-13$ (إشارة سالب لأن $ب=+13$ والصيغة القياسية $س^2 + ب س + ج=0$ والمجموع هو $-ب$) وحاصل ضربهما $-40$. - العددين هما $+8$ و $-5$؟ مجموعهما $8+(-5)=3$ لا يساوي $-13$. - العددين هما $+5$ و $-8$؟ مجموعهما $5+(-8)=-3$ لا يساوي $-13$. - العددين هما $+16$ و $-2.5$... هذه لا تعطي أعداداً صحيحة. - الأعداد الصحيحة هي $+8$ و $-5$ أو $+5$ و $-8$، لكن مجموعها يجب أن يكون $-13$. - العددين الصحيحين هما $+8$ و $-21$؟ ضربهما $-168$. - الصحيحان هما $+5$ و $-8$ ليسا الحلين. - الحل الصحيح بالتحليل هو $(س + 8)(س - 5) = 0$، وهذا يعطي جذرين هما $س=-8$ و $س=5$. ولكن مجموع هذين $(-8+5=-3)$ لا يساوي $-13$! > **هناك خطأ شائع:** المعادلة المعطاة هي $س^2 + 13 س = 40$، أي $س^2 + 13 س - 40 = 0$. > عددان مجموعهما $-13$ وحاصل ضربهما $-40$ هما $+8$ و $-5$؟ $8+(-5)=3$ (لا). > العددان هما $+5$ و $-8$؟ $5+(-8)=-3$ (لا). > العددان هما $+15$ و $-2$؟ $15+(-2)=13$ (لا، نريد $-13$). > العددان هما $-15$ و $+2$؟ $-15+2=-13$ ✔ وحاصل ضربهما $-15×2=-30$ ✘. > إذن، لا يوجد عددان صحيحان مجموعهما $-13$ وحاصل ضربهما $-40$. > **الاستنتاج:** الجذر المعطى $-8$ لا يحقق المعادلة $س^2+13س-40=0$؟ دعنا نتحقق: > عند $س=-8$: $(-8)^2 + 13×(-8) = 64 - 104 = -40$، وليس $+40$. إذن، $س=-8$ يحقق $س^2+13س = -40$ وليس $+40$. > **يبدو أن هناك خطأ في نص السؤال أو الجذر المعطى.** لنفترض أن الجذر المعطى هو $-8$ وأنه يحقق المعادلة $س^2 + 13 س + 40 = 0$؟ > عند $س=-8$: $64 - 104 + 40 = 0$ ✔. إذن، المعادلة الصحيحة ربما هي $س^2 + 13 س + 40 = 0$. > إذا كانت المعادلة $س^2 + 13 س + 40 = 0$، فإن $أ=1، ب=13، ج=40$. > مجموع الجذرين = $-ب/أ = -13$. > إذا $س_1=-8$، فإن $س_2 = -13 - (-8) = -5$. > وهذا يتوافق مع الخيار (أ) -5. **نحن سنتبع المعطيات كما وردت مع افتراض أن الجذر -8 صحيح.**
4. **الخطوة 4: التحقق من الخيارات** مجموع الجذرين = $-13$. إذا كان الجذر الأول = $-8$، فالآخر = $-13 - (-8) = -5$. الخيار المطابق هو **(أ) -5**.
5. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** بناءً على **خاصية مجموع جذور المعادلة التربيعية**، وبمعرفة أن أحد الجذرين هو $-8$ وأن المجموع هو $-13$، فإن **الجذر الآخر هو $-5$**.

سؤال 52: أي مما يأتي يمثل مجموع حلّي المعادلة س² + ٣ س = ٤٠؟ أ) -٥ ب) -٣ جـ) ٣ د) ٥

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (ب)، مجموع الحلول = -٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | التعبير | |--------|----------| | المعادلة | $س^2 + 3 س = 40$ أو $س^2 + 3 س - 40 = 0$ | | المطلوب | إيجاد **مجموع حلّي** (جذري) المعادلة |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** **خاصية جذور المعادلة التربيعية**: للمعادلة $أ س^2 + ب س + ج = 0$، يكون **مجموع الجذرين** = $-\frac{ب}{أ}$. > لا نحتاج إلى إيجاد الجذرين فردياً، بل نستخرج المجموع مباشرة من معاملات المعادلة.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. نكتب المعادلة بالصورة القياسية (بحيث يكون الطرف الآخر صفراً): $س^2 + 3 س = 40$ $س^2 + 3 س - 40 = 0$ 2. نحدد المعاملات: - معامل $س^2$: $أ = 1$ - معامل $س$: $ب = 3$ - الحد المطلق: $ج = -40$ 3. نطبق قانون **مجموع الجذرين** ($س_1 + س_2$): $س_1 + س_2 = -\frac{ب}{أ} = -\frac{3}{1} = -3$ 4. **(طريقة بديلة: إيجاد الجذرين ثم جمعهما)** - نحل المعادلة $س^2 + 3 س - 40 = 0$ بالتحليل. - نبحث عن عددين مجموعهما $-3$ وحاصل ضربهما $-40$. - العددين هما $+5$ و $-8$، لأن $5 + (-8) = -3$ و $5 × (-8) = -40$. - إذن، التحليل: $(س + 8)(س - 5) = 0$ - الجذران: $س = -8$ أو $س = 5$. - مجموع الجذرين: $(-8) + 5 = -3$ ✔
4. **الخطوة 4: مطابقة الناتج مع الخيارات** مجموع الحلّي المعادلة هو $-3$. وهذا يتوافق مع الخيار **(ب) -3**.
5. **الخطوة الأخيرة: الإجابة النهائية** **مجموع حلّي المعادلة $س^2 + 3 س = 40$ هو $-3$.**

حل المعادلة $\frac{1}{4} ب^2 = 16$ بالتحليل.

• أ) $ب = \pm 4$
• ب) $ب = \pm 2$
• ج) $ب = \pm 8$
• د) $ب = \pm 16$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $ب = \pm 8$

الشرح: 1. اضرب الطرفين في $4$: $ب^2 = 16 \times 4 = 64$ 2. أعد ترتيب المعادلة: $ب^2 - 64 = 0$ 3. حلل كفرق بين مربعين: $(ب - 8)(ب + 8) = 0$ 4. ساوي كل عامل بالصفر: $ب - 8 = 0 \Rightarrow ب = 8$ أو $ب + 8 = 0 \Rightarrow ب = -8$

تلميح: ابدأ بضرب الطرفين في مقلوب الكسر للتخلص منه.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة $36 ل^2 = 121$ بالتحليل.

• أ) $ل = \frac{6}{11}$ أو $ل = -\frac{6}{11}$
• ب) $ل = \frac{11}{6}$ أو $ل = -\frac{11}{6}$
• ج) $ل = \frac{11}{36}$ أو $ل = -\frac{11}{36}$
• د) $ل = 11$ أو $ل = -11$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $ل = \frac{11}{6}$ أو $ل = -\frac{11}{6}$

الشرح: 1. أعد ترتيب المعادلة: $36 ل^2 - 121 = 0$ 2. حلل كفرق بين مربعين: $(6 ل - 11)(6 ل + 11) = 0$ 3. ساوي كل عامل بالصفر: $6 ل - 11 = 0 \Rightarrow ل = \frac{11}{6}$ أو $6 ل + 11 = 0 \Rightarrow ل = -\frac{11}{6}$

تلميح: تذكر أن تحول المعادلة إلى صيغة فرق مربعين: $أ^2 - ب^2 = 0$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة $100 = 25 س^2$ بالتحليل.

• أ) $س = \pm 4$
• ب) $س = \pm 10$
• ج) $س = \pm 2$
• د) $س = \pm 5$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $س = \pm 2$

الشرح: 1. أعد ترتيب المعادلة: $25 س^2 - 100 = 0$ 2. أخرج العامل المشترك $25$: $25(س^2 - 4) = 0$ 3. حلل فرق المربعين: $25(س - 2)(س + 2) = 0$ 4. ساوي كل عامل بالصفر: $س - 2 = 0 \Rightarrow س = 2$ أو $س + 2 = 0 \Rightarrow س = -2$

تلميح: أعد ترتيب المعادلة بحيث يكون أحد الطرفين صفراً، ثم ابحث عن عامل مشترك أو حلل كفرق بين مربعين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة $81 - \frac{1}{25} س^2 = 0$ بالتحليل.

• أ) $س = \pm 9$
• ب) $س = \pm 5$
• ج) $س = \pm \frac{1}{45}$
• د) $س = \pm 45$

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: $س = \pm 45$

الشرح: 1. المعادلة على صورة فرق مربعين: $(9)^2 - (\frac{1}{5} س)^2 = 0$ 2. حلل: $(9 - \frac{1}{5} س)(9 + \frac{1}{5} س) = 0$ 3. ساوي كل عامل بالصفر: $9 - \frac{1}{5} س = 0 \Rightarrow 9 = \frac{1}{5} س \Rightarrow س = 45$ أو $9 + \frac{1}{5} س = 0 \Rightarrow -9 = \frac{1}{5} س \Rightarrow س = -45$

تلميح: حلل المعادلة كفرق بين مربعين، وتذكر كيفية التعامل مع جذور الكسور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة $4 ص^2 - \frac{9}{16} = 0$ بالتحليل.

• أ) $ص = \pm \frac{9}{4}$
• ب) $ص = \pm \frac{3}{4}$
• ج) $ص = \pm \frac{3}{8}$
• د) $ص = \pm \frac{16}{9}$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $ص = \pm \frac{3}{8}$

الشرح: 1. المعادلة على صورة فرق مربعين: $(2 ص)^2 - (\frac{3}{4})^2 = 0$ 2. حلل: $(2 ص - \frac{3}{4})(2 ص + \frac{3}{4}) = 0$ 3. ساوي كل عامل بالصفر: $2 ص - \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow 2 ص = \frac{3}{4} \Rightarrow ص = \frac{3}{8}$ أو $2 ص + \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow 2 ص = -\frac{3}{4} \Rightarrow ص = -\frac{3}{8}$

تلميح: تذكر أن تأخذ الجذر التربيعي لكل حد بدقة عند التحليل كفرق بين مربعين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة ٩ د² - ٨١ = ٠ بالتحليل.

• أ) د = ٩ أو د = -٩
• ب) د = ٨١ أو د = -٨١
• ج) د = ٣ أو د = -٣
• د) د = ٠ أو د = ٩

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: د = ٣ أو د = -٣

الشرح: 1. نجعل المعادلة تساوي صفراً: ٩ د² - ٨١ = ٠. 2. نقسم الطرفين على ٩: د² - ٩ = ٠. 3. نحلل كفرق بين مربعين: (د - ٣)(د + ٣) = ٠. 4. نطبق مبدأ الضرب الصفري: د - ٣ = ٠ أو د + ٣ = ٠. 5. إذن، د = ٣ أو د = -٣.

تلميح: تذكر أن تجعل أحد طرفي المعادلة صفرًا، ثم حلل كفرق بين مربعين أو اقسم الطرفين على 9.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الشروط الواجب توافرها في ثلاثية الحدود لتصنف على أنها مربع كامل؟

• أ) أن يكون الحد الأول والحد الأخير مربعين كاملين فقط.
• ب) أن يكون الحد الأوسط هو مجموع الجذر التربيعي للحد الأول والحد الأخير.
• ج) أن يكون الحد الأول مربعاً كاملاً، والحد الأخير مربعاً كاملاً، والحد الأوسط مساوياً لضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الأول في الجذر التربيعي للحد الأخير.
• د) أن يكون الحد الأول والحد الأخير مربعين كاملين، بغض النظر عن إشارة الحد الأوسط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن يكون الحد الأول مربعاً كاملاً، والحد الأخير مربعاً كاملاً، والحد الأوسط مساوياً لضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الأول في الجذر التربيعي للحد الأخير.

الشرح: تكون ثلاثية الحدود مربعاً كاملاً إذا كانت على الصورة $أ^٢ ± ٢أب + ب^٢$. هذا يعني أن الحد الأول $أ^٢$ يجب أن يكون مربعاً كاملاً، والحد الأخير $ب^٢$ يجب أن يكون مربعاً كاملاً، والحد الأوسط $±٢أب$ يجب أن يساوي ضعف حاصل ضرب الجذرين التربيعيين للحد الأول والحد الأخير.

تلميح: تذكر صيغة المربع الكامل $(أ ± ب)^٢$ وكيف تتشكل حدودها.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

قامت كل من هلا ومنى بتحليل العبارة ١٦ س² - ٩ ص². منى: (٤ س - ٩ ص) (٤ س + ٩ ص)، هلا: (٤ س - ٣ ص) (٤ س + ٣ ص). أيهما إجابتها صحيحة؟

• أ) هلا
• ب) منى
• ج) كلتاهما صحيحتان
• د) كلتاهما خاطئتان

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: هلا

الشرح: 1. العبارة $١٦ س^٢ - ٩ ص^٢$ هي فرق بين مربعين. 2. الحد الأول $١٦ س^٢$ جذره التربيعي هو $٤ س$. 3. الحد الثاني $٩ ص^٢$ جذره التربيعي هو $٣ ص$. 4. إذن، التحليل الصحيح هو $(٤ س - ٣ ص)(٤ س + ٣ ص)$. 5. هذه هي إجابة هلا، لذا إجابتها صحيحة.

تلميح: تذكر قاعدة الفرق بين مربعين: $أ^٢ - ب^٢ = (أ - ب)(أ + ب)$. تأكد من تحديد $أ$ و $ب$ بشكل صحيح.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: سهل

بسّط العبارة ٩ - (ك + ٣)² بتحليلها بالفرق بين مربعين.

• أ) -ك² - ٦ك
• ب) ك² - ٦ك
• ج) ٩ - ك² - ٩
• د) ٦ك + ك²

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: -ك² - ٦ك

الشرح: 1. نعتبر $أ = ٣$ و $ب = (ك + ٣)$. 2. نطبق قاعدة فرق المربعين: $أ^٢ - ب^٢ = (أ - ب)(أ + ب)$. 3. = $[٣ - (ك + ٣)][٣ + (ك + ٣)]$. 4. نبسّط الأقواس: $(٣ - ك - ٣)(٣ + ك + ٣)$. 5. = $(-ك)(ك + ٦)$. 6. نوزع $-ك$: $-ك × ك + (-ك) × ٦ = -ك^٢ - ٦ك$.

تلميح: اعتبر $٩$ كـ $أ^٢$ و $(ك + ٣)^٢$ كـ $ب^٢$ في قاعدة الفرق بين مربعين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل العبارة س¹⁶ - ٨١ تحليلاً تاماً.

• أ) (س⁸ - ٩)(س⁸ + ٩)
• ب) (س⁴ - ٣)(س⁴ + ٣)(س⁸ + ٩)
• ج) (س² - √٣)(س² + √٣)(س⁴ + ٩)(س⁸ + ٩)
• د) (س⁴ - ٣)(س⁴ + ٩)(س⁸ + ٨١)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (س⁴ - ٣)(س⁴ + ٣)(س⁸ + ٩)

الشرح: 1. نعتبر $س^{١٦} = (س^٨)^٢$ و $٨١ = ٩^٢$. 2. نطبق فرق المربعين: $(س^٨ - ٩)(س^٨ + ٩)$. 3. العامل $س^٨ - ٩$ هو أيضاً فرق بين مربعين: $(س^٤)^٢ - ٣^٢$. 4. نحلله إلى: $(س^٤ - ٣)(س^٤ + ٣)$. 5. العاملان $(س^٤ + ٣)$ و $(س^٨ + ٩)$ لا يمكن تحليلهما كفرق مربعين في الأعداد الحقيقية. 6. التحليل التام هو: $(س^٤ - ٣)(س^٤ + ٣)(س^٨ + ٩)$.

تلميح: طبق قاعدة الفرق بين مربعين بشكل متكرر حتى لا يمكن التحليل أكثر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

ما هو التحليل الصحيح لثلاثية الحدود ٩ س² - ٢٤ س + ١٦؟

• أ) (٣ س + ٤)(٣ س - ٤)
• ب) (٩ س - ٤)(س - ٤)
• ج) (٣ س - ٤)²
• د) (٣ س + ٤)²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٣ س - ٤)²

الشرح: 1. نحدد الجذر التربيعي للحد الأول: $\sqrt{9 س^2} = 3 س$. 2. نحدد الجذر التربيعي للحد الأخير: $\sqrt{16} = 4$. 3. نتحقق من الحد الأوسط: $2 \times (3 س) \times (4) = 24 س$. وبما أن إشارة الحد الأوسط سالبة في كثيرة الحدود الأصلية، يكون التحليل $(3 س - 4)^2$.

تلميح: تذكر أن ثلاثية الحدود المربعة الكاملة على الصورة أ² - ٢أب + ب² تحليلها هو (أ - ب)².

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما هي الطريقة الصحيحة لإيجاد الحد الأوسط في ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً باستخدام الجذور التربيعية للحدين الأول والأخير؟

• أ) نجمع الجذر التربيعي للحد الأول مع الجذر التربيعي للحد الأخير.
• ب) نضرب الجذر التربيعي للحد الأول في الجذر التربيعي للحد الأخير فقط.
• ج) نضرب الجذر التربيعي للحد الأول في الجذر التربيعي للحد الأخير ثم نضرب الناتج في ٢.
• د) نقسم الحد الأول على الجذر التربيعي للحد الأخير.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نضرب الجذر التربيعي للحد الأول في الجذر التربيعي للحد الأخير ثم نضرب الناتج في ٢.

الشرح: 1. نأخذ الجذر التربيعي للحد الأول (أ). 2. نأخذ الجذر التربيعي للحد الأخير (ب). 3. الحد الأوسط يكون $2 \times أ \times ب$.

تلميح: تذكر العلاقة بين حدود ثلاثية الحدود المربعة الكاملة وصيغة (أ ± ب)².

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هي القاعدة الجبرية التي تمثل ثلاثية الحدود المربعة الكاملة؟

• أ) أ² + ب² = (أ + ب)²
• ب) أ² - ب² = (أ - ب)(أ + ب)
• ج) أ² + ٢ أ ب + ب² = (أ + ب)² أو أ² - ٢ أ ب + ب² = (أ - ب)²
• د) أ² + أ ب + ب² = (أ + ب)²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ² + ٢ أ ب + ب² = (أ + ب)² أو أ² - ٢ أ ب + ب² = (أ - ب)²

الشرح: 1. ثلاثية الحدود المربعة الكاملة تنتج عن تربيع ثنائية حد. 2. إذا كانت ثنائية الحد (أ + ب)، فتربيعها $(أ + ب)^2 = أ^2 + 2أب + ب^2$. 3. إذا كانت ثنائية الحد (أ - ب)، فتربيعها $(أ - ب)^2 = أ^2 - 2أب + ب^2$.

تلميح: تذكر كيفية فك الأقواس المربعة (أ ± ب)².

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

هل العبارة 'أي ثنائية حد جميع حدودها مربعات كاملة قابلة للتحليل' صحيحة أم خاطئة؟ وما هو مثال مضاد يوضح ذلك؟

• أ) صحيحة دائماً، فمثلاً س² - ٤ = (س - ٢)(س + ٢) هو تحليل لها.
• ب) صحيحة أحياناً، فمثلاً س³ + ص³ ليست مربعات كاملة.
• ج) خاطئة، فمثلاً س² + ٩ هي مجموع مربعين ولا يمكن تحليلها في الأعداد الحقيقية.
• د) خاطئة، لأن فقط ثلاثيات الحدود هي التي يمكن تحليلها.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: خاطئة، فمثلاً س² + ٩ هي مجموع مربعين ولا يمكن تحليلها في الأعداد الحقيقية.

الشرح: 1. ثنائية الحد التي حدودها مربعات كاملة يمكن أن تكون فرق بين مربعين ($أ^2 - ب^2$) أو مجموع مربعين ($أ^2 + ب^2$). 2. فرق المربعين $أ^2 - ب^2$ قابل للتحليل إلى $(أ - ب)(أ + ب)$. 3. مجموع المربعين $أ^2 + ب^2$ (مثل $س^2 + 9$) غير قابل للتحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية. 4. بما أن العبارة تقول "أي" (تعميم)، فإن وجود مثال واحد لا يمكن تحليله يجعل العبارة خاطئة.

تلميح: قارن بين تحليل فرق المربعين ومجموع المربعين في الأعداد الحقيقية.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

أي من العبارات التالية تحتاج عند تحليلها تحليلاً تاماً إلى تكرار قاعدة الفرق بين مربعين، وما هو تحليلها الصحيح؟

• أ) س² - ٤، وتحليلها هو (س - ٢)(س + ٢)
• ب) س⁶ - ٦٤، وتحليلها هو (س³ - ٨)(س³ + ٨)
• ج) س⁴ - ١٦، وتحليلها هو (س - ٢)(س + ٢)(س² + ٤)
• د) ص² + ٩، وهي غير قابلة للتحليل بتكرار الفرق بين مربعين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س⁴ - ١٦، وتحليلها هو (س - ٢)(س + ٢)(س² + ٤)

الشرح: 1. العبارة $س^4 - 16$ هي فرق بين مربعين: $(س^2)^2 - (4)^2$. 2. تحليلها الأول: $(س^2 - 4)(س^2 + 4)$. 3. الحد $(س^2 - 4)$ هو أيضاً فرق بين مربعين: $(س)^2 - (2)^2$. 4. تحليله الثاني: $(س - 2)(س + 2)$. 5. التحليل التام هو $(س - 2)(س + 2)(س^2 + 4)$.

تلميح: ابحث عن ثنائية حد يمكن كتابتها على الصورة $أ^4 - ب^4$ أو $أ^8 - ب^8$ لتطبيق قاعدة الفرق بين مربعين مرتين أو أكثر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب