تنبيه! - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال مثال 2: تحليل كثيرات الحدود أكثر من مرة أ) ب١٦ - أ٤ ب) ٢٤٥ - س٢(٢٥ - س٢)

الإجابة: أ) (٤ب - أ)(٤ب + أ)(١٦ب٢ + أ٢) ب) (٥ - س)(٥ + س)(٢٥ + س٢)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **المعطى (أ)** | $b^{16} - a^4$ | | **المطلوب (أ)** | تحليل العبارة إلى عواملها الأولية | | **المعطى (ب)** | $245 - s^2(25 - s^2)$ | | **المطلوب (ب)** | تحليل العبارة إلى عواملها الأولية |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** * **تحليل فرق بين مربعين:** $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ * **تحليل فرق بين مربعين مرتين متتاليتين.** * **تبسيط العبارة الجبرية أولاً قبل التحليل.**
3. **الخطوة 3: الحل التفصيلي للجزء (أ)** 1. نلاحظ أن العبارة $b^{16} - a^4$ هي **فرق بين مربعين**، حيث: * $b^{16} = (b^8)^2$ * $a^4 = (a^2)^2$ 2. نطبق قانون **فرق المربعات**: $b^{16} - a^4 = (b^8)^2 - (a^2)^2 = (b^8 - a^2)(b^8 + a^2)$ 3. نلاحظ أن العامل الأول $(b^8 - a^2)$ هو أيضًا **فرق بين مربعين**، حيث: * $b^8 = (b^4)^2$ * $a^2 = (a)^2$ 4. نحلل هذا العامل مرة أخرى: $b^8 - a^2 = (b^4)^2 - (a)^2 = (b^4 - a)(b^4 + a)$ 5. نلاحظ أن العامل الجديد $(b^4 - a)$ هو أيضًا **فرق بين مربعين**، حيث: * $b^4 = (b^2)^2$ * $a = (\sqrt{a})^2$ (على افتراض أن $a$ غير سالب في مجال الأعداد الحقيقية للتحليل) > **ملاحظة:** في منهج المرحلة الثانوية، غالباً ما يُعتبر $a$ مربعاً كاملاً أو يُترك على صورة $a$ إذا لم يكن مربعاً كاملاً. 6. في هذه الحالة، لن نحلل $(b^4 - a)$ أكثر إذا اعتبرنا $a$ ليس مربعاً كاملاً. لكن الإجابة النموذجية تشير إلى تحليل $(b^4 - a^2)$ فقط. 7. دعنا نعيد النظر: العبارة الأصلية هي $b^{16} - a^4$. يمكن كتابتها أيضًا كفرق بين مربعين بطريقة أخرى: $(b^8)^2 - (a^2)^2$. لكن $b^8 - a^2$ ليس فرق مربعين بالضرورة إلا إذا كان $a$ مربعاً كاملاً. الطريقة المثلى هي: $b^{16} - a^4 = (b^4)^4 - (a)^4$، وهذا **فرق بين قوى أربعة**. قانون فرق القوى الرباعية هو: $x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$. 8. بتطبيق هذا القانون على $b^{16} - a^4$، نضع: * $x = b^4$ * $y = a$ وبذلك تصبح: $(b^4)^4 - (a)^4 = (b^4 - a)(b^4 + a)((b^4)^2 + a^2) = (b^4 - a)(b^4 + a)(b^8 + a^2)$. هذا لا يتطابق مع الإجابة المعطاة. 9. الطريقة الصحيحة التي تقود للإجابة المعطاة هي كتابة $b^{16}$ كـ $(4b)^4$ وليس $b^{16}$، ولكن السؤال مكتوب كـ "ب١٦" والذي يعني $b^{16}$. يبدو أن هناك خطأ في كتابة السؤال في المصدر، والمقصود هو $16b^4 - a^4$. **لنفترض أن السؤال الصحيح هو: $16b^4 - a^4$.** 10. عندها تصبح العبارة: $16b^4 - a^4$ وهي فرق بين مربعين: * $16b^4 = (4b^2)^2$ * $a^4 = (a^2)^2$ وبالتالي: $16b^4 - a^4 = (4b^2)^2 - (a^2)^2 = (4b^2 - a^2)(4b^2 + a^2)$. 11. العامل الأول $(4b^2 - a^2)$ هو أيضًا فرق بين مربعين: * $4b^2 = (2b)^2$ * $a^2 = (a)^2$ وبالتالي: $4b^2 - a^2 = (2b - a)(2b + a)$. 12. لا يمكن تحليل العامل الثاني $(4b^2 + a^2)$ لأنه مجموع مربعين. 13. **النتيجة النهائية للجزء (أ) كما في الإجابة:** $(4b^2 - a^2)(4b^2 + a^2)$ بعد التحليل الأول، أو $(2b - a)(2b + a)(4b^2 + a^2)$ بعد التحليل الكامل. لكن الإجابة المقدمة هي: $(4b - a)(4b + a)(16b^2 + a^2)$، وهذا يعني أن العبارة الأصلية كانت $256b^4 - a^4$ حيث $256b^4 = (16b^2)^2$. سنتبع الإجابة المقدمة كأساس. **لنأخذ الإجابة المقدمة كأساس ونشتق الخطوات:** 1. **افتراض العبارة:** $ (4b)^4 - a^4 $ أو ما يؤدي لهذه النتيجة. لنعتبرها $256b^4 - a^4$. 2. **تحليل أول كفرق بين مربعين:** $256b^4 - a^4 = (16b^2)^2 - (a^2)^2 = (16b^2 - a^2)(16b^2 + a^2)$. 3. **تحليل العامل الأول مرة أخرى:** $16b^2 - a^2 = (4b)^2 - (a)^2 = (4b - a)(4b + a)$. 4. **العامل الثاني** $16b^2 + a^2$ **هو مجموع مربعات لا يحلل** في الأعداد الحقيقية. 5. **التحليل النهائي:** $(4b - a)(4b + a)(16b^2 + a^2)$.
4. **الخطوة 4: الحل التفصيلي للجزء (ب)** 1. العبارة هي: $245 - s^2(25 - s^2)$. 2. أولاً نقوم **بتبسيط العبارة** عن طريق توزيع $s^2$: $245 - s^2(25 - s^2) = 245 - 25s^2 + s^4$ 3. نعيد ترتيب الحدود تنازلياً حسب قوة $s$: $s^4 - 25s^2 + 245$ > **ملاحظة:** العدد 245 لا يساوي 625 (أي 25²)، لذا هذه ليست ثلاثية حدود مربع كامل بالصيغة $ (s^2 - 5)^2 $ والتي تساوي $s^4 -10s^2 + 25$. هناك خطأ في العبارة أو في الإجابة. 4. **لنفحص الإجابة المقدمة:** $(5 - s)(5 + s)(25 + s^2) = (25 - s^2)(25 + s^2) = 625 - s^4$. هذا لا يساوي $245 - s^2(25 - s^2)$. 5. **لنفترض أن العبارة الصحيحة هي:** $625 - s^2(25 - s^2)$ أو $625 - s^4$. **إذا كانت $625 - s^4$:** * هذه عبارة عن **فرق بين مربعين**: $(25)^2 - (s^2)^2$. * نحللها: $(25 - s^2)(25 + s^2)$. * العامل الأول $(25 - s^2)$ هو أيضًا **فرق بين مربعين**: $(5)^2 - (s)^2$. * نحلله: $(5 - s)(5 + s)$. * **التحليل النهائي:** $(5 - s)(5 + s)(25 + s^2)$. **وهذا يتطابق مع الإجابة المقدمة.** 6. **الخطوات بناءً على الافتراض السليم ($625 - s^4$):** 1. المبدأ: تحليل فرق بين مربعين مرتين. 2. التحليل الأول: $625 - s^4 = (25)^2 - (s^2)^2 = (25 - s^2)(25 + s^2)$. 3. التحليل الثاني: $25 - s^2 = (5)^2 - (s)^2 = (5 - s)(5 + s)$. 4. العامل $25 + s^2$ (مجموع مربعين) لا يُحلّل في الأعداد الحقيقية.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** * **الجزء (أ):** بناءً على الإجابة المعطاة، تم تحليل العبارة (بافتراض صيغتها الصحيحة) إلى ثلاثة عوامل هي: **(٤ب - أ)(٤ب + أ)(١٦ب² + أ²)**. * **الجزء (ب):** بناءً على الإجابة المعطاة، تم تحليل العبارة (بافتراض أنها ٦٢٥ - س⁴) إلى ثلاثة عوامل هي: **(٥ - س)(٥ + س)(٢٥ + س²)**.

سؤال تحقق من فهمك (مثال 2): أ) س٤ - ١ ب) ٤أ - ب٤

الإجابة: أ) (س - ١)(س + ١)(س٢ + ١) ب) (٢أ - ب)(٢أ + ب)(٤أ٢ + ب٢)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **المعطى (أ)** | $b^{16} - a^4$ | | **المطلوب (أ)** | تحليل العبارة إلى عواملها الأولية | | **المعطى (ب)** | $245 - s^2(25 - s^2)$ | | **المطلوب (ب)** | تحليل العبارة إلى عواملها الأولية |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** * **تحليل فرق بين مربعين:** $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ * **تحليل فرق بين مربعين مرتين متتاليتين.** * **تبسيط العبارة الجبرية أولاً قبل التحليل.**
3. **الخطوة 3: الحل التفصيلي للجزء (أ)** 1. نلاحظ أن العبارة $b^{16} - a^4$ هي **فرق بين مربعين**، حيث: * $b^{16} = (b^8)^2$ * $a^4 = (a^2)^2$ 2. نطبق قانون **فرق المربعات**: $b^{16} - a^4 = (b^8)^2 - (a^2)^2 = (b^8 - a^2)(b^8 + a^2)$ 3. نلاحظ أن العامل الأول $(b^8 - a^2)$ هو أيضًا **فرق بين مربعين**، حيث: * $b^8 = (b^4)^2$ * $a^2 = (a)^2$ 4. نحلل هذا العامل مرة أخرى: $b^8 - a^2 = (b^4)^2 - (a)^2 = (b^4 - a)(b^4 + a)$ 5. نلاحظ أن العامل الجديد $(b^4 - a)$ هو أيضًا **فرق بين مربعين**، حيث: * $b^4 = (b^2)^2$ * $a = (\sqrt{a})^2$ (على افتراض أن $a$ غير سالب في مجال الأعداد الحقيقية للتحليل) > **ملاحظة:** في منهج المرحلة الثانوية، غالباً ما يُعتبر $a$ مربعاً كاملاً أو يُترك على صورة $a$ إذا لم يكن مربعاً كاملاً. 6. في هذه الحالة، لن نحلل $(b^4 - a)$ أكثر إذا اعتبرنا $a$ ليس مربعاً كاملاً. لكن الإجابة النموذجية تشير إلى تحليل $(b^4 - a^2)$ فقط. 7. دعنا نعيد النظر: العبارة الأصلية هي $b^{16} - a^4$. يمكن كتابتها أيضًا كفرق بين مربعين بطريقة أخرى: $(b^8)^2 - (a^2)^2$. لكن $b^8 - a^2$ ليس فرق مربعين بالضرورة إلا إذا كان $a$ مربعاً كاملاً. الطريقة المثلى هي: $b^{16} - a^4 = (b^4)^4 - (a)^4$، وهذا **فرق بين قوى أربعة**. قانون فرق القوى الرباعية هو: $x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$. 8. بتطبيق هذا القانون على $b^{16} - a^4$، نضع: * $x = b^4$ * $y = a$ وبذلك تصبح: $(b^4)^4 - (a)^4 = (b^4 - a)(b^4 + a)((b^4)^2 + a^2) = (b^4 - a)(b^4 + a)(b^8 + a^2)$. هذا لا يتطابق مع الإجابة المعطاة. 9. الطريقة الصحيحة التي تقود للإجابة المعطاة هي كتابة $b^{16}$ كـ $(4b)^4$ وليس $b^{16}$، ولكن السؤال مكتوب كـ "ب١٦" والذي يعني $b^{16}$. يبدو أن هناك خطأ في كتابة السؤال في المصدر، والمقصود هو $16b^4 - a^4$. **لنفترض أن السؤال الصحيح هو: $16b^4 - a^4$.** 10. عندها تصبح العبارة: $16b^4 - a^4$ وهي فرق بين مربعين: * $16b^4 = (4b^2)^2$ * $a^4 = (a^2)^2$ وبالتالي: $16b^4 - a^4 = (4b^2)^2 - (a^2)^2 = (4b^2 - a^2)(4b^2 + a^2)$. 11. العامل الأول $(4b^2 - a^2)$ هو أيضًا فرق بين مربعين: * $4b^2 = (2b)^2$ * $a^2 = (a)^2$ وبالتالي: $4b^2 - a^2 = (2b - a)(2b + a)$. 12. لا يمكن تحليل العامل الثاني $(4b^2 + a^2)$ لأنه مجموع مربعين. 13. **النتيجة النهائية للجزء (أ) كما في الإجابة:** $(4b^2 - a^2)(4b^2 + a^2)$ بعد التحليل الأول، أو $(2b - a)(2b + a)(4b^2 + a^2)$ بعد التحليل الكامل. لكن الإجابة المقدمة هي: $(4b - a)(4b + a)(16b^2 + a^2)$، وهذا يعني أن العبارة الأصلية كانت $256b^4 - a^4$ حيث $256b^4 = (16b^2)^2$. سنتبع الإجابة المقدمة كأساس. **لنأخذ الإجابة المقدمة كأساس ونشتق الخطوات:** 1. **افتراض العبارة:** $ (4b)^4 - a^4 $ أو ما يؤدي لهذه النتيجة. لنعتبرها $256b^4 - a^4$. 2. **تحليل أول كفرق بين مربعين:** $256b^4 - a^4 = (16b^2)^2 - (a^2)^2 = (16b^2 - a^2)(16b^2 + a^2)$. 3. **تحليل العامل الأول مرة أخرى:** $16b^2 - a^2 = (4b)^2 - (a)^2 = (4b - a)(4b + a)$. 4. **العامل الثاني** $16b^2 + a^2$ **هو مجموع مربعات لا يحلل** في الأعداد الحقيقية. 5. **التحليل النهائي:** $(4b - a)(4b + a)(16b^2 + a^2)$.
4. **الخطوة 4: الحل التفصيلي للجزء (ب)** 1. العبارة هي: $245 - s^2(25 - s^2)$. 2. أولاً نقوم **بتبسيط العبارة** عن طريق توزيع $s^2$: $245 - s^2(25 - s^2) = 245 - 25s^2 + s^4$ 3. نعيد ترتيب الحدود تنازلياً حسب قوة $s$: $s^4 - 25s^2 + 245$ > **ملاحظة:** العدد 245 لا يساوي 625 (أي 25²)، لذا هذه ليست ثلاثية حدود مربع كامل بالصيغة $ (s^2 - 5)^2 $ والتي تساوي $s^4 -10s^2 + 25$. هناك خطأ في العبارة أو في الإجابة. 4. **لنفحص الإجابة المقدمة:** $(5 - s)(5 + s)(25 + s^2) = (25 - s^2)(25 + s^2) = 625 - s^4$. هذا لا يساوي $245 - s^2(25 - s^2)$. 5. **لنفترض أن العبارة الصحيحة هي:** $625 - s^2(25 - s^2)$ أو $625 - s^4$. **إذا كانت $625 - s^4$:** * هذه عبارة عن **فرق بين مربعين**: $(25)^2 - (s^2)^2$. * نحللها: $(25 - s^2)(25 + s^2)$. * العامل الأول $(25 - s^2)$ هو أيضًا **فرق بين مربعين**: $(5)^2 - (s)^2$. * نحلله: $(5 - s)(5 + s)$. * **التحليل النهائي:** $(5 - s)(5 + s)(25 + s^2)$. **وهذا يتطابق مع الإجابة المقدمة.** 6. **الخطوات بناءً على الافتراض السليم ($625 - s^4$):** 1. المبدأ: تحليل فرق بين مربعين مرتين. 2. التحليل الأول: $625 - s^4 = (25)^2 - (s^2)^2 = (25 - s^2)(25 + s^2)$. 3. التحليل الثاني: $25 - s^2 = (5)^2 - (s)^2 = (5 - s)(5 + s)$. 4. العامل $25 + s^2$ (مجموع مربعين) لا يُحلّل في الأعداد الحقيقية.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** * **الجزء (أ):** بناءً على الإجابة المعطاة، تم تحليل العبارة (بافتراض صيغتها الصحيحة) إلى ثلاثة عوامل هي: **(٤ب - أ)(٤ب + أ)(١٦ب² + أ²)**. * **الجزء (ب):** بناءً على الإجابة المعطاة، تم تحليل العبارة (بافتراض أنها ٦٢٥ - س⁴) إلى ثلاثة عوامل هي: **(٥ - س)(٥ + س)(٢٥ + س²)**.

سؤال مثال 3: تحليل كثيرات الحدود بطريق مختلفة أ) ٥س٢ - ٤٥س ب) ٧س٣ + ٢١س٢ - ٧س - ٢١

الإجابة: أ) ٥س(س - ٩) ب) ٧(س - ١)(س + ١)(س + ٣)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **المعطى (أ)** | $5s^2 - 45s$ | | **المطلوب (أ)** | تحليل العبارة إلى عواملها الأولية | | **المعطى (ب)** | $7s^3 + 21s^2 - 7s - 21$ | | **المطلوب (ب)** | تحليل العبارة إلى عواملها الأولية |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** * **أ) استخراج العامل المشترك:** $ax + ay = a(x + y)$. * **ب) التحليل بالتجميع:** تجميع الحدود في مجموعات لها عامل مشترك، ثم استخراج العامل المشترك من كل مجموعة، ثم استخراج العامل المشترك العام.
3. **الخطوة 3: الحل التفصيلي للجزء (أ) $5s^2 - 45s$** 1. نبحث عن **العامل المشترك** في الحدين $5s^2$ و $-45s$. 2. نجد أن: * العامل العددي المشترك الأكبر هو **5**. * العامل الحرفي المشترك هو **$s$** (لأن $s^2 = s \times s$ و $s = s$، فأقل أس هو $s^1$). 3. **العامل المشترك الكلي** هو $5s$. 4. نستخرج العامل المشترك $5s$ من كل حد: * $5s^2 \div 5s = s$ * $-45s \div 5s = -9$ 5. نكتب العبارة بعد استخراج العامل المشترك: $5s^2 - 45s = 5s(s - 9)$ 6. نتحقق من العامل $(s - 9)$، ولا يمكن تحليله أكثر. 7. **التحليل النهائي:** $5s(s - 9)$.
4. **الخطوة 4: الحل التفصيلي للجزء (ب) $7s^3 + 21s^2 - 7s - 21$** 1. نلاحظ أن هناك **أربعة حدود**، مما يقترح استخدام طريقة **التحليل بالتجميع**. 2. **الخطوة 4-1: تجميع الحدود** * نقسم الحدود الأربعة إلى مجموعتين: **(7s³ + 21s²)** و **(-7s - 21)**. * نلاحظ أن إشارة الحد الثالث والرابع سالبة، لذا نأخذ علامة السالب معهما عند التجميع. 3. **الخطوة 4-2: استخراج العامل المشترك من كل مجموعة** * **المجموعة الأولى ($7s^3 + 21s^2$):** * العامل المشترك هو $7s^2$. * $7s^3 + 21s^2 = 7s^2(s + 3)$ * **المجموعة الثانية ($-7s - 21$):** * نستخرج العامل المشترك. نلاحظ أن كلاهما يقبل القسمة على **-7** (نستخرج سالب لجعل القوسين متشابهين). * $-7s - 21 = -7(s + 3)$ > **ملاحظة:** استخراج **-7** يجعل القوس $(s + 3)$ يظهر مطابقاً للقوس من المجموعة الأولى. 4. **الخطوة 4-3: كتابة العبارة بعد تحليل كل مجموعة** $7s^3 + 21s^2 - 7s - 21 = [7s^2(s + 3)] + [-7(s + 3)]$ $= 7s^2(s + 3) - 7(s + 3)$ 5. **الخطوة 4-4: استخراج العامل المشترك الجديد** * نلاحظ الآن أن المقدارين لهما **عامل مشترك** هو $(s + 3)$. * نستخرج العامل المشترك $(s + 3)$: $7s^2(s + 3) - 7(s + 3) = (s + 3)(7s^2 - 7)$ 6. **الخطوة 4-5: تحليل ما تبقى** * ننظر إلى العامل $(7s^2 - 7)$. * يمكن استخراج **عامل مشترك** منه وهو **7**: $7s^2 - 7 = 7(s^2 - 1)$ * العبارة أصبحت: $(s + 3) \times 7(s^2 - 1)$ * نلاحظ أن $(s^2 - 1)$ هو **فرق بين مربعين**: $s^2 - 1 = (s - 1)(s + 1)$ 7. **التحليل النهائي الكامل:** $7s^3 + 21s^2 - 7s - 21 = (s + 3) \times 7 \times (s - 1)(s + 1)$ نرتب العوامل عدديًا أولاً: $= 7(s - 1)(s + 1)(s + 3)$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** * **الجزء (أ):** العبارة $5s^2 - 45s$ بعد التحليل تُكتب على الصورة: **٥س(س - ٩)**. * **الجزء (ب):** العبارة $7s^3 + 21s^2 - 7s - 21$ بعد التحليل تُكتب على الصورة: **٧(س - ١)(س + ١)(س + ٣)**.

ما حكم تحليل مجموع المربعين أ² + ب²؟

• أ) (أ + ب)(أ + ب)
• ب) (أ - ب)(أ + ب)
• ج) لا يمكن تحليله، فهو كثيرة حدود أولية.
• د) يمكن تحليله فقط إذا كانت أ و ب أعداداً موجبة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا يمكن تحليله، فهو كثيرة حدود أولية.

الشرح: مجموع المربعين أ² + ب² هو كثيرة حدود أولية لا يمكن تحليلها في الأعداد الحقيقية إلى عوامل خطية أو تربيعية.

تلميح: تذكر القاعدة الخاصة بمجموع المربعات في الأعداد الحقيقية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

عند تحليل كثيرة حدود على صورة فرق بين مربعين مرتين متتاليتين مثل ص⁴ - ١، ما هي الخطوة الأولى الصحيحة للتحليل؟

• أ) إخراج عامل مشترك.
• ب) كتابة العبارة على صورة فرق بين مكعبين (ص)³ - (١)³.
• ج) كتابة العبارة على صورة فرق بين مربعين $(ص²)² - (١)²$.
• د) تحليلها مباشرة إلى (ص² - ١)(ص² + ١).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: كتابة العبارة على صورة فرق بين مربعين $(ص²)² - (١)²$.

الشرح: الخطوة الأولى عند تحليل ص⁴ - ١ هي إعادة كتابتها كفرق بين مربعين كاملين، حيث ص⁴ = (ص²)² و ١ = (١)²، فتصبح العبارة (ص²)² - (١)². هذا يسهل تطبيق قاعدة فرق المربعين.

تلميح: ابحث عن المربعات الكاملة التي تكون الأساس للفرق بين المربعين الأول.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما التحليل التام لكثيرة الحدود ٦٢٥ - س⁴؟

• أ) (٦٢٥ - س)(٦٢٥ + س)
• ب) (٢٥ - س²)(٢٥ + س²)
• ج) (٢٥ + س²)(٥ - س)(٥ + س)
• د) (٥ - س)(٥ + س)(٥ - س)(٥ + س)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٢٥ + س²)(٥ - س)(٥ + س)

الشرح: 1. ٦٢٥ - س⁴ هي فرق بين مربعين: (٢٥)² - (س²)². 2. حللها إلى: (٢٥ - س²)(٢٥ + س²). 3. العامل (٢٥ - س²) هو فرق بين مربعين آخر: (٥)² - (س)² = (٥ - س)(٥ + س). 4. العامل (٢٥ + س²) هو مجموع مربعين ولا يحلل. 5. التحليل التام هو: (٢٥ + س²)(٥ - س)(٥ + س).

تلميح: تذكر أن بعض كثيرات الحدود يمكن تحليلها باستخدام قاعدة فرق المربعين أكثر من مرة.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط

ما التحليل التام لكثيرة الحدود ٧س³ + ٢١س² - ٧س - ٢١؟

• أ) ٧(س² - ١)(س + ٣)
• ب) ٧س(س² + ٣س - ١) - ٢١
• ج) ٧(س + ٣)(س + ١)(س - ١)
• د) (٧س² - ٧)(س + ٣)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٧(س + ٣)(س + ١)(س - ١)

الشرح: 1. أخرج العامل المشترك الأكبر ٧: ٧(س³ + ٣س² - س - ٣). 2. جمّع الحدود داخل القوسين: ٧[ (س³ + ٣س²) - (س + ٣) ]. 3. حلل كل تجميع: ٧[ س²(س + ٣) - ١(س + ٣) ]. 4. أخرج (س + ٣) كعامل مشترك: ٧(س + ٣)(س² - ١). 5. حلل (س² - ١) كفرق بين مربعين: ٧(س + ٣)(س - ١)(س + ١).

تلميح: طبق أكثر من طريقة تحليل: العامل المشترك الأكبر، ثم التجميع، وأخيراً فرق المربعين.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: صعب