مثال ١ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: ٩س² + ٢٤س + ١٦

الإجابة: (٣س + ٤)²

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **المعطى** | المقدار الجبري: $9س^2 + 24س + 16$ | | **المطلوب** | تحليل المقدار إلى عوامله الأولية (صيغة مربع كامل). |
2. **الخطوة 2: تحديد القانون/المبدأ المستخدم** يتم تحليل **المقدار التربيعي الكامل** باستخدام الصيغة العامة: > **$(أ س + ب)^2 = أ^2 س^2 + 2أ ب س + ب^2$** حيث نقارن بين حدود المقدار المعطى وحدود الصيغة العامة.
3. **الخطوة 3: مقارنة الحدود مع الصيغة العامة** لنقارن المقدار $9س^2 + 24س + 16$ مع الصيغة $أ^2 س^2 + 2أ ب س + ب^2$: 1. **الحد التربيعي الأول ($أ^2 س^2$):** $9س^2$ مما يعني أن $أ^2 = 9$، وبالتالي $أ = 3$ (نأخذ الجذر الموجب عادةً). 2. **الحد التربيعي الأخير ($ب^2$):** $16$ مما يعني أن $ب^2 = 16$، وبالتالي $ب = 4$. 3. **الحد الأوسط ($2أ ب س$):** نحسب $2 × أ × ب = 2 × 3 × 4 = 24$، وهو مطابق تماماً لمعامل الحد الأوسط في المقدار المعطى (24س).
4. **الخطوة 4: التحقق من شروط المربع الكامل** بما أن: - الحدان الأول والأخير مربعان كاملان. - الحد الأوسط يساوي **ضعف حاصل ضرب الجذرين** ($2 × 3س × 4$). فإن المقدار يمثل **مربعاً كاملاً**.
5. **الخطوة 5: كتابة التحليل النهائي** بناءً على المقارنة، حيث $أ = 3$ و $ب = 4$، فإن التحليل هو: **$(أ س + ب)^2 = (3س + 4)^2$** ويمكن كتابته أيضاً على الصورة $(3س + 4)(3س + 4)$.
6. **النتيجة النهائية:** يمكن التعبير عن المقدار $9س^2 + 24س + 16$ على شكل **مربع مجموع ثنائية الحد** $(3س + 4)^2$.

سؤال 2: أ² + ١٠أ + ٢٥

الإجابة: (أ + ٥)²

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **المعطى** | المقدار الجبري: $أ^2 + 10أ + 25$ | | **المطلوب** | تحليل المقدار إلى عوامله الأولية (صيغة مربع كامل). |
2. **الخطوة 2: تحديد القانون/المبدأ المستخدم** يتم تحليل **المقدار التربيعي الكامل** باستخدام الصيغة العامة: > **$(س + ب)^2 = س^2 + 2ب س + ب^2$** في هذه الحالة، معامل $س^2$ هو 1، مما يبسط الصيغة. نقارن حدود المقدار المعطى مع هذه الصيغة.
3. **الخطوة 3: مقارنة الحدود مع الصيغة العامة** لنقارن المقدار $أ^2 + 10أ + 25$ مع الصيغة $س^2 + 2ب س + ب^2$ (حيث $س$ هي المتغير $أ$): 1. **الحد التربيعي الأول ($س^2$):** $أ^2$، مما يعني أن الأساس هو $أ$ نفسه. 2. **الحد التربيعي الأخير ($ب^2$):** $25$ مما يعني أن $ب^2 = 25$، وبالتالي $ب = 5$. 3. **الحد الأوسط ($2ب س$):** نحسب $2 × ب × س = 2 × 5 × أ = 10أ$، وهو مطابق تماماً لمعامل الحد الأوسط في المقدار المعطى.
4. **الخطوة 4: التحقق من شروط المربع الكامل** بما أن: - الحدان الأول والأخير مربعان كاملان ($أ^2$ و $5^2$). - الحد الأوسط يساوي **ضعف حاصل ضرب جذريهما** ($2 × أ × 5$). فإن المقدار يمثل **مربعاً كاملاً**.
5. **الخطوة 5: كتابة التحليل النهائي** بناءً على المقارنة، حيث الأساس هو $أ$ و $ب = 5$، فإن التحليل هو: **$(س + ب)^2 = (أ + 5)^2$** ويمكن كتابته أيضاً على الصورة $(أ + 5)(أ + 5)$.
6. **النتيجة النهائية:** يمكن التعبير عن المقدار $أ^2 + 10أ + 25$ على شكل **مربع مجموع ثنائية الحد** $(أ + 5)^2$.

ما هي الشروط الثلاثة لكي تشكل ثلاثية حدود مربعاً كاملاً؟

• أ) 1. الحد الأول مربع كامل. 2. الحد الأخير مربع كامل وموجب. 3. الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحد الأول والأخير.
• ب) 1. الحد الأول والحد الأخير مربعان كاملان. 2. الحد الأوسط هو مجموع جذري الحدين الأول والأخير.
• ج) 1. الحد الأول مربع كامل. 2. الحد الأخير مربع كامل. 3. الحد الأوسط هو حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير.
• د) 1. الحد الأول مربع كامل. 2. الحد الأوسط والحد الأخير زوجيان.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 1. الحد الأول مربع كامل. 2. الحد الأخير مربع كامل وموجب. 3. الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحد الأول والأخير.

الشرح: لتحديد ما إذا كانت ثلاثية الحدود مربعًا كاملاً، يجب التحقق من ثلاثة شروط أساسية: 1. يجب أن يكون الحد الأول مربعًا كاملاً. 2. يجب أن يكون الحد الأخير (الثابت) مربعًا كاملاً وموجبًا. 3. يجب أن يكون الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الأول والجذر التربيعي للحد الأخير.

تلميح: تذكر الأجزاء الثلاثة التي يجب التحقق منها في ثلاثية الحدود: البداية، النهاية، والوسط.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي الصيغة العامة لتحليل ثلاثية الحدود التي تشكل مربعاً كاملاً من النوع $أ^2 + 2أب + ب^2$؟

• أ) $(أ - ب)^2$
• ب) $(أ + ب)^2$
• ج) $(أ + ب)(أ - ب)$
• د) $أ^2 + ب^2$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $(أ + ب)^2$

الشرح: عندما تكون ثلاثية الحدود على صورة مربع كامل $أ^2 + 2أب + ب^2$، حيث $أ^2$ هو مربع الحد الأول، و $ب^2$ هو مربع الحد الأخير، و $2أب$ هو ضعف حاصل ضرب الجذرين، فإن تحليلها يكون $(أ + ب)^2$.

تلميح: ركز على الحدود الجذرية للحد الأول والأخير وعلاقتها بالحد الأوسط.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

متى يمكن الحكم مباشرة بأن ثلاثية الحدود لا تشكل مربعاً كاملاً دون الحاجة للتحقق من الشروط الأخرى؟

• أ) إذا كان الحد الأول سالباً.
• ب) إذا كان الحد الأوسط سالباً.
• ج) إذا كان الحد الثابت سالباً.
• د) إذا كان الحد الأول ليس مربعاً كاملاً.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إذا كان الحد الثابت سالباً.

الشرح: من شروط المربع الكامل أن يكون الحد الأول والأخير (الثابت) مربعين كاملين. وبما أن مربع أي عدد حقيقي (موجب أو سالب) يكون دائمًا موجبًا، فلا يمكن أن يكون الحد الثابت سالبًا في مربع كامل. لذلك، إذا كان الحد الثابت سالبًا، فليست ثلاثية حدود مربعًا كاملاً.

تلميح: تذكر خصائص الأعداد المربعة: هل يمكن أن يكون مربع العدد سالباً؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هو التحليل الصحيح لثلاثية الحدود $9ص^2 + 24ص + 16$ إذا كانت تشكل مربعاً كاملاً؟

• أ) $(9ص + 16)^2$
• ب) $(3ص + 4)^2$
• ج) $(3ص - 4)^2$
• د) $(9ص - 4)^2$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $(3ص + 4)^2$

الشرح: 1. الحد الأول $9ص^2$ هو مربع كامل، جذره $3ص$. 2. الحد الأخير $16$ هو مربع كامل، جذره $4$. 3. الحد الأوسط $24ص$ يساوي $2 \times (3ص) \times 4 = 24ص$. 4. بما أن الشروط متوفرة، فإن التحليل هو $(3ص + 4)^2$.

تلميح: أوجد الجذر التربيعي للحد الأول (9ص²) والجذر التربيعي للحد الأخير (16)، ثم تحقق من الحد الأوسط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

لماذا لا تشكل ثلاثية الحدود $2ر^2 + 10ر + 25$ مربعاً كاملاً؟

• أ) لأن الحد الأوسط لا يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير.
• ب) لأن الحد الأول $2ر^2$ ليس مربعاً كاملاً.
• ج) لأن الحد الأخير $25$ ليس مربعاً كاملاً.
• د) لأن جميع الحدود ليست موجبة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأن الحد الأول $2ر^2$ ليس مربعاً كاملاً.

الشرح: 1. الحد الأول هو $2ر^2$. ليكون مربعاً كاملاً، يجب أن يكون له جذر تربيعي صحيح أو بسيط، ولكن $2$ ليس مربعاً كاملاً، وبالتالي $2ر^2$ ليس مربعاً كاملاً. 2. على الرغم من أن الحد الأخير $25$ مربع كامل ($5^2$)، إلا أن عدم كون الحد الأول مربعاً كاملاً يكفي لعدم اعتبار ثلاثية الحدود مربعاً كاملاً.

تلميح: تحقق من شروط المربع الكامل بدءاً من الحد الأول. هل كل حد مربع كامل؟

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط