فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المعادلات التربيعية: المربعات الكاملة

المفاهيم الأساسية

المربع الكامل لثلاثية حدود: ثلاثية الحدود التي يمكن تحليلها إلى مربع ثنائي حد.

خريطة المفاهيم

```markmap

تحليل ثلاثية الحدود التي تشكل مربعاً كاملاً

الشروط الأساسية

الحد الأول مربع كامل

الحد الأخير مربع كامل

الحد الأوسط = ٢ × (جذر الحد الأول) × (جذر الحد الأخير)

القواعد الرمزية

أ^٢ + ٢أب + ب^٢ = (أ + ب)^٢

أ^٢ - ٢أب + ب^٢ = (أ - ب)^٢

أمثلة تطبيقية

س^٢ + ٨س + ١٦ = (س + ٤)^٢

س^٢ - ٦س + ٩ = (س - ٣)^٢

```

نقاط مهمة

• ثلاثية الحدود تكون مربعاً كاملاً إذا كان حدّاها الأول والأخير مربعين كاملين، والحد الأوسط يساوي ضعف ناتج ضرب جذريهما.
• قاعدة مفكوك مربع ثنائي الحد: (أ + ب)^٢ = أ^٢ + ٢أب + ب^٢ و (أ - ب)^٢ = أ^٢ - ٢أب + ب^٢
• التحليل يعني كتابة ثلاثية الحدود على صورة حاصل ضرب حدين متطابقين: (س + ٤)^٢ = (س + ٤)(س + ٤)

تحقق من فهمك

بناءً على الشرح الموجود في الصفحة، يمكنك التحقق من فهمك من خلال الإجابة على الأسئلة التالية:

هل ثلاثية الحدود ١٦س² + ٢٤س + ٩ تشكل مربعاً كاملاً؟

- التحليل:

- الحد الأول: ١٦س² = (٤س)² ← مربع كامل

- الحد الأخير: ٩ = ٣² ← مربع كامل

- الحد الأوسط: ٢٤س = ٢ × (٤س) × (٣) ← يساوي ضعف حاصل ضرب الجذرين

- النتيجة: نعم، ثلاثية الحدود تشكل مربعاً كاملاً وتحليلها هو: (٤س + ٣)^٢

هل ثلاثية الحدود س² + ٨س + ١٦ تشكل مربعاً كاملاً؟

- التحليل:

- الحد الأول: س² = س² ← مربع كامل

- الحد الأخير: ١٦ = ٤² ← مربع كامل

- الحد الأوسط: ٨س = ٢ × (س) × (٤) ← يساوي ضعف حاصل ضرب الجذرين

- النتيجة: نعم، ثلاثية الحدود تشكل مربعاً كاملاً وتحليلها هو: (س + ٤)^٢

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

7-6 المعادلات التربيعية: المربعات الكاملة

درست إيجاد ناتج ضرب مجموع وحيدتي حد في الفرق بينهما.

- أحلل ثلاثية الحدود التي على صورة مربع كامل. - أحل معادلات تتضمن مربعات كاملة.

المربع الكامل لثلاثية حدود

يسقط الحجر والكيس بالسرعة نفسها؛ لذا ستحتاج إلى حل المعادلة 0 = -5ن² + ل.، لمعرفة الزمن الذي يحتاج إليه الجسم كي يصل إلى الأرض إذا سقط من ارتفاع ابتدائي (ل.) مترًا فوق الأرض، حيث (ن) تمثل الزمن بالثواني بعد سقوط الجسم.

تعلمت قاعدة مفكوك ثنائيي الحد (أ + ب)²، (أ - ب)². تذكر بأن تلك نواتج ضرب خاصة تتبع قاعدة معينة. (أ + ب)² = (أ + ب)(أ + ب) = أ² + أب + أب + ب² = أ² + 2أب + ب² (أ - ب)² = (أ - ب)(أ - ب) = أ² - أب - أب + ب² = أ² - 2أب + ب² تكون نواتج الضرب هذه على صورة مربع كامل لثلاثية الحدود؛ لأنها مربعات ثنائيات حد. وتساعدك القواعد أعلاه على تحليل ثلاثية الحدود التي تشكل مربعًا كاملاً.

ولتكوان ثلاثية حدود قابلة للتحليل على صورة مربع كامل، يجب أن يكون الحدان الأول والأخير مربعين كاملين، وأن يكون الحد الأوسط ضعف ناتج ضرب الجذر التربيعي للحدين الأول والأخير بإشارة موجبة أو سالبة. فمثلاً ثلاثية الحدود 16س² + 24س + 9 تشكل مربعًا كاملاً، كما هو موضح أدناه.

الرموز: أ² + 2أب + ب² = (أ + ب)(أ + ب) = (أ + ب)² أ² - 2أب + ب² = (أ - ب)(أ - ب) = (أ - ب)² أمثلة: س² + 8س + 16 = (س + 4)(س + 4) = (س + 4)² س² - 6س + 9 = (س - 3)(س - 3) = (س - 3)²

أضف إلى مطويتك

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 7-6 المعادلات التربيعية: المربعات الكاملة --- SECTION: فيما سبق --- درست إيجاد ناتج ضرب مجموع وحيدتي حد في الفرق بينهما. --- SECTION: والآن --- - أحلل ثلاثية الحدود التي على صورة مربع كامل. - أحل معادلات تتضمن مربعات كاملة. --- SECTION: المفردات --- المربع الكامل لثلاثية حدود --- SECTION: لماذا؟ --- يسقط الحجر والكيس بالسرعة نفسها؛ لذا ستحتاج إلى حل المعادلة 0 = -5ن² + ل.، لمعرفة الزمن الذي يحتاج إليه الجسم كي يصل إلى الأرض إذا سقط من ارتفاع ابتدائي (ل.) مترًا فوق الأرض، حيث (ن) تمثل الزمن بالثواني بعد سقوط الجسم. --- SECTION: تحليل ثلاثية حدود على صورة مربع كامل --- تعلمت قاعدة مفكوك ثنائيي الحد (أ + ب)²، (أ - ب)². تذكر بأن تلك نواتج ضرب خاصة تتبع قاعدة معينة. (أ + ب)² = (أ + ب)(أ + ب) = أ² + أب + أب + ب² = أ² + 2أب + ب² (أ - ب)² = (أ - ب)(أ - ب) = أ² - أب - أب + ب² = أ² - 2أب + ب² تكون نواتج الضرب هذه على صورة مربع كامل لثلاثية الحدود؛ لأنها مربعات ثنائيات حد. وتساعدك القواعد أعلاه على تحليل ثلاثية الحدود التي تشكل مربعًا كاملاً. ولتكوان ثلاثية حدود قابلة للتحليل على صورة مربع كامل، يجب أن يكون الحدان الأول والأخير مربعين كاملين، وأن يكون الحد الأوسط ضعف ناتج ضرب الجذر التربيعي للحدين الأول والأخير بإشارة موجبة أو سالبة. فمثلاً ثلاثية الحدود 16س² + 24س + 9 تشكل مربعًا كاملاً، كما هو موضح أدناه. --- SECTION: مفهوم أساسي: تحليل ثلاثية الحدود التي تشكل مربعًا كاملاً --- الرموز: أ² + 2أب + ب² = (أ + ب)(أ + ب) = (أ + ب)² أ² - 2أب + ب² = (أ - ب)(أ - ب) = (أ - ب)² أمثلة: س² + 8س + 16 = (س + 4)(س + 4) = (س + 4)² س² - 6س + 9 = (س - 3)(س - 3) = (س - 3)² أضف إلى مطويتك --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لطفل يسقط كيساً ورقياً وحجراً في نفس الوقت لتوضيح مفهوم السقوط الحر المذكور في فقرة 'لماذا؟'. **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط توضيحي يحلل ثلاثية الحدود 16س² + 24س + 9 للتحقق مما إذا كانت تشكل مربعاً كاملاً. يتكون المخطط من المعادلة في الأعلى مع ثلاثة أسهم تشير إلى ثلاثة صناديق نصية زرقاء تحتوي على أسئلة وإجابات تحقق. Key Values: الحد الأول: 16س² -> هل الحد الأول مربع كامل؟ نعم؛ لأن 16س² = (4س)²., الحد الأوسط: 24س -> هل الحد الأوسط ضعف ناتج ضرب الجذر التربيعي لكل من الحدين الأول والأخير؟ نعم؛ لأن 24س = 2(4س)(3)., الحد الأخير: 9 -> هل الحد الأخير مربع كامل؟ نعم؛ لأن 9 = 3². **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: الفئة | القاعدة / المثال Rows: Row 1: الرموز | أ² + 2أب + ب² = (أ + ب)(أ + ب) = (أ + ب)² أ² - 2أب + ب² = (أ - ب)(أ - ب) = (أ - ب)² Row 2: أمثلة | س² + 8س + 16 = (س + 4)(س + 4) = (س + 4)² س² - 6س + 9 = (س - 3)(س - 3) = (س - 3)² Context: يقدم هذا الجدول القواعد العامة لتحليل ثلاثية الحدود التي تشكل مربعاً كاملاً بالرموز والأمثلة.