مثال 2 - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 مثال 2: إيجاد متجه مجهول

المفاهيم الأساسية

المتجه المحصل (R): هو مجموع متجهين أو أكثر. في هذه المسألة، يمثل المسار المباشر من نقطة البداية إلى المنزل.

تحليل المتجه: عملية وصف المتجه باستخدام مركبتيه على المحورين السيني (x) والصادي (y).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 5: القوى في بعدين

1-5 المتجهات

مركبات المتجهات

#### اختيار نظام الإحداثيات

• يشبه وضع شبكة شفافة فوق رسم المتجهات.
• اختيار نقطة الأصل واتجاهات المحاور.
• المحور x: يمثل اتجاه الحركة.
• المحور y: عمودي على المحور x.
• قاعدة الاختيار: جعل المحور x في اتجاه الحركة الرئيسي يسهل الحل.

#### تحليل المتجه

• وصف المتجه باستخدام مركبتيه على المحورين x و y.
• المتجه الأصلي = مجموع مركبتيه.
• A = A_x + A_y
• المتجه الأصلي يكون دائماً أكبر من مركبتيه.
• المركبتان والمتجه الأصلي يشكلون مثلثاً قائم الزاوية.

#### تحديد اتجاه المتجه

• الزاوية θ مع محور x الموجب (بعكس عقارب الساعة).

#### حساب المركبات

• A_x = A \cos θ
• A_y = A \sin θ

#### إشارة المركبات

• تعتمد على الربع الذي يقع فيه المتجه.
• الربع الأول: A_x > 0, A_y > 0
• الربع الثاني: A_x < 0, A_y > 0
• الربع الثالث: A_x < 0, A_y < 0
• الربع الرابع: A_x > 0, A_y < 0

جمع المتجهات جبريًا

#### خطوات الجمع

تحليل كل متجه إلى مركبتيه (x, y).

جمع المركبات الأفقية (x) للمتجهات للحصول على R_x.

- R_x = A_x + B_x + C_x + ...

جمع المركبات الرأسية (y) للمتجهات للحصول على R_y.

- R_y = A_y + B_y + C_y + ...

إيجاد المحصلة النهائية R من مركبتيها.

- R^2 = R_x^2 + R_y^2

#### إيجاد زاوية المتجه المحصل

• θ = \tan^{-1} (R_y / R_x)
• استخدم زر `tan⁻¹` في الآلة الحاسبة.
• إذا كانت النسبة موجبة: الزاوية بين °0 و °90.
• إذا كانت النسبة سالبة: الزاوية بين °0 و °90-.

العلاقات المثلثية للمتجه

• \sin θ = R_y / R
• \cos θ = R_x / R
• \tan θ = R_y / R_x

إيجاد متجه مجهول (B)

#### العلاقة الأساسية

• R = A + B
• B = R - A

#### خطوات الحل

تحليل المتجهات المعلومة (R و A) إلى مركبات.

- R_x = R \cos θ_R

- R_y = R \sin θ_R

- A_x = A \cos θ_A

- A_y = A \sin θ_A

إيجاد مركبات المتجه المجهول (B).

- B_x = R_x - A_x

- B_y = R_y - A_y

حساب مقدار المتجه المجهول.

- B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}

تحديد اتجاه المتجه المجهول.

- θ_B = \tan^{-1} (B_y / B_x)

- تحديد الربع بناءً على إشارتي B_x و B_y.

```

نقاط مهمة

• عند إيجاد متجه مجهول (B) من العلاقة R = A + B، نستخدم الطرح الجبري للمركبات: B = R - A.
• الزاوية 40.0° شمال الغرب تقابل 140.0° من المحور x الموجب (لأنها في الربع الثاني).
• إشارة المركبة السالبة (مثل B_x = -11.5 km) تعني أن اتجاهها نحو الغرب.
• تقويم الإجابة يشمل: التحقق من الوحدات، ومعنى الإشارات، ومنطقية النتيجة (مثل أن طول B أكبر من R إذا كانت الزاوية بين A و B أكبر من 90°).

مثال 2

الطريق إلى المنزل يشير مستقبل جهاز نظام تحديد المواقع العالمي إلى أن منزلك يبعد 15.0 km في اتجاه يصنع زاوية 40.0° شمال الغرب، ولكن الطريق الوحيد المتاح أمامك للوصول إلى المنزل هو في اتجاه الشمال. فإذا سلكت هذا الطريق وتحركت مسافة 5.0 km، فما المسافة التي يجب أن تقطعها بعد ذلك حتى تصل إلى منزلك؟ وفي أي اتجاه تسير؟

1 تحليل المسألة ورسمها

• ارسم متجه المحصلة R من موقعك الأصلي إلى منزلك. • ارسم المتجه المعلوم A، ثم ارسم المتجه المجهول B.

المعلوم A = 5.0 km في اتجاه الشمال R = 15.0 km في اتجاه 40.0° شمال الغرب

المجهول B = ?

2 إيجاد الكمية المجهولة

أوجد مركبتي المتجه R. بالتعويض R = 15.0 km و θ = 140.0° بما أن A في اتجاه الشمال، لذا فإن Rₓ = R cos θ = (15.0 km) cos 140.0° = -11.5 km Rᵧ = R sin θ = (15.0 km) sin 140.0° = 9.64 km Aₓ = 0.0 km Aᵧ = 5.0 km

استخدم مركبات كل من R و A لإيجاد مركبتي المتجه B. بالتعويض Rᵧ = 9.46 km و Aᵧ = 5.0 km و Rₓ = -11.5 km و Aₓ = 0.0 km الإشارة السالبة تعني أن هذه المركبة في اتجاه الغرب. Bₓ = Rₓ - Aₓ = -11.5 km - 0.0 km = -11.5 km Bᵧ = Rᵧ - Aᵧ = 9.64 km - 5.0 km = 4.6 km

استخدم مركبتي المتجه B لإيجاد مقدار المتجه B. بالتعويض Bₓ = -11.5 km و Bᵧ = 4.6 km B = √(Bₓ² + Bᵧ²) = √((-11.5 km)² + (4.6 km)²) = 12 km

دليل الرياضيات معكوس الجيب، ومعكوس جيب التمام، ومعكوس الظل 205

استخدم الظل لإيجاد اتجاه المتجه B. بالتعويض Bₓ = -11.5 km و Bᵧ = 4.6 km θ = tan⁻¹(Bᵧ / Bₓ) = tan⁻¹(4.6 km / -11.5 km) = -22° أو (158°) ضع ذيل المتجه B عند نقطة الأصل لنظام إحداثي، وارسم المركبتين Bₓ و Bᵧ، فيكون الاتجاه في الربع الثاني وفي اتجاه يصنع زاوية مقدارها 22° شمال الغرب.

3 تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ الكيلومترات والدرجات صحيحة.

• هل للإشارات معنى؟ تتفق الإشارات مع المخطط.

• هل الجواب منطقي؟ إن طول المتجه B أكبر من R، لأن الزاوية بين A و B أكبر من 90°.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 137

مثال 2 الطريق إلى المنزل يشير مستقبل جهاز نظام تحديد المواقع العالمي إلى أن منزلك يبعد 15.0 km في اتجاه يصنع زاوية 40.0° شمال الغرب، ولكن الطريق الوحيد المتاح أمامك للوصول إلى المنزل هو في اتجاه الشمال. فإذا سلكت هذا الطريق وتحركت مسافة 5.0 km، فما المسافة التي يجب أن تقطعها بعد ذلك حتى تصل إلى منزلك؟ وفي أي اتجاه تسير؟ --- SECTION: 1 تحليل المسألة ورسمها --- 1 تحليل المسألة ورسمها • ارسم متجه المحصلة R من موقعك الأصلي إلى منزلك. • ارسم المتجه المعلوم A، ثم ارسم المتجه المجهول B. --- SECTION: المعلوم --- المعلوم A = 5.0 km في اتجاه الشمال R = 15.0 km في اتجاه 40.0° شمال الغرب --- SECTION: المجهول --- المجهول B = ? --- SECTION: 2 إيجاد الكمية المجهولة --- 2 إيجاد الكمية المجهولة أوجد مركبتي المتجه R. بالتعويض R = 15.0 km و θ = 140.0° بما أن A في اتجاه الشمال، لذا فإن Rₓ = R cos θ = (15.0 km) cos 140.0° = -11.5 km Rᵧ = R sin θ = (15.0 km) sin 140.0° = 9.64 km Aₓ = 0.0 km Aᵧ = 5.0 km استخدم مركبات كل من R و A لإيجاد مركبتي المتجه B. بالتعويض Rᵧ = 9.46 km و Aᵧ = 5.0 km و Rₓ = -11.5 km و Aₓ = 0.0 km الإشارة السالبة تعني أن هذه المركبة في اتجاه الغرب. Bₓ = Rₓ - Aₓ = -11.5 km - 0.0 km = -11.5 km Bᵧ = Rᵧ - Aᵧ = 9.64 km - 5.0 km = 4.6 km استخدم مركبتي المتجه B لإيجاد مقدار المتجه B. بالتعويض Bₓ = -11.5 km و Bᵧ = 4.6 km B = √(Bₓ² + Bᵧ²) = √((-11.5 km)² + (4.6 km)²) = 12 km --- SECTION: دليل الرياضيات --- دليل الرياضيات معكوس الجيب، ومعكوس جيب التمام، ومعكوس الظل 205 استخدم الظل لإيجاد اتجاه المتجه B. بالتعويض Bₓ = -11.5 km و Bᵧ = 4.6 km θ = tan⁻¹(Bᵧ / Bₓ) = tan⁻¹(4.6 km / -11.5 km) = -22° أو (158°) ضع ذيل المتجه B عند نقطة الأصل لنظام إحداثي، وارسم المركبتين Bₓ و Bᵧ، فيكون الاتجاه في الربع الثاني وفي اتجاه يصنع زاوية مقدارها 22° شمال الغرب. --- SECTION: 3 تقويم الجواب --- 3 تقويم الجواب • هل الوحدات صحيحة؟ الكيلومترات والدرجات صحيحة. • هل للإشارات معنى؟ تتفق الإشارات مع المخطط. • هل الجواب منطقي؟ إن طول المتجه B أكبر من R، لأن الزاوية بين A و B أكبر من 90°. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 137 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A vector diagram illustrating the problem of finding an unknown vector B. It shows a Cartesian coordinate system with +x and +y axes. The +y axis is labeled 'الشمال' (North). Three vectors are depicted: Vector A, Vector R (Resultant), and Vector B (Unknown). X-axis: +x Y-axis: +y (الشمال) Data: Illustrates vector addition R = A + B, where R and A are known, and B is unknown. The diagram shows the relative directions and magnitudes of A and R, and the implied path of B. Key Values: Angle from -x to R = 40.0°, Angle from +x to R = 140.0° Context: This diagram visually represents the problem described in Example 2, showing the initial known vectors and the unknown vector to be determined through vector addition/subtraction. **DIAGRAM**: Untitled Description: A small vector diagram illustrating the components of vector B. It shows vector B as the hypotenuse of a right-angle triangle, with its horizontal component Bₓ pointing left along the negative x-axis and its vertical component Bᵧ pointing up along the positive y-axis. An angle θ is shown between the negative x-axis (Bₓ) and vector B. X-axis: Bₓ Y-axis: Bᵧ Data: This diagram visually aids in understanding how the components Bₓ and Bᵧ form the vector B, and how the angle θ is defined for calculating its direction. Context: This diagram supports the calculation of the magnitude and direction of vector B by showing its rectangular components and the angle used for trigonometric calculations.