جمع المتجهات جبريًا - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 جمع المتجهات جبريًا

المفاهيم الأساسية

اتجاه المتجه: الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x الموجب، مقيسةً بعكس اتجاه عقارب الساعة.

مركبات المتجه: هي إسقاطات المتجه على محوري x و y، ويمكن إيجادها باستخدام علم المثلثات.

جمع المتجهات جبريًا: عملية تسهيل جمع المتجهات عن طريق تحليل كل متجه إلى مركبتيه الأفقية (x) والرأسية (y)، ثم جمع المركبات المتشابهة.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 5: القوى في بعدين

1-5 المتجهات

مركبات المتجهات

#### اختيار نظام الإحداثيات

• يشبه وضع شبكة شفافة فوق رسم المتجهات.
• اختيار نقطة الأصل واتجاهات المحاور.
• المحور x: يمثل اتجاه الحركة.
• المحور y: عمودي على المحور x.
• قاعدة الاختيار: جعل المحور x في اتجاه الحركة الرئيسي يسهل الحل.

#### تحليل المتجه

• وصف المتجه باستخدام مركبتيه على المحورين x و y.
• المتجه الأصلي = مجموع مركبتيه.
• A = A_x + A_y
• المتجه الأصلي يكون دائماً أكبر من مركبتيه.
• المركبتان والمتجه الأصلي يشكلون مثلثاً قائم الزاوية.

#### تحديد اتجاه المتجه

• الزاوية θ مع محور x الموجب (بعكس عقارب الساعة).

#### حساب المركبات

• A_x = A \cos θ
• A_y = A \sin θ

#### إشارة المركبات

• تعتمد على الربع الذي يقع فيه المتجه.
• الربع الأول: A_x > 0, A_y > 0
• الربع الثاني: A_x < 0, A_y > 0
• الربع الثالث: A_x < 0, A_y < 0
• الربع الرابع: A_x > 0, A_y < 0

جمع المتجهات جبريًا

#### خطوات الجمع

تحليل كل متجه إلى مركبتيه (x, y).

جمع المركبات الأفقية (x) للمتجهات للحصول على R_x.

- R_x = A_x + B_x + C_x + ...

جمع المركبات الرأسية (y) للمتجهات للحصول على R_y.

- R_y = A_y + B_y + C_y + ...

إيجاد المحصلة النهائية R من مركبتيها.

- R^2 = R_x^2 + R_y^2

```

نقاط مهمة

• سبب اختيار النظام الإحداثي هو تحديد اتجاه أي متجه بالنسبة للمحاور.
• يمكن قياس أطوال مركبات المتجهات بطريقة الرسم أو باستعمال علم المثلثات.
• إذا كانت الزاوية θ أكبر من 90 درجة، تكون إشارة إحدى المركبتين أو كلتاهما سالبة.
• يتم جمع المتجهات جبريًا لتسهيل العملية الحسابية.
• بعد جمع المركبات، يمكن إيجاد المحصلة النهائية بيانيًا باستخدام نظرية فيثاغورس.

وهناك سبب آخر لاختيار النظام الإحداثي، هو أن اتجاه أي متجه يُحدّد بالنسبة إلى هذه الإحداثيات. ويعرف اتجاه المتجه على الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x مقيسةً بعكس عقارب الساعة. ففي الشكل 3b-5 تمثل الزاوية θ اتجاه المتجه A.

ويمكن قياس أطوال مركبات المتجهات بطريقة الرسم، كما يمكن أيضًا إيجاد المركبات باستعمال علم المثلثات. فتُحسب مركبات المتجهات باستعمال المعادلات المبينة أدناه، وتكون المركبتين A و A ، بحيث تكون إشارة كل منهما تعتمد على الربع الذي يقع فيه المتجه. ويكون اتجاه حركة عقارب الساعة من محور x الموجب.

cos θ = الضلع المجاور / الوتر = A / A ⇒ A = A cos θ sin θ = الضلع المقابل / الوتر = A / A ⇒ A = A sin θ

عندما تكون الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x الموجب أكبر من 90 فإن إشارة إحدى المركبتين أو كلتيهما تكون سالبة كما في الشكل 4-5.

جمع المتجهات جبريًا

Algebraic Addition of Vectors

لماذا تمثل المتجهات إلى مركباتها؟ لأن ذلك يسهل عملية جمع المتجهات حسابيًا. فيمكن جمع متجهين أو أكثر مثل A ، B ، C .... إلخ، وذلك بتحليل كل متجه إلى مركبتيه x و y أولاً، ثم تجمع مركبات الأفقية (مركبات المحور x) للمتجهات لتكون المركبة الأفقية للمحصلة R = A + B + C.

R = A + B + C

وبالمثل تجمع المركبات الرأسية (مركبات المحور y) للمحصلة لتكون المركبة الرأسية R = A + B + C. وهذه العملية موضحة بيانياً باستعمال نظرية فيثاغورس

R = R + R

الشكل 5-5 R هي مجموع المركبات الأفقية للمتجهات A و B و C. R هي مجموع المركبات الرأسية للمتجهات A و B و C. الجمع الاتجاهي للمتجهات A و B و C.

a. تحليل كل متجه إلى مركبتيه.

b. إيجاد المحصلة

وزارة 135 تعليم Ministry of Education 2025 - 1447

وهناك سبب آخر لاختيار النظام الإحداثي، هو أن اتجاه أي متجه يُحدّد بالنسبة إلى هذه الإحداثيات. ويعرف اتجاه المتجه على الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x مقيسةً بعكس عقارب الساعة. ففي الشكل 3b-5 تمثل الزاوية θ اتجاه المتجه A. ويمكن قياس أطوال مركبات المتجهات بطريقة الرسم، كما يمكن أيضًا إيجاد المركبات باستعمال علم المثلثات. فتُحسب مركبات المتجهات باستعمال المعادلات المبينة أدناه، وتكون المركبتين A و A ، بحيث تكون إشارة كل منهما تعتمد على الربع الذي يقع فيه المتجه. ويكون اتجاه حركة عقارب الساعة من محور x الموجب. cos θ = الضلع المجاور / الوتر = A / A ⇒ A = A cos θ sin θ = الضلع المقابل / الوتر = A / A ⇒ A = A sin θ عندما تكون الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x الموجب أكبر من 90 فإن إشارة إحدى المركبتين أو كلتيهما تكون سالبة كما في الشكل 4-5. --- SECTION: جمع المتجهات جبريًا --- جمع المتجهات جبريًا --- SECTION: Algebraic Addition of Vectors --- Algebraic Addition of Vectors لماذا تمثل المتجهات إلى مركباتها؟ لأن ذلك يسهل عملية جمع المتجهات حسابيًا. فيمكن جمع متجهين أو أكثر مثل A ، B ، C .... إلخ، وذلك بتحليل كل متجه إلى مركبتيه x و y أولاً، ثم تجمع مركبات الأفقية (مركبات المحور x) للمتجهات لتكون المركبة الأفقية للمحصلة R = A + B + C. R = A + B + C وبالمثل تجمع المركبات الرأسية (مركبات المحور y) للمحصلة لتكون المركبة الرأسية R = A + B + C. وهذه العملية موضحة بيانياً باستعمال نظرية فيثاغورس R = R + R --- SECTION: الشكل 5-5 R هي مجموع المركبات الأفقية للمتجهات A و B و C. R هي مجموع المركبات الرأسية للمتجهات A و B و C. الجمع الاتجاهي للمتجهات A و B و C. --- الشكل 5-5 R هي مجموع المركبات الأفقية للمتجهات A و B و C. R هي مجموع المركبات الرأسية للمتجهات A و B و C. الجمع الاتجاهي للمتجهات A و B و C. --- SECTION: a. تحليل كل متجه إلى مركبتيه. --- a. تحليل كل متجه إلى مركبتيه. --- SECTION: b. إيجاد المحصلة --- b. إيجاد المحصلة وزارة 135 تعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: الشكل 4-5 تعتمد إشارة مركبة المتجه الذي يقع في الربع الذي تقع فيه. Description: A standard Cartesian coordinate system is shown, divided into four quadrants. The x-axis is labeled '+x' and extends horizontally. The y-axis is labeled '+y' and extends vertically. Each quadrant is labeled with the signs of the x and y components of a vector located within it. Quadrant 1 (top right): Ax > 0, Ay > 0. Quadrant 2 (top left): Ax < 0, Ay > 0. Quadrant 3 (bottom left): Ax < 0, Ay < 0. Quadrant 4 (bottom right): Ax > 0, Ay < 0. X-axis: +x Y-axis: +y Context: Illustrates how the signs of the vector components (Ax, Ay) depend on the quadrant in which the vector is located. **GRAPH**: الشكل 5-5.a Description: A vector diagram illustrating the resolution of vectors into their components. Three vectors, A, B, and C, are shown originating from the origin. Each vector is broken down into its horizontal (x) and vertical (y) components. For vector A, the components are labeled Ax and Ay. For vector B, the components are labeled Bx and By. For vector C, the components are labeled Cx and Cy. Dashed lines indicate the projection of each vector onto the respective axes. The diagram shows that the horizontal components are added together (Ax + Bx + Cx) and the vertical components are added together (Ay + By + Cy) to find the resultant vector R. X-axis: +x Y-axis: +y Data: Diagram shows vectors A, B, and C resolved into their x and y components. The sum of the x-components (Ax, Bx, Cx) forms the x-component of the resultant vector R. The sum of the y-components (Ay, By, Cy) forms the y-component of the resultant vector R. Context: Illustrates the process of resolving vectors into their horizontal and vertical components, which is the first step in algebraic vector addition. **GRAPH**: الشكل 5-5.b Description: A vector diagram illustrating the resultant vector R formed by the algebraic addition of vector components. A right-angled triangle is formed with the horizontal component Rx and the vertical component Ry as the two legs, and the resultant vector R as the hypotenuse. The origin is at one vertex of the triangle. Rx is shown along the positive x-axis, and Ry is shown as a dashed line parallel to the positive y-axis. R is the vector from the origin to the endpoint of Ry. X-axis: +x Y-axis: +y Data: Diagram shows the resultant vector R as the hypotenuse of a right triangle, with legs Rx (horizontal component) and Ry (vertical component). This visually represents the Pythagorean theorem for finding the magnitude of the resultant vector. Context: Illustrates how the resultant vector R can be found using the Pythagorean theorem (R² = Rx² + Ry²) after determining the resultant horizontal (Rx) and vertical (Ry) components.