مثال 3 - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 السرعة المتجهة النسبية في بعدين

المفاهيم الأساسية

السرعة المتجهة النسبية: السرعة التي يظهر بها جسم ما بالنسبة إلى إطار مرجعي معين، ويتم حسابها عن طريق الجمع الاتجاهي (المركبات) لمتجهات السرعة.

خريطة المفاهيم

```markmap

السرعة المتجهة النسبية

المبدأ الأساسي

السرعة النسبية = جمع اتجاهي للسرعات

تعتمد على إطار (نظام) المرجع

الحساب في خط مستقيم

إذا كانت الحركتان في اتجاه واحد

#### تجمع السرعتين

إذا كانت الحركتان متعاكستان

#### تطرح إحداهما من الأخرى

الصيغة العامة

v_{a/c} = v_{a/b} + v_{b/c}

#### حيث:

##### a: الجسم المتحرك

##### b: إطار المرجع الوسيط (مثل القطار)

##### c: إطار المرجع النهائي (مثل الأرض)

التطبيق في بعدين

جمع متجهين متعامدين

#### استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد المقدار

##### v_{m/w} = \sqrt{(v_{m/b})^2 + (v_{b/w})^2}

#### استخدم الدوال المثلثية لإيجاد الاتجاه

##### \theta = \tan^{-1}(\frac{v_{m/b}}{v_{b/w}})

أمثلة عملية

#### توجيه الطائرة مع مراعاة سرعة الرياح

#### حركة قارب في تيار ماء

#### حركة كرة داخل قارب متحرك

```

نقاط مهمة

• ينطبق مبدأ جمع السرعات النسبية على الحركة في بعدين (مستوى).
• لتحديد السرعة النهائية لجسم بالنسبة للأرض (مثل طائرة أو قارب)، يجب جمع متجه سرعته بالنسبة للوسط (الهواء/الماء) مع متجه سرعة الوسط نفسه بالنسبة للأرض.
• إذا كان المتجهان المتجمعان متعامدين، يُستخدم نظرية فيثاغورس لحساب مقدار السرعة المحصلة، والدوال المثلثية (مثل الظل العكسي) لحساب اتجاهها.
• خطوات حل المسألة: 1) التحليل والرسم، 2) الإيجاد الحسابي، 3) تقويم الجواب (الوحدات، المنطق).

ينطبق هذا المبدأ في جمع السرعات النسبية على الحركة في بعدين أيضًا، فمثلاً لا يتوقع الملاحون الجويون الوصول إلى هدفهم فقط بتوجيه طائراتهم في اتجاه البوصلة. لذلك عليهم الأخذ بعين الاعتبار سرعتهم بالنسبة إلى الهواء واتجاه هذه السرعة، وكذلك سرعة الرياح واتجاهها عند الارتفاع الذي يطيرون عنده، ويجب جمع هذين المتجهين، كما في الشكل 10-6؛ للحصول على سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض. وسوف يُرشد المتجه المحصل الطيار إلى السرعة التي يجب أن تسير بها الطائرة، والاتجاه الذي تسلكه للوصول إلى مقصدهم. والوضع مشابه عند حركة قارب في تيار متحرك من الماء.

مثال 3

يركب أحمد وجمال قاربًا يتحرك في اتجاه الشرق بسرعة 4.0 m/s. دحرج أحمد كرة بسرعة 0.75 m/s في اتجاه الشمال في عرض القارب في اتجاه جمال. ما سرعة الكرة المتجهة بالنسبة إلى الماء؟

• أنشئ مجموعة محاور. • ارسم متجهات لتمثل سرعة القارب بالنسبة إلى الماء، وسرعة الكرة بالنسبة إلى القارب. حيث ترمز m للكرة، وb للقارب، وw للماء. المعلوم v_b/w = 4.0 m/s v_m/b = 0.75 m/s المجهول v_m/w = ?

بما أن السرعتين متعامدتان، استعمل نظرية فيثاغورس.

(v_m/w)² = (v_m/b)² + (v_b/w)² v_m/w = √((v_m/b)² + (v_b/w)²)

بالتعويض v_m/b=0.75m/s و v_b/w=4.0m/s

= √((0.75 m/s)² + (4.0 m/s)²) = 4.1 m/s

لحساب مقدار الزاوية التي تحركت بها الكرة

θ = tan⁻¹(v_m/b / v_b/w)

بالتعويض v_m/b=0.75m/s و v_b/w=4.0m/s

= tan⁻¹(0.75 m/s / 4.0 m/s) = 11°

تتحرك الكرة بسرعة 4.1 m/s في اتجاه يصنع زاوية 11° شمال الشرق.

معكوس الجيب، ومعكوس جيب التمام، ومعكوس الظل 205

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 ١٧٣

ينطبق هذا المبدأ في جمع السرعات النسبية على الحركة في بعدين أيضًا، فمثلاً لا يتوقع الملاحون الجويون الوصول إلى هدفهم فقط بتوجيه طائراتهم في اتجاه البوصلة. لذلك عليهم الأخذ بعين الاعتبار سرعتهم بالنسبة إلى الهواء واتجاه هذه السرعة، وكذلك سرعة الرياح واتجاهها عند الارتفاع الذي يطيرون عنده، ويجب جمع هذين المتجهين، كما في الشكل 10-6؛ للحصول على سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض. وسوف يُرشد المتجه المحصل الطيار إلى السرعة التي يجب أن تسير بها الطائرة، والاتجاه الذي تسلكه للوصول إلى مقصدهم. والوضع مشابه عند حركة قارب في تيار متحرك من الماء. --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 --- SECTION: السرعة المتجهة النسبية --- يركب أحمد وجمال قاربًا يتحرك في اتجاه الشرق بسرعة 4.0 m/s. دحرج أحمد كرة بسرعة 0.75 m/s في اتجاه الشمال في عرض القارب في اتجاه جمال. ما سرعة الكرة المتجهة بالنسبة إلى الماء؟ --- SECTION: 1 تحليل المسألة ورسمها --- • أنشئ مجموعة محاور. • ارسم متجهات لتمثل سرعة القارب بالنسبة إلى الماء، وسرعة الكرة بالنسبة إلى القارب. حيث ترمز m للكرة، وb للقارب، وw للماء. المعلوم v_b/w = 4.0 m/s v_m/b = 0.75 m/s المجهول v_m/w = ? --- SECTION: 2 إيجاد الكمية المجهولة --- بما أن السرعتين متعامدتان، استعمل نظرية فيثاغورس. (v_m/w)² = (v_m/b)² + (v_b/w)² v_m/w = √((v_m/b)² + (v_b/w)²) بالتعويض v_m/b=0.75m/s و v_b/w=4.0m/s = √((0.75 m/s)² + (4.0 m/s)²) = 4.1 m/s لحساب مقدار الزاوية التي تحركت بها الكرة θ = tan⁻¹(v_m/b / v_b/w) بالتعويض v_m/b=0.75m/s و v_b/w=4.0m/s = tan⁻¹(0.75 m/s / 4.0 m/s) = 11° تتحرك الكرة بسرعة 4.1 m/s في اتجاه يصنع زاوية 11° شمال الشرق. --- SECTION: دليل الرياضيات --- معكوس الجيب، ومعكوس جيب التمام، ومعكوس الظل 205 --- SECTION: 3 تقويم الجواب --- •. هل الوحدات صحيحة؟ يبين تحليل الوحدات أن السرعة ستكون بوحدة m/s. •. هل للإشارات معنى؟ ستكون الإشارات جميعها موجبة. •. هل الجواب منطقي؟ السرعة المحسوبة قريبة من القيم الأخرى للسرعة المعطاة في المثال. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 ١٧٣ --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: الشكل 10-6 يمكن إيجاد السرعة المتجهة للطائرة بالنسبة إلى الأرض بالجمع الاتجاهي. Description: A vector addition triangle illustrating relative velocity. The diagram consists of three vectors represented by red arrows with black labels, forming a closed triangle. This demonstrates the addition of velocities. - Vector 1: An arrow pointing upwards and to the right, labeled 'v' with the subscript 'الهواء بالنسبة إلى الأرض' (Velocity of air relative to Earth). - Vector 2: An arrow pointing downwards and to the right, labeled 'v' with the subscript 'الطائرة بالنسبة إلى الهواء' (Velocity of plane relative to air). - Vector 3: A horizontal arrow pointing to the right, representing the resultant vector. It is labeled 'v' with the subscript 'الطائرة بالنسبة إلى الأرض' (Velocity of plane relative to Earth). The diagram visually represents the vector equation: v_plane/earth = v_plane/air + v_air/earth. **DIAGRAM**: Untitled Description: A composite visual used in Example 3, consisting of a photograph and a vector diagram. - Part 1 (Photograph): An overhead color photograph of a small motorboat on blue water. Two people are in the boat; one at the stern and another at the bow who appears to be throwing an object. - Part 2 (Vector Diagram): A vector diagram on a Cartesian coordinate system. The origin is the starting point for the vectors. The +x axis points to the right, and the +y axis points up. - Vector v_b/w: A horizontal vector pointing right along the +x axis, representing the velocity of the boat relative to the water (4.0 m/s East). - Vector v_m/b: A vertical vector pointing up, representing the velocity of the ball relative to the boat (0.75 m/s North). It forms the vertical side of a right triangle. - Vector v_m/w: The resultant vector, which is the hypotenuse of the right triangle formed by the other two vectors. It starts at the origin and points up and to the right, representing the velocity of the ball relative to the water. - Angle θ: The angle between the resultant vector v_m/w and the horizontal vector v_b/w is labeled with the Greek letter theta (θ).