صفحة 12 - كتاب الفيزياء - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: الزمن الدوري لأحد أقمار المشتري 7.15 أيام. فكم وحدة يبلغ نصف قطر مداره؟ استعمل المعلومات المعطاة في مثال 1.

الإجابة: $r = r_1 (\frac{T}{T_1})^{\frac{2}{3}}$ $r \approx 4.2 (\frac{7.15}{1.8})^{\frac{2}{3}} \approx 10.5$ وحدة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - الزمن الدوري للقمر: T = 7.15 يوم - من مثال 1 (المفترض في السؤال): لدينا قمر مرجعي، لنفترض أن زمنه الدوري هو T₁ = 1.8 يوم ونصف قطر مداره هو r₁ = 4.2 وحدة.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون كبلر الثالث للحركة الكوكبية، والذي ينص على أن مربع الزمن الدوري يتناسب مع مكعب نصف المحور الرئيسي للمدار. بالنسبة لجسمين يدوران حول نفس المركز، يمكن كتابة العلاقة: $$\frac{T^2}{r^3} = \frac{T_1^2}{r_1^3}$$ وبإعادة الترتيب لإيجاد نصف القطر r: $$r = r_1 \left(\frac{T}{T_1}\right)^{\frac{2}{3}}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة: $$r = 4.2 \times \left(\frac{7.15}{1.8}\right)^{\frac{2}{3}}$$ أولاً نحسب النسبة: 7.15 / 1.8 ≈ 3.9722 ثم نرفعها للأس (2/3): (3.9722)^(2/3) لحساب ذلك، يمكننا حساب الجذر التكعيبي أولاً ثم التربيع: الجذر التكعيبي لـ 3.9722 ≈ 1.585، ثم نربع: (1.585)² ≈ 2.512 أخيراً نضرب في 4.2: $$r ≈ 4.2 \times 2.512 ≈ 10.55$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن نصف قطر مدار القمر ≈ **10.5 وحدة** (بالتقريب).

سؤال 2: يدور كويكب حول الشمس في مدار متوسط نصف قطره يساوي ضعف متوسط نصف قطر مدار الأرض. احسب زمنه الدوري بالسنوات الأرضية.

الإجابة: س2: سنة أرضية $T = 1 \times (2)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8} \approx 2.83$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - متوسط نصف قطر مدار الكويكب: r = 2 (نسبة إلى متوسط نصف قطر مدار الأرض، حيث نعتبر نصف قطر مدار الأرض = 1 وحدة). - الزمن الدوري للأرض حول الشمس: T_earth = 1 سنة أرضية.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون كبلر الثالث: $$\frac{T^2}{r^3} = \text{ثابت}$$ لجسمين يدوران حول الشمس (نفس المركز)، يمكن كتابة: $$\frac{T_{\text{كويكب}}^2}{r_{\text{كويكب}}^3} = \frac{T_{\text{أرض}}^2}{r_{\text{أرض}}^3}$$ بما أن r_earth = 1 و T_earth = 1، تصبح المعادلة: $$T^2 = r^3$$ حيث T هو زمن الكويكب و r = 2. إذن: $$T = r^{\frac{3}{2}}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$T = (2)^{\frac{3}{2}}$$ هذا يساوي الجذر التربيعي لـ 2 مرفوع للأس 3، أو مكعب الجذر التربيعي لـ 2. الجذر التربيعي لـ 2 ≈ 1.4142 مكعب 1.4142 ≈ 2.828 أو مباشرة: 2^(3/2) = √(2³) = √8 ≈ 2.828
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الزمن الدوري للكويكب ≈ **2.83 سنة أرضية**.

سؤال 3: يمكنك أن تجد من الجدول 1-1 أن بعد المريخ عن الشمس أكبر 1.52 مرة من بعد الأرض عن الشمس. احسب الزمن اللازم لدوران المريخ حول الشمس بالأيام الأرضية.

الإجابة: س3: $T = 1 \times (1.52)^{\frac{3}{2}} \approx 1.87 \text{ سنة } \approx 1.87 \times 365 \approx 684 \text{ يوماً}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - بعد المريخ عن الشمس أكبر 1.52 مرة من بعد الأرض عن الشمس، أي: r_Mars = 1.52 (نسبة إلى بعد الأرض، حيث نعتبر بعد الأرض = 1 وحدة). - الزمن الدوري للأرض حول الشمس: T_earth = 1 سنة أرضية = 365 يوم (تقريباً).
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون كبلر الثالث: $$\frac{T_{\text{Mars}}^2}{r_{\text{Mars}}^3} = \frac{T_{\text{Earth}}^2}{r_{\text{Earth}}^3}$$ بما أن r_Earth = 1 و T_Earth = 1، تصبح: $$T_{\text{Mars}}^2 = r_{\text{Mars}}^3$$ إذن: $$T_{\text{Mars}} = r_{\text{Mars}}^{\frac{3}{2}}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$T_{\text{Mars}} = (1.52)^{\frac{3}{2}}$$ أولاً نحسب 1.52^(3/2): الجذر التربيعي لـ 1.52 ≈ 1.233، ثم نرفعه للأس 3: (1.233)³ ≈ 1.874 أو مباشرة: 1.52^(3/2) ≈ 1.874 هذه القيمة بالسنوات الأرضية. لتحويلها إلى أيام أرضية، نضرب في 365: $$1.874 \times 365 ≈ 684.01$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الزمن الدوري للمريخ حول الشمس ≈ **1.87 سنة أرضية**، وهو ما يعادل تقريباً **684 يوماً أرضياً**.

سؤال 5: استعمل البيانات المتعلقة بالزمن الدوري للقمر ونصف قطر مداره التي يتضمنها السؤال السابق، لحساب متوسط بعد قمر اصطناعي عن مركز الأرض والذي زمنه الدوري يساوي يوما واحدا.

الإجابة: س5: $r = (3.90 \times 10^5) (\frac{1}{27.3})^{\frac{2}{3}} \approx 4.3 \times 10^4 \text{ km}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من السؤال السابق (المفترض): - للقمر الطبيعي (مثل قمر الأرض): زمنه الدوري T_moon = 27.3 يوم، ونصف قطر مداره r_moon = 3.90 × 10^5 كم. - للقمر الاصطناعي: زمنه الدوري T_sat = 1 يوم. - نريد إيجاد متوسط بعده عن مركز الأرض r_sat.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون كبلر الثالث: $$\frac{T_{\text{sat}}^2}{r_{\text{sat}}^3} = \frac{T_{\text{moon}}^2}{r_{\text{moon}}^3}$$ بإعادة الترتيب لإيجاد r_sat: $$r_{\text{sat}} = r_{\text{moon}} \times \left(\frac{T_{\text{sat}}}{T_{\text{moon}}}\right)^{\frac{2}{3}}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$r_{\text{sat}} = (3.90 \times 10^5) \times \left(\frac{1}{27.3}\right)^{\frac{2}{3}}$$ أولاً نحسب النسبة: 1 / 27.3 ≈ 0.03663 ثم نرفعها للأس (2/3): (0.03663)^(2/3) لحساب ذلك، نجد الجذر التكعيبي أولاً: ∛(0.03663) ≈ 0.332، ثم نربع: (0.332)² ≈ 0.1102 أخيراً نضرب في 3.90 × 10^5: $$r_{\text{sat}} ≈ 3.90 \times 10^5 \times 0.1102 ≈ 4.2978 \times 10^4 \text{ km}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن متوسط بعد القمر الاصطناعي عن مركز الأرض ≈ **4.3 × 10^4 كم** (بالتقريب).

ما الصيغة الرياضية لقانون كبلر الثالث للحركة الكوكبية عند مقارنة جسمين يدوران حول نفس المركز؟

• أ) T₁ * r₁³ = T₂ * r₂³
• ب) T₁ / r₁ = T₂ / r₂
• ج) (T₁² / r₁³) = (T₂² / r₂³)
• د) T₁² * r₁ = T₂² * r₂

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (T₁² / r₁³) = (T₂² / r₂³)

الشرح: ينص قانون كبلر الثالث على أن مربع الزمن الدوري (T) لأي كوكب أو قمر يتناسب طردياً مع مكعب نصف المحور الرئيسي لمداره (r). عند مقارنة جسمين يدوران حول نفس المركز (مثل الشمس أو كوكب)، تكون النسبة (T²/r³) ثابتة لكليهما، مما يعطي العلاقة: T₁²/r₁³ = T₂²/r₂³.

تلميح: يتعلق القانون بنسبة مربع الزمن الدوري إلى مكعب نصف قطر المدار.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان متوسط نصف قطر مدار كوكب حول الشمس يساوي ضعف متوسط نصف قطر مدار الأرض، فما زمنه الدوري بالسنوات الأرضية (باستخدام قانون كبلر الثالث)؟

• أ) سنة أرضية واحدة
• ب) حوالي 1.41 سنة أرضية
• ج) حوالي 2.83 سنة أرضية
• د) 4 سنوات أرضية

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: حوالي 2.83 سنة أرضية

الشرح: 1. المعطيات: r_الكوكب = 2 (نسبة للأرض)، T_الأرض = 1 سنة. 2. من قانون كبلر الثالث: T² ∝ r³. لذا، (T_كوكب / T_أرض)² = (r_كوكب / r_أرض)³. 3. بالتعويض: (T_كوكب / 1)² = (2 / 1)³ => T_كوكب² = 8. 4. إذن، T_كوكب = √8 ≈ 2.83 سنة أرضية.

تلميح: افترض أن نصف قطر مدار الأرض = 1 وحدة وزمنها الدوري = 1 سنة. استخدم العلاقة T² ∝ r³.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

باستخدام قانون كبلر الثالث، إذا كان بعد كوكب عن الشمس أكبر 1.52 مرة من بعد الأرض، فكم يكون زمنه الدوري حول الشمس بالسنوات الأرضية؟

• أ) 1 سنة أرضية
• ب) حوالي 1.26 سنة أرضية
• ج) حوالي 1.87 سنة أرضية
• د) حوالي 2.34 سنة أرضية

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: حوالي 1.87 سنة أرضية

الشرح: 1. المعطيات: r_الكوكب = 1.52 (نسبة للأرض)، T_الأرض = 1 سنة. 2. من قانون كبلر: T ∝ r^(3/2). 3. بالتعويض: T_الكوكب = 1 * (1.52)^(3/2). 4. حساب (1.52)^(3/2): الجذر التربيعي لـ 1.52 ≈ 1.233، ثم (1.233)³ ≈ 1.874. 5. النتيجة: T ≈ 1.87 سنة أرضية.

تلميح: العلاقة هي: الزمن الدوري يتناسب مع (نصف القطر)^(3/2).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب

ما الخطوة الأولى لحساب بعد قمر عن كوكب باستخدام قانون كبلر الثالث، إذا عُلم زمناهما الدوريان وبعد أحد القمرين؟

• أ) رسم مدارات الأقمار
• ب) كتابة العلاقة التناسبية: (T₁² / r₁³) = (T₂² / r₂³)
• ج) تحويل الوحدات إلى النظام الدولي
• د) حساب محيط المدار

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: كتابة العلاقة التناسبية: (T₁² / r₁³) = (T₂² / r₂³)

الشرح: الخطوات الأساسية هي: 1. كتابة قانون كبلر الثالث للتناسب بين القمرين: T₁²/r₁³ = T₂²/r₂³. 2. تحديد المعطيات (T₁, r₁, T₂) والمجهول (r₂). 3. إعادة ترتيب القانون لحل المجهول، عادةً: r₂ = r₁ * (T₂/T₁)^(2/3). 4. التعويض بالقيّم والحساب.

تلميح: ابدأ بإقامة التناسب بين مربعي الزمنين ومكعبي نصفي القطر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط