الجذب الكوني والقانون الثالث لكبلر - كتاب الفيزياء - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: مسألة تحفيز: اكتشف الفلكيون ثلاثة كواكب تدور حول النجم Upsilon وهذه الكواكب هي: الكوكب B الذي يبلغ نصف قطر مداره 0.059 AU وزمنه الدوري 4.6170 أيام، والكوكب C يبلغ نصف قطر مداره 0.829 AU وزمنه الدوري 241.5 يومًا، والكوكب D الذي يبلغ نصف قطر مداره 2.53 AU وزمنه الدوري 1284 يومًا. (المسافة بين الأرض والشمس تساوي 1.00 AU) 1. هل تحقق هذه الكواكب القانون الثالث لكبلر؟

الإجابة: س1: نعم، تقريبًا؛ لأن قيم $\frac{T^2}{r^3}$ للكواكب الثلاثة متقاربة: B: $\approx 1.04 \times 10^5$ C: $\approx 1.02 \times 10^5$ D: $\approx 1.02 \times 10^5$ (بوحدة يوم$^2$/AU$^3$)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من بيانات عن الكواكب: - الكوكب B: نصف قطر المدار r_B = 0.059 AU، الزمن الدوري T_B = 4.6170 أيام. - الكوكب C: نصف قطر المدار r_C = 0.829 AU، الزمن الدوري T_C = 241.5 أيام. - الكوكب D: نصف قطر المدار r_D = 2.53 AU، الزمن الدوري T_D = 1284 أيام. نحتاج إلى التحقق من القانون الثالث لكبلر.
2. **الخطوة 2 (القانون):** القانون الثالث لكبلر ينص على أن النسبة بين مربع الزمن الدوري ومكعب نصف القطر المداريّ لأي كوكبين تدور حول نفس النجم هي نسبة ثابتة. رياضياً، يمكن التعبير عنه بأن قيمة $$\frac{T^2}{r^3}$$ يجب أن تكون متساوية تقريباً لجميع الكواكب التي تدور حول نفس النجم.
3. **الخطوة 3 (الحساب):** لنحسب قيمة $$\frac{T^2}{r^3}$$ لكل كوكب: - للكوكب B: $$\frac{(4.6170)^2}{(0.059)^3} = \frac{21.317}{0.000205} \approx 1.04 \times 10^5$$ (بوحدة يوم²/AU³) - للكوكب C: $$\frac{(241.5)^2}{(0.829)^3} = \frac{58322.25}{0.569} \approx 1.02 \times 10^5$$ - للكوكب D: $$\frac{(1284)^2}{(2.53)^3} = \frac{1648656}{16.19} \approx 1.02 \times 10^5$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بعد الحساب، نجد أن قيم $$\frac{T^2}{r^3}$$ للكواكب الثلاثة متقاربة جداً (حوالي 1.02 × 10⁵ إلى 1.04 × 10⁵). هذا يعني أن الكواكب تحقق القانون الثالث لكبلر تقريباً. الاختلاف الطفيف قد يعود إلى عوامل مثل دقة القياسات أو تأثيرات الجاذبية بين الكواكب نفسها. إذن الإجابة هي: **نعم، تقريباً**.

سؤال 2: 2. أوجد كتلة النجم Upsilon بدلالة كتلة الشمس.

الإجابة: $M_{Upsilon} \approx 1.30 M_{\odot}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن القانون الثالث لكبلر في صيغته العامة، عندما نربط بين حركة كوكب حول نجم وحركة الأرض حول الشمس، يعطينا علاقة لكتلة النجم. الصيغة هي: $$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$ حيث T هو الزمن الدوري، r هو نصف القطر المداري، G هو ثابت الجذب العام، و M هي كتلة النجم المركزي. لحساب كتلة النجم Upsilon بدلالة كتلة الشمس، نستخدم صيغة مقارنة مع النظام الشمسي.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نعلم أن للأرض حول الشمس: T_E = 365.25 يوم، r_E = 1.00 AU. لنأخذ أحد كواكب النجم Upsilon، مثل الكوكب C لأنه يعطي قيمة متوسطة جيدة. من السؤال السابق، للكوكب C: $$\frac{T_C^2}{r_C^3} \approx 1.02 \times 10^5$$ (بوحدة يوم²/AU³) للأرض حول الشمس: $$\frac{T_E^2}{r_E^3} = \frac{(365.25)^2}{(1.00)^3} = 133407.56$$ (بوحدة يوم²/AU³) نسبة هاتين القيمتين تعطينا نسبة كتلتي النجمين، لأن $$\frac{T^2}{r^3}$$ يتناسب عكسياً مع كتلة النجم M. بالتحديد: $$\frac{M_{\text{Upsilon}}}{M_{\odot}} = \frac{(T_E^2 / r_E^3)}{(T_C^2 / r_C^3)}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$\frac{M_{\text{Upsilon}}}{M_{\odot}} = \frac{133407.56}{1.02 \times 10^5}$$ $$\frac{M_{\text{Upsilon}}}{M_{\odot}} \approx 1.307$$ هذا يعني أن كتلة النجم Upsilon أكبر بنحو 1.307 مرة من كتلة الشمس.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن كتلة النجم Upsilon بدلالة كتلة الشمس هي: $$M_{\text{Upsilon}} \approx 1.30 M_{\odot}$$

ما نص القانون الثالث لكبلر لحركة الكواكب؟

• أ) يتناسب مربع الزمن الدوري عكسياً مع مربع المسافة الفاصلة بين مراكز الأجسام.
• ب) يتناسب الزمن الدوري طردياً مع المسافة الفاصلة بين مراكز الأجسام.
• ج) يتناسب مربع الزمن الدوري طردياً مع مكعب المسافة الفاصلة بين مراكز الأجسام.
• د) يتناسب مكعب الزمن الدوري طردياً مع مربع المسافة الفاصلة بين مراكز الأجسام.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يتناسب مربع الزمن الدوري طردياً مع مكعب المسافة الفاصلة بين مراكز الأجسام.

الشرح: 1. القانون الثالث لكبلر يصف حركة الكواكب حول نجم. 2. ينص على وجود علاقة ثابتة بين مربع زمن الدورة (T²) ومكعب نصف قطر المدار (r³). 3. رياضياً: T² ∝ r³، أي كلما زادت المسافة، زاد الزمن الدوري بشكل غير خطي.

تلميح: فكر في العلاقة بين الزمن اللازم لدورة كاملة والمسافة عن النجم المركزي.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الصيغة الرياضية التي تعبر عن القانون الثالث لكبلر المستنتجة من قانون نيوتن للجذب الكوني؟

• أ) T = 2π √(r³ / (G M_s))
• ب) F = G M m / r²
• ج) T² = (4π² / (G M_s)) * r³
• د) a_c = v² / r = 4π² r / T²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: T² = (4π² / (G M_s)) * r³

الشرح: 1. اشتق نيوتن القانون من مساواة قوة الجذب العام بالقوة المركزية. 2. الصيغة: G M m / r² = m (4π² r / T²). 3. بتبسيط الكتلة m وإعادة الترتيب، نحصل على: T² = (4π² / (G M)) r³.

تلميح: تذكر أن القانون يربط بين الزمن الدوري T، نصف القطر r، وكتلة الجسم المركزي M_s.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

كيف يمكن التحقق عملياً من صحة القانون الثالث لكبلر لمجموعة كواكب؟

• أ) بحساب النسبة T/r² لكل كوكب ومقارنتها.
• ب) بحساب النسبة T²/r³ لكل كوكب، فإذا كانت متساوية تقريباً، فإنها تحقق القانون.
• ج) بمقارنة كتل الكواكب مع بعضها البعض.
• د) برسم مدار كل كوكب والتحقق من أنه دائري تماماً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: بحساب النسبة T²/r³ لكل كوكب، فإذا كانت متساوية تقريباً، فإنها تحقق القانون.

الشرح: 1. القانون الثالث ينص أن T²/r³ ثابت لكل الكواكب حول نفس النجم. 2. للتحقق: نأخذ بيانات كل كوكب (نصف القطر r والزمن الدوري T). 3. نحسب قيمة T²/r³ لكل كوكب. 4. إذا كانت القيم متقاربة، فهذا يؤكد صحة القانون (مع وجود هامش خطأ قياس).

تلميح: ما الكمية التي يجب أن تكون ثابتة لجميع الكواكب التي تدور حول نفس النجم؟

التصنيف: خطوات | المستوى: متوسط

إذا علمت أن كوكبين يدوران حول نفس النجم، وكانت نسبة (T²/r³) للكوكب الأول ضعف نسبتها للكوكب الثاني، فماذا يعني ذلك؟

• أ) أن كتلة الكوكب الأول ضعف كتلة الكوكب الثاني.
• ب) أن مدار الكوكب الأول إهليلجي بينما مدار الثاني دائري.
• ج) هذا مستحيل نظرياً إذا كانا يدوران حول نفس النجم، لأن النسبة T²/r³ يجب أن تكون ثابتة.
• د) أن النجم المركزي تغيرت كتلته بين فترة رصد الكوكبين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هذا مستحيل نظرياً إذا كانا يدوران حول نفس النجم، لأن النسبة T²/r³ يجب أن تكون ثابتة.

الشرح: 1. حسب القانون الثالث لكبلر، النسبة T²/r³ ثابتة لجميع الكواكب حول نفس النجم. 2. إذا اختلفت هذه النسبة بشكل كبير بين كوكبين، فهذا يعني إما: - خطأ في القياسات. - أن الكوكبين لا يدوران حول نفس النجم. - وجود قوى مؤثرة أخرى (مثل كواكب كبيرة قريبة). 3. النتيجة: في النظام المثالي، هذا الاختلاف الكبير غير ممكن.

تلميح: تذكر الاستنتاج الرئيسي من القانون الثالث لكبلر.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب