تحقق من فهمك 1: إيجاد قيم Z والاحتمالات باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 | المادة: الإحصاء | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: تحقق من فهمك 1: أمثلة على استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 | المادة: الإحصاء | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: example

مستوى الصعوبة: متوسط

📝 ملخص الصفحة

تقدم هذه الصفحة أمثلة عملية لاستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري في إيجاد قيم Z والاحتمالات المرتبطة بها. في المثال الأول، يتم إيجاد قيمة Z المقابلة لاحتمال تراكمي معين (0.9850) من خلال البحث في الجدول للقيم الموجبة، حيث يتم تحديد Z كـ 2.17. في المثال الثاني، يتم إيجاد قيمة Z لاحتمال أكبر من قيمة معينة (0.6628) عن طريق تحويله إلى احتمال تراكمي (0.3372) والبحث في الجدول للقيم السالبة، مما يؤدي إلى Z = -0.42.

تتضمن الصفحة رسومًا بيانية توضيحية لمنحنى التوزيع الطبيعي المعياري، حيث تُظهر المنحنيات المساحات المظللة التي تمثل الاحتمالات المحددة، مما يساعد في فهم العلاقة بين قيم Z والاحتمالات المرتبطة بها. هذه الأمثلة تعزز مهارات الطلاب في استخدام الجداول الإحصائية وتطبيق مفاهيم التوزيع الطبيعي في حل المسائل.

تُظهر الصفحة أهمية فهم كيفية تحويل الاحتمالات بين الصيغ المختلفة (مثل P(Z < z) و P(Z > z)) واستخدام الجداول المناسبة للقيم الموجبة والسالبة. هذا المحتوى يعد جزءًا من تعلم الإحصاء والاحتمالات في المناهج التعليمية السعودية.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

تحقق من فهمك 1

نوع: QUESTION

باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري المرفق في الملحق، أوجد كلاً من:

مثال 2

نوع: QUESTION

أوجد قيمة Z إذا كانت:

الحل

نوع: محتوى تعليمي

أ. إيجاد قيمة Z من خلال البحث داخل الجدول الطبيعي المعياري للقيم الموجبة (الجدول المرفق 1 في الملحق) عن احتمال 0.9850، فإنها تقع عند تقاطع الصف 2.1 مع العمود الأول 0.07، فتكون 2.17 = Z، كما في الشكل المجاور: ب. إيجاد قيمة الاحتمال الأقل من 0.6628 بطرحها من الواحد لإيجاد الاحتمال يسار قيمة Z. المساحة أقل من Z = 1 - نسبة المساحة أكبر من Z P(Z < z) = 1 - P(Z > z) 0.6628 = 1 - P(Z < z) P(Z < z) = 1 - 0.6628 = 0.3372 ثم لإيجاد قيمة Z لابد من البحث داخل الجدول الطبيعي المعياري للقيم السالبة (الجدول المرفق 2 في الملحق) عن 0.3372، فإنها تقع عند تقاطع الصف 0.4- مع العمود الأول 0.02 فتكون 0.42- = Z، كما في الشكل المجاور.

نوع: NON_EDUCATIONAL

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445

نوع: NON_EDUCATIONAL

172

🔍 عناصر مرئية

منحنى التوزيع الطبيعي المعياري لـ P(Z < z) = 0.9850

A bell-shaped curve representing a standard normal distribution. A vertical line is drawn at the Z-score of 2.17 on the x-axis. The area to the left of this vertical line is shaded in red, representing the cumulative probability P(Z < 2.17). The value of this shaded area is explicitly indicated as 0.9850, written above the shaded region.

منحنى التوزيع الطبيعي المعياري لـ P(Z > z) = 0.6628

A bell-shaped curve representing a standard normal distribution. A vertical line is drawn at the Z-score of -0.42 on the x-axis. The area to the right of this vertical line is shaded in red, representing the probability P(Z > -0.42). The value of this shaded area is explicitly indicated as 0.6628, written above the shaded region.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تحقق من فهمك 1 --- باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري المرفق في الملحق، أوجد كلاً من: --- SECTION: مثال 2 --- أوجد قيمة Z إذا كانت: --- SECTION: الحل --- أ. إيجاد قيمة Z من خلال البحث داخل الجدول الطبيعي المعياري للقيم الموجبة (الجدول المرفق 1 في الملحق) عن احتمال 0.9850، فإنها تقع عند تقاطع الصف 2.1 مع العمود الأول 0.07، فتكون 2.17 = Z، كما في الشكل المجاور: ب. إيجاد قيمة الاحتمال الأقل من 0.6628 بطرحها من الواحد لإيجاد الاحتمال يسار قيمة Z. المساحة أقل من Z = 1 - نسبة المساحة أكبر من Z P(Z < z) = 1 - P(Z > z) 0.6628 = 1 - P(Z < z) P(Z < z) = 1 - 0.6628 = 0.3372 ثم لإيجاد قيمة Z لابد من البحث داخل الجدول الطبيعي المعياري للقيم السالبة (الجدول المرفق 2 في الملحق) عن 0.3372، فإنها تقع عند تقاطع الصف 0.4- مع العمود الأول 0.02 فتكون 0.42- = Z، كما في الشكل المجاور. وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 172 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: منحنى التوزيع الطبيعي المعياري لـ P(Z < z) = 0.9850 Description: A bell-shaped curve representing a standard normal distribution. A vertical line is drawn at the Z-score of 2.17 on the x-axis. The area to the left of this vertical line is shaded in red, representing the cumulative probability P(Z < 2.17). The value of this shaded area is explicitly indicated as 0.9850, written above the shaded region. X-axis: Z-score Y-axis: Probability Density Data: The graph visually represents the cumulative probability of 0.9850 for a Z-score of 2.17 in a standard normal distribution. Key Values: Z = 2.17, P(Z < 2.17) = 0.9850 Context: This graph illustrates the solution for finding the Z-score when the area to the left (cumulative probability) is given as 0.9850, showing Z = 2.17. (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: منحنى التوزيع الطبيعي المعياري لـ P(Z > z) = 0.6628 Description: A bell-shaped curve representing a standard normal distribution. A vertical line is drawn at the Z-score of -0.42 on the x-axis. The area to the right of this vertical line is shaded in red, representing the probability P(Z > -0.42). The value of this shaded area is explicitly indicated as 0.6628, written above the shaded region. X-axis: Z-score Y-axis: Probability Density Data: The graph visually represents the right-tail probability of 0.6628 for a Z-score of -0.42 in a standard normal distribution. Key Values: Z = -0.42, P(Z > -0.42) = 0.6628 Context: This graph illustrates the solution for finding the Z-score when the area to the right (right-tail probability) is given as 0.6628, showing Z = -0.42 after converting to a left-tail probability. (Note: Some details are estimated)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال س1: ١. نسبة المساحة أقل من Z = 1.17. P(Z < 1.17)

الإجابة: س1: P(Z < 1.17) = 0.8790

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا متغير عشوائي Z يتبع التوزيع الطبيعي المعياري (متوسط = 0، انحراف معياري = 1). - المطلوب هو إيجاد نسبة المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري إلى يسار القيمة Z = 1.17. وهذا يمثل الاحتمال P(Z < 1.17).
  2. **الخطوة 2 (القانون/الأداة):** نستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري (جدول Z). هذا الجدول يعطي عادةً المساحة (الاحتمال) من المتوسط (صفر) إلى قيمة Z موجبة معينة. أي أنه يعطي P(0 < Z < z). لإيجاد P(Z < z) لقيمة z موجبة، نستخدم العلاقة: $$P(Z < z) = 0.5 + P(0 < Z < z)$$ حيث 0.5 تمثل المساحة من -∞ إلى المتوسط (صفر).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** 1. نبحث في جدول Z عن القيمة z = 1.17. 2. نجد أن المساحة من المتوسط (0) إلى z = 1.17 هي 0.3790. 3. نطبق العلاقة: $$P(Z < 1.17) = 0.5 + 0.3790 = 0.8790$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، نسبة المساحة تحت المنحنى إلى يسار Z = 1.17، أي الاحتمال P(Z < 1.17)، تساوي **0.8790**.

سؤال س2: ٢. نسبة المساحة أكبر من 0.50- = Z. P(Z > -0.50)

الإجابة: س2: P(Z > -0.50) = 0.6915

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا متغير عشوائي Z يتبع التوزيع الطبيعي المعياري (متوسط = 0، انحراف معياري = 1). - المطلوب هو إيجاد نسبة المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري إلى يمين القيمة Z = -0.50. وهذا يمثل الاحتمال P(Z > -0.50).
  2. **الخطوة 2 (القانون/الأداة):** نستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري (جدول Z). بسبب تماثل منحنى التوزيع الطبيعي حول المتوسط (صفر)، فإن المساحة من المتوسط إلى قيمة z سالبة تساوي المساحة من المتوسط إلى القيمة الموجبة المقابلة لها. أي: $$P(0 < Z < |z|) = P(-|z| < Z < 0)$$ لإيجاد P(Z > z) لقيمة z سالبة، نستخدم العلاقة: $$P(Z > z) = P(Z < |z|)$$ حيث |z| هي القيمة المطلقة لـ z. و P(Z < |z|) يمكن إيجادها كما في السؤال الأول.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** 1. نبحث في جدول Z عن القيمة |z| = 0.50 (القيمة المطلقة لـ -0.50). 2. نجد أن المساحة من المتوسط (0) إلى z = 0.50 هي 0.1915. 3. نطبق العلاقة لإيجاد P(Z < 0.50): $$P(Z < 0.50) = 0.5 + 0.1915 = 0.6915$$ 4. وبما أن P(Z > -0.50) = P(Z < 0.50) بسبب التماثل، فإن: $$P(Z > -0.50) = 0.6915$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، نسبة المساحة تحت المنحنى إلى يمين Z = -0.50، أي الاحتمال P(Z > -0.50)، تساوي **0.6915**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الخطوات المتبعة لإيجاد قيمة Z عندما يكون الاحتمال P(Z < z) معطى (مثل 0.9850)؟

الإجابة: 1. البحث داخل جدول التوزيع الطبيعي المعياري للقيم الموجبة (الجدول المرفق 1) عن قيمة الاحتمال المعطى (0.9850). 2. تحديد موقع القيمة عند تقاطع الصف والعمود المناسبين. 3. تكون قيمة Z هي مجموع قيمة الصف والعمود (مثال: 2.1 + 0.07 = 2.17).

الشرح: هذه هي الطريقة القياسية للعثور على Z-score المقابل لاحتمال تراكمي (مساحة يسار المنحنى) معطى في التوزيع الطبيعي المعياري.

تلميح: فكر في أن العملية تعتمد على البحث في جدول محدد للقيم الموجبة واستخراج القيمة من تقاطع صف وعمود.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الخطوات المتبعة لإيجاد قيمة Z عندما يكون الاحتمال P(Z > z) معطى (مثل 0.6628)؟

الإجابة: 1. تحويل الاحتمال المعطى (P(Z > z)) إلى الاحتمال التراكمي الأيسر باستخدام العلاقة: P(Z < z) = 1 - P(Z > z). 2. البحث داخل جدول التوزيع الطبيعي المعياري للقيم السالبة (الجدول المرفق 2) عن قيمة الاحتمال التراكمي المحسوب (0.3372). 3. تحديد موقع القيمة عند تقاطع الصف والعمود المناسبين. 4. تكون قيمة Z هي مجموع قيمة الصف والعمود مع الإشارة السالبة (مثال: -0.4 + -0.02 = -0.42).

الشرح: عندما يُعطى احتمال الذيل الأيمن (P(Z > z))، يجب أولاً تحويله إلى احتمال تراكمي أيسر لأن الجداول مصممة عادة لإعطاء P(Z < z). ثم نستخدم جدول القيم السالبة لأن Z ستكون سالبة في هذه الحالة.

تلميح: تذكر أنك تحتاج أولاً إلى قلب نوع المساحة (من أكبر من إلى أقل من) قبل البحث في الجدول المناسب.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

ما العلاقة الرياضية بين P(Z < z) و P(Z > z) في التوزيع الطبيعي المعياري؟

الإجابة: P(Z < z) = 1 - P(Z > z)، والعكس صحيح: P(Z > z) = 1 - P(Z < z).

الشرح: نظرًا لأن المساحة الكلية تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوي واحدًا (تمثل احتمالًا بنسبة 100٪)، فإن المساحة على يسار نقطة معينة (P(Z < z)) والمساحة على يمينها (P(Z > z)) يجب أن يكون مجموعهما 1.

تلميح: فكر في أن المساحة الكلية تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوي 1.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما الفرق بين استخدام 'جدول التوزيع الطبيعي المعياري للقيم الموجبة' و'جدول القيم السالبة' عند إيجاد قيمة Z؟

الإجابة: يُستخدم جدول القيم الموجبة (الجدول المرفق 1) عندما نبحث عن قيمة Z موجبة أو عندما يكون الاحتمال التراكمي P(Z < z) أكبر من 0.5. بينما يُستخدم جدول القيم السالبة (الجدول المرفق 2) عندما نبحث عن قيمة Z سالبة أو عندما يكون الاحتمال التراكمي P(Z < z) أقل من 0.5.

الشرح: هذا التقسيم في الجداول يسهل عملية البحث. القيم الموجبة والاحتمالات الكبيرة (>0.5) في جدول، والقيم السالبة والاحتمالات الصغيرة (<0.5) في جدول آخر، مما يجعل القراءة أكثر دقة وسهولة.

تلميح: اربط بين إشارة Z وحجم الاحتمال التراكمي (أقل من أو أكبر من 0.5).

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط