تمارين في الاحتمالات والتوزيعات الإحصائية - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال 6: في إحدى المدن الصغيرة وجد أن أعلى درجة حرارة مسجلة يوميًا - خلال فصل الربيع - متوسطها 20°C بانحراف معياري 5°C. بفرض أن المتغير العشوائي X (أعلى درجة حرارة يوميًا) يخضع للتوزيع الطبيعي، أوجد الاحتمال للأيام التي تكون أعلى درجة حرارة فيها: a. تتراوح بين 22°C و 26°C b. على الأقل 28°C

الإجابة: P(22 ≤ X ≤ 26) = P(0.4 ≤ Z ≤ 1.2) = Φ(1.2) − Φ(0.4) = 0.8849 − 0.6554 = 0.2295 (a) P(X ≥ 28) = P(Z ≥ 1.6) = 1 − Φ(1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548 (b)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - المتوسط الحسابي (μ) = 20°C - الانحراف المعياري (σ) = 5°C - المتغير العشوائي X (أعلى درجة حرارة يوميًا) يتبع التوزيع الطبيعي.
2. **الخطوة 2 (تحويل القيم إلى قيم Z المعيارية):** نستخدم الصيغة: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ لتحويل أي قيمة X إلى قيمة Z في التوزيع الطبيعي المعياري (متوسطه 0 وانحرافه 1). **للجزء (a):** - عندما X = 22°C: $$Z = \frac{22 - 20}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$$ - عندما X = 26°C: $$Z = \frac{26 - 20}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$$ **للجزء (b):** - عندما X = 28°C: $$Z = \frac{28 - 20}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$$
3. **الخطوة 3 (استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري):** نستخدم جدول قيم دالة التوزيع التراكمي Φ(Z) للقيم Z. **للجزء (a):** نريد P(22 ≤ X ≤ 26) = P(0.4 ≤ Z ≤ 1.2). من الجدول: - Φ(1.2) ≈ 0.8849 - Φ(0.4) ≈ 0.6554 إذن: P(0.4 ≤ Z ≤ 1.2) = Φ(1.2) − Φ(0.4) = 0.8849 − 0.6554 = **0.2295** **للجزء (b):** نريد P(X ≥ 28) = P(Z ≥ 1.6). من الجدول: Φ(1.6) ≈ 0.9452 بما أن P(Z ≥ 1.6) = 1 − P(Z < 1.6) = 1 − Φ(1.6) إذن: P(Z ≥ 1.6) = 1 − 0.9452 = **0.0548**
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمالات هي: - (a) احتمال أن تكون درجة الحرارة بين 22°C و 26°C = **0.2295** - (b) احتمال أن تكون درجة الحرارة على الأقل 28°C = **0.0548**

سؤال 7: إذا أجري استفتاء لمستخدمي شبكة الاتصالات في مدينة الجوف؛ حول البدء بتقديم خدمات الجيل الخامس لسكان المدينة مقابل رسوم إضافية، فأجاب 68% منهم بالموافقة، ورفض 20% وامتنع البقية عن التصويت. فهل يخضع هذا الاستفتاء لتوزيع ذي الحدين؟ فسر إجابتك.

الإجابة: لا؛ لا يخضع لتوزيع ذي الحدين؛ لأن نتائج الاستجابة ليست نتيجتين فقط، بل ثلاث (موافقة/رفض/امتناع)، بينما توزيع ذي الحدين يتطلب نتيجتين فقط لكل تجربة.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال: توزيع ذي الحدين هو توزيع احتمالي يستخدم في تجارب لها نتيجتان فقط (مثل: نجاح/فشل، موافقة/رفض) في كل محاولة مستقلة. في هذا الاستفتاء، كانت النتائج ثلاث: موافقة (68%)، رفض (20%)، امتناع (12% لأن البقية امتنعت). بما أن هناك ثلاث نتائج محتملة وليست نتيجتين فقط، فهذا لا يلبي شرط توزيع ذي الحدين الأساسي. إذن الإجابة هي: **لا، لا يخضع لتوزيع ذي الحدين؛ لأن نتائج الاستفتاء ليست نتيجتين فقط بل ثلاث (موافقة/رفض/امتناع)، بينما توزيع ذي الحدين يتطلب نتيجتين فقط لكل تجربة.**

سؤال 8: إذا كان المتوسط الحسابي لتلف عدد من آلات التصوير هو ثلاث آلات في المستودع الواحد؛ احسب: a. احتمال عدم حدوث تلف. b. احتمال حدوث تلفين. c. احتمال حدوث تلفين على الأقل. تنبيه: استخدم مسلمة الاحتمال الآتية: P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – (P(X = 0) + P(X = 1))

الإجابة: P(X = 0) = e^{-3}3^0 / 0! = e^{-3} ≈ 0.0498 (a) P(X = 2) = e^{-3}3^2 / 2! = 9/2 e^{-3} ≈ 0.2240 (b) P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 − [e^{-3} + e^{-3}3^1/1!] = 1 − (e^{-3} + 3e^{-3}) = 1 − 4e^{-3} ≈ 0.8009 (c)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والقانون):** لنحدد ما لدينا: - متوسط عدد آلات التصوير المتلفة في المستودع (λ) = 3 - نستخدم توزيع بواسون لحساب الاحتمالات، حيث: $$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$ حيث k هو عدد مرات حدوث التلف.
2. **الخطوة 2 (الحساب للجزء a و b):** **الجزء (a):** احتمال عدم حدوث تلف، أي k = 0. $$P(X = 0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} = e^{-3} \approx 0.0498$$ **الجزء (b):** احتمال حدوث تلفين، أي k = 2. $$P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3} \approx 0.2240$$
3. **الخطوة 3 (الحساب للجزء c):** **الجزء (c):** احتمال حدوث تلفين على الأقل، أي P(X ≥ 2). باستخدام المسلمة المعطاة: P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)] نحتاج أولاً P(X = 1): $$P(X = 1) = \frac{e^{-3} \cdot 3^1}{1!} = 3e^{-3}$$ إذن: P(X ≥ 2) = 1 – [e^{-3} + 3e^{-3}] = 1 – 4e^{-3} ≈ 1 – 4 × 0.0498 ≈ 1 – 0.1992 = **0.8008** (تقريباً 0.8009 مع دقة أكثر في e^{-3})
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمالات هي: - (a) احتمال عدم حدوث تلف ≈ **0.0498** - (b) احتمال حدوث تلفين ≈ **0.2240** - (c) احتمال حدوث تلفين على الأقل ≈ **0.8009**

في مسألة التوزيع الطبيعي لدرجات الحرارة (متوسط 20°C، انحراف معياري 5°C)، ما هي الخطوات العامة المطلوبة لإيجاد الاحتمال؟

الإجابة: 1. تحديد القيمة Z باستخدام الصيغة Z = (X - μ) / σ. 2. استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد المساحة تحت المنحنى المقابلة لقيمة Z. 3. تفسير المساحة على أنها الاحتمال المطلوب.

الشرح: التوزيع الطبيعي يتطلب تحويل البيانات إلى توزيع طبيعي معياري (متوسط 0، انحراف معياري 1) باستخدام صيغة Z-score، ثم البحث عن الاحتمال في الجدول.

تلميح: تذكر أن تحويل القيمة الأصلية إلى قيمة معيارية هو الخطوة الأولى لحل مسائل التوزيع الطبيعي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

هل يخفض استفتاء مستخدمي شبكة الاتصالات (68% موافق، 20% رافض، البقية ممتنع) لتوزيع ذي الحدين؟ فسر.

الإجابة: لا، لا يخضع لتوزيع ذي الحدين. لأن توزيع ذي الحدين يتطلب نتيجتين فقط (نجاح/فشل)، بينما هذه التجربة لها ثلاث نتائج (موافق، رافض، ممتنع).

الشرح: من شروط التجربة ذات الحدين أن يكون لها نتيجتان فقط متبادلتان (مثل: نجاح/فشل، موافق/رفض). وجود فئة ثالثة (الامتناع عن التصويت) يخرق هذا الشرط.

تلميح: راجع شروط تطبيق التوزيع الاحتمالي ذي الحدين، خاصة شرط عدد النتائج الممكنة.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط

ما هو التوزيع الاحتمالي المناسب لنمذجة عدد آلات التصوير التالفة في المستودع إذا كان متوسط التلف ثلاث آلات؟

الإجابة: التوزيع المناسب هو توزيع بواسون، حيث يستخدم لنمذجة عدد الأحداث النادرة في فترة زمنية أو مساحة محددة، ومعلوم متوسط معدل الحدوث (λ = 3).

الشرح: توزيع بواسون يستخدم عندما نعدّ عدد مرات حدوث حدث ما في فترة زمنية أو مكان معين، ويكون متوسط معدل الحدوث (λ) معروفاً، كما في حالة معدل تلف الآلات.

تلميح: فكر في التوزيعات الاحتمالية المناسبة للأحداث التي تُعدّ (مثل عدد الأعطال) عندما يكون المتوسط معروفاً.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب