تحقق من فهمك 2 ومثال 3 في التوزيع الطبيعي - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال تحقق من فهمك 2: باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري أوجد نسبة المساحة الأقل من Z والتي تساوي 0.9357.

الإجابة: Z ≈ 1.52

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا نسبة المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري (المساحة التراكمية) التي نريد معرفة قيمتها Z. - هذه النسبة معطاة وتساوي: 0.9357.
2. **الخطوة 2 (الفكرة):** نستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري (جدول Z). هذا الجدول عادةً يعطينا المساحة التراكمية (أي نسبة المساحة) من أقصى اليسار (من سالب مالانهاية) حتى قيمة Z معينة. إذن، مهمتنا هي البحث داخل هذا الجدول عن القيمة 0.9357 (أو أقرب قيمة لها) لمعرفة قيمة Z المقابلة.
3. **الخطوة 3 (الحل باستخدام الجدول):** نبحث في جدول Z عن القيمة 0.9357 في جسم الجدول (الذي يمثل المساحات). عند البحث، نجد أن القيمة 0.9357 تقع بين القيمتين 0.9345 و 0.9357 في الجدول. القيمة 0.9357 نفسها موجودة في الصف الذي قيمته Z = 1.52. (تفسير: في الجدول، الصف 1.5 والعمود 0.02 يعطيان معاً Z = 1.52، والمساحة المقابلة هي 0.9357).
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قيمة Z التي تكون نسبة المساحة الأقل منها تساوي 0.9357 هي: **Z ≈ 1.52**

سؤال تحقق من فهمك 3: 1. من المثال (3) كم عدد الطلاب الحاصلين على درجة 90 فأعلى في المقرر؟ 2. كم عدد الطلاب الناجحين في المقرر؟

الإجابة: P(X ≥ 90) = 1 - Φ(2.25) = 1 - 0.9878 = 0.0122 ⇒ العدد ≈ 0.0122 × 600 = 7.32 ≈ 7 طالب. نسبة الناجحين = 1 - 0.0668 = 0.9332 ⇒ العدد ≈ 0.9332 × 600 = 559.92 ≈ 560 طالب.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والفهم من المثال 3):** لنفهم السؤال بناءً على المثال (3). نفترض أن المثال أعطانا: - متوسط درجات المقرر (μ) وانحرافه المعياري (σ). - العدد الكلي للطلاب = 600 طالب. - التوزيع طبيعي. من الإجابة، نستنتج أن: 1. لحساب عدد الطلاب الحاصلين على 90 فأعلى، تم تحويل 90 إلى قيمة Z معيارية. لنفترض أن الحساب أعطى Z = 2.25. 2. نسبة الناجحين مرتبطة باحتمال آخر (Z مختلف).
2. **الخطوة 2 (حساب عدد الطلاب الحاصلين على 90 فأعلى):** نسبة الطلاب الحاصلين على 90 فأعلى = P(X ≥ 90). باستخدام جدول Z: P(X ≥ 90) = 1 - P(X < 90) = 1 - Φ(2.25) حيث Φ(2.25) هي المساحة التراكمية حتى Z=2.25. من جدول Z، Φ(2.25) ≈ 0.9878. إذن: P(X ≥ 90) = 1 - 0.9878 = 0.0122. العدد = النسبة × العدد الكلي للطلاب = 0.0122 × 600 = 7.32 بالتقريب لأقرب عدد صحيح (لأننا نحصي طلاباً): **≈ 7 طلاب**.
3. **الخطوة 3 (حساب عدد الطلاب الناجحين):** نسبة الناجحين معطاة في الإجابة بأنها = 1 - 0.0668 = 0.9332. (نفترض أن 0.0668 هي نسبة الراسبين، P(X < درجة النجاح)). العدد = النسبة × العدد الكلي = 0.9332 × 600 = 559.92 بالتقريب لأقرب عدد صحيح: **≈ 560 طالب**.

كيف تحسب النسبة المئوية للطلاب الذين تقع درجاتهم بين قيمتين (مثل 62 و 78) في توزيع طبيعي بمتوسط 72 وانحراف معياري 8؟

الإجابة: 1. تحويل القيمتين إلى قيم Z باستخدام الصيغة Z = (X - μ) / σ. 2. إيجاد المساحة تحت المنحنى لكل قيمة Z باستخدام جدول التوزيع الطبيعي. 3. طرح المساحة الأصغر من المساحة الأكبر. P(62 < X < 78) = P(Z < 0.75) - P(Z < -1.25) = 0.7734 - 0.1056 = 0.6678 أو 66.78%.

الشرح: هذه هي الخطوات الأساسية لحساب الاحتمال (أو النسبة المئوية) لقيم تقع ضمن نطاق محدد في التوزيع الطبيعي، وهي تطبيق مباشر لتحويل Z واستخدام جدول المساحات.

تلميح: تذكر أن الخطوة الأولى هي تحويل الدرجات الخام إلى درجات معيارية (Z-scores).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

كيف تحسب عدد الطلاب الراسبين إذا كانت درجة النجاح 60 في توزيع طبيعي بمتوسط 72 وانحراف معياري 8 وعدد الطلاب 600؟

الإجابة: 1. تحويل درجة النجاح إلى قيمة Z: Z = (60 - 72) / 8 = -1.5. 2. إيجاد احتمال الحصول على درجة أقل من 60: P(Z < -1.5) = 1 - P(Z < 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668. 3. ضرب الاحتمال في العدد الإجمالي للطلاب: 0.0668 × 600 = 40.08 ≈ 40 طالبًا راسبًا.

الشرح: هذا الإجراء يجمع بين حساب الاحتمال باستخدام التوزيع الطبيعي المعياري وتطبيقه على مجتمع معروف العدد للحصول على تقدير للعدد الفعلي.

تلميح: فكر في أن الراسبين هم من حصلوا على درجة أقل من الحد الأدنى للنجاح. استخدم خاصية تماثل التوزيع الطبيعي لإيجاد P(Z < -1.5).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي خطوات حل مسألة تطبيقية على التوزيع الطبيعي تتضمن إيجاد عدد أفراد ضمن فئة معينة؟

الإجابة: 1. تحديد المعطيات: المتوسط (μ)، الانحراف المعياري (σ)، العدد الكلي (N)، والقيمة/القيم الحدية للمجموعة المستهدفة. 2. تحويل القيمة/القيم الحدية إلى قيم Z. 3. استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد الاحتمال (النسبة) المطلوبة. 4. تحويل الاحتمال إلى عدد أفراد بالضرب في العدد الكلي: العدد = الاحتمال × N.

الشرح: هذا الملخص يوضح المسار العام لحل أي مسألة مشابهة، مما يساعد على تنظيم التفكير وتطبيق المفهوم على سيناريوهات مختلفة.

تلميح: ركز على التسلسل المنطقي: من القيمة الخام إلى Z، ثم إلى الاحتمال، وأخيرًا إلى العدد.

التصنيف: ملخص | المستوى: متوسط

في التوزيع الطبيعي، إذا كانت P(Z < k) = 0.9357، كيف تستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد قيمة k؟

الإجابة: أبحث داخل جدول المساحات (التراكمية) للتوزيع الطبيعي المعياري عن القيمة 0.9357 أو أقرب قيمة لها. ثم أقرأ قيمة Z المقابلة لها في رؤوس الأعمدة والصفوف. في هذا الجدول، القيمة 0.9357 تقابل Z ≈ 1.52.

الشرح: هذا سؤال يختبر فهم الاستخدام العكسي لجدول Z، وهو مهارة أساسية في الإحصاء لحساب القيم الحدية عند معرفة الاحتمال.

تلميح: تذكر أن جدول Z يعطي عادة المساحة (الاحتمال) على يسار قيمة Z معينة. أنت تبحث عن العملية العكسية.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: صعب