التوزيع الطبيعي والتوزيع الطبيعي المعياري - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

التوزيع الطبيعي (Normal Distribution)

هو عبارة عن معادلة رياضية تحد المنحنى، وتعطى صيغة هذه المعادلة بالشكل الآتي:

f(x) = (1 / (√(2πσ²))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²)) ; -∞ < x < ∞ ; σ > 0 , -∞ < μ < ∞

حيث (μ) يمثل المتوسط الحسابي للتوزيع وهو قيمة X المناظرة للقيمة العظمى على المنحنى، أما (σ²) يمثل التباين ومدى انتشار البيانات في التوزيع. ويوضح الشكل المجاور أثر المتوسط الحسابي والتباين على شكل منحنى التوزيع الطبيعي.

يمكن تسهيل حساب الاحتمال في التوزيع الطبيعي، من خلال تحويله إلى توزيع طبيعي معياري باستخدام جداول خاصة.

التوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution)

التوزيع الذي يكون متوسطه الحسابي صفر، وتباينه واحد.

نظرية:

إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X هو التوزيع الطبيعي بمتوسط حسابي μ وتباين σ²، فإنه باستخدام صيغة التحويل: Z = (X - μ) / σ يصبح التوزيع توزيعًا طبيعيًا معياريًا.

الجدول المرفق 1 و 2 في الملحق هو الجدول المستخدم في حساب الاحتمالات للتوزيع الطبيعي المعياري.

تحويل التوزيع الاحتمالي إلى توزيع طبيعي يمكن تحويل أي توزيع احتمالي إلى توزيع طبيعي من خلال معرفة الوسط الحسابي والتباين لهذا التوزيع أو البيانات؛ بحيث يكون متوسط وتباين التوزيع الطبيعي هو نفس المتوسط والتباين للتوزيع.

170

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447

--- SECTION: التوزيع الطبيعي (Normal Distribution) --- التوزيع الطبيعي (Normal Distribution) هو عبارة عن معادلة رياضية تحد المنحنى، وتعطى صيغة هذه المعادلة بالشكل الآتي: f(x) = (1 / (√(2πσ²))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²)) ; -∞ < x < ∞ ; σ > 0 , -∞ < μ < ∞ حيث (μ) يمثل المتوسط الحسابي للتوزيع وهو قيمة X المناظرة للقيمة العظمى على المنحنى، أما (σ²) يمثل التباين ومدى انتشار البيانات في التوزيع. ويوضح الشكل المجاور أثر المتوسط الحسابي والتباين على شكل منحنى التوزيع الطبيعي. يمكن تسهيل حساب الاحتمال في التوزيع الطبيعي، من خلال تحويله إلى توزيع طبيعي معياري باستخدام جداول خاصة. --- SECTION: التوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution) --- التوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution) التوزيع الذي يكون متوسطه الحسابي صفر، وتباينه واحد. --- SECTION: نظرية: --- نظرية: إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X هو التوزيع الطبيعي بمتوسط حسابي μ وتباين σ²، فإنه باستخدام صيغة التحويل: Z = (X - μ) / σ يصبح التوزيع توزيعًا طبيعيًا معياريًا. الجدول المرفق 1 و 2 في الملحق هو الجدول المستخدم في حساب الاحتمالات للتوزيع الطبيعي المعياري. --- SECTION: إثراء --- تحويل التوزيع الاحتمالي إلى توزيع طبيعي يمكن تحويل أي توزيع احتمالي إلى توزيع طبيعي من خلال معرفة الوسط الحسابي والتباين لهذا التوزيع أو البيانات؛ بحيث يكون متوسط وتباين التوزيع الطبيعي هو نفس المتوسط والتباين للتوزيع. 170 وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: أثر المتوسط الحسابي والتباين على شكل منحنى التوزيع الطبيعي Description: The graph displays four normal distribution curves, illustrating the effect of varying the mean (μ) and variance (σ²) on the shape and position of the distribution. All curves are symmetrical around their respective means and approach the x-axis asymptotically. X-axis: X Y-axis: φμ,σ(x) Data: Four normal distribution curves are plotted. The blue curve (μ=0, σ²=0.2) is the tallest and narrowest. The red curve (μ=0, σ²=1.0) is wider and shorter than the blue. The yellow curve (μ=0, σ²=5.0) is the widest and shortest. The green curve (μ=-2, σ²=0.5) is shifted to the left, centered at x=-2, with a height and width between the red and yellow curves. Key Values: Blue curve: μ=0, σ²=0.2, Red curve: μ=0, σ²=1.0, Yellow curve: μ=0, σ²=5.0, Green curve: μ=-2, σ²=0.5 Context: This graph visually demonstrates the properties of the normal distribution, showing how the mean (μ) shifts the center of the distribution and how the variance (σ²) affects the spread and height of the bell curve. A smaller variance results in a taller, narrower curve, while a larger variance results in a flatter, wider curve.