6. إذا كان احتمال انتشار فيروس معين في فصل الشتاء يساوي 35%، وكان لدينا 20 شخصًا يعملون في مقر واحد، فما احتمال أن يكون من بينهم ثلاثة أشخاص معرضين للإصابة بهذا الفيروس؟ وما احتمال أن يكون اثنان منهم - على الأكثر - معرضين للإصابة؟
هذا السؤال يتطلب تطبيق توزيع ذي الحدين. المعطيات: عدد المحاولات n = 20، احتمال النجاح (الإصابة) p = 0.35، احتمال الفشل q = 1 - p = 0.65.
* احتمال أن يكون ثلاثة أشخاص معرضين للإصابة (X = 3):
P(X=3) = C(20, 3) \times (0.35)^3 \times (0.65)^{17}
* احتمال أن يكون اثنان منهم على الأكثر معرضين للإصابة (X \le 2):
P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
= C(20, 0)(0.35)^0(0.65)^{20} + C(20, 1)(0.35)^1(0.65)^{19} + C(20, 2)(0.35)^2(0.65)^{18}
7. إذا كان احتمال معاناة شخص من ردة فعل سيئة عند حقنه بمصل معين هو 0.40:
أ) أوجد احتمال أن يكون ثلاثة أشخاص من بين 15 شخصًا سيحقنون بالمصل لهم ردة فعل سيئة.
المعطيات: n = 15، p = 0.40، q = 0.60.
P(X=3) = C(15, 3) \times (0.40)^3 \times (0.60)^{12}
ب) أوجد احتمال أن يكون أكثر من شخص من بين 15 شخصًا سيحقنون بالمصل لهم ردة فعل سيئة.
P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]
= 1 - [C(15,0)(0.40)^0(0.60)^{15} + C(15,1)(0.40)^1(0.60)^{14}]
ج) ما المتوسط الحسابي لردود الفعل السيئة.
للمتغير العشوائي ذي الحدين، المتوسط الحسابي (القيمة المتوقعة) هو:
\mu = n \times p = 15 \times 0.40 = 6
8. إذا علمت أن احتمال استصلاح أراض زراعية بجهود فردية من المزارعين خلال عام واحد يبلغ 0.6. فإذا كان لدينا 10 أراض زراعية، فما احتمال ما يأتي:
المعطيات: n = 10، p = 0.6، q = 0.4.
أ) استصلاح ثلاث أراض خلال عام (X = 3):
P(X=3) = C(10, 3) \times (0.6)^3 \times (0.4)^{7}
ب) استصلاح من 2 إلى 5 أراض خلال عام (2 \le X \le 5):
P(2 \le X \le 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
= \sum_{k=2}^{5} C(10, k) \times (0.6)^k \times (0.4)^{10-k}
ج) عدم استصلاح أي أرض منها خلال عام (X = 0):
P(X=0) = C(10, 0) \times (0.6)^0 \times (0.4)^{10} = (0.4)^{10}
9. إذا كان احتمال عدد الأشخاص في العالم الذين لديهم عيون بنفسجية يبلغ 0.001. فإذا كان لدينا 25 شخصًا، فما احتمال أن يكون من بينهم ثلاثة ذوو عيون بنفسجية اللون؟ وما احتمال أن يكون واحد منهم على الأقل ذا عين بنفسجية اللون؟
المعطيات: n = 25، p = 0.001، q = 0.999.
* احتمال أن يكون ثلاثة منهم ذوي عيون بنفسجية (X = 3):
P(X=3) = C(25, 3) \times (0.001)^3 \times (0.999)^{22}
* احتمال أن يكون واحد منهم على الأقل ذا عين بنفسجية (X \ge 1):
P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - [C(25, 0) \times (0.001)^0 \times (0.999)^{25}] = 1 - (0.999)^{25}
10. إذا كان المتوسط الحسابي لعدد الولادات في مستشفى الحرس الوطني ثلاث ولادات كل ساعة، فما احتمال أن يكون هناك:
هذا السؤال يتطلب تطبيق توزيع بواسون، حيث \lambda = 3 ولادات/ساعة.
أ) حالة ولادة واحدة خلال ساعة معينة (X = 1):
P(X=1) = \frac{e^{-3} \times 3^1}{1!} = 3e^{-3}
ب) أربع حالات ولادة على الأكثر خلال ساعة معينة (X \le 4):
P(X \le 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
= e^{-3} \left( \frac{3^0}{0!} + \frac{3^1}{1!} + \frac{3^2}{2!} + \frac{3^3}{3!} + \frac{3^4}{4!} \right)