--- SECTION: 11 --- - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال 11: 11: إذا كان احتمال تحسين نوعية حليب الأبقار في مزرعة ألبان هو 0.001 عند تلقيحها بأمصال معينة، فأوجد احتمال أن يكون من بين 2000 بقرة سيتم حقنها بالمصل: a. ثلاث بقرات ستتحسن نوعية حليبها. b. أكثر من بقرة ستتحسن نوعية حليبها. (ملاحظة: في حال كان لتوزيع ذي الحدين احتمال P صغير جداً وحجم عينة n كبير، فإنه يمكن تقريبه إلى توزيع بواسون من خلال (λ=np.

الإجابة: س 11 : نستخدم تقريب بواسون لأن p صغير و n كبير، λ = 2 P(X = 3) = e^{-2}2^3/3! ≈ 0.1804 P(X > 1) = 1 - e^{-2}(1 + 2) ≈ 0.5940

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - احتمال تحسين نوعية الحليب (p) = 0.001 - عدد الأبقار (n) = 2000 - نستخدم تقريب بواسون لأن p صغير جداً و n كبير، حيث λ = n × p
2. **الخطوة 2 (حساب λ):** نحسب λ: $$\lambda = n \times p = 2000 \times 0.001 = 2$$
3. **الخطوة 3 (الجزء أ - احتمال تحسين 3 بقرات):** نستخدم دالة بواسون: $$P(X = 3) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-2} \times 2^3}{3 \times 2 \times 1}$$ $$P(X = 3) \approx 0.1804$$
4. **الخطوة 4 (الجزء ب - احتمال تحسين أكثر من بقرة):** هذا يعني X > 1، ونحسبه كـ: $$P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ $$P(X=0) = e^{-2} \approx 0.1353$$ $$P(X=1) = e^{-2} \times 2 \approx 0.2707$$ $$P(X > 1) = 1 - (0.1353 + 0.2707) \approx 0.5940$$

سؤال 12: 12: إذا كان للمتغير العشوائي X الذي يمثل عدد الأشعات - من نوع خاص - التي يعملها أحد مراكز الأشعة خلال ساعة؛ توزيع بواسون 2.3 ؛ فالمطلوب: a. اكتب شكل التوزيع الاحتمالي (دالة الكتلة الاحتمالية) للمتغير العشوائي X. b. احسب احتمال أن يعمل المركز 3 أشعات خلال ساعة. c. احسب احتمال أن يعمل المركز أشعتين على الأقل خلال ساعة. d. أوجد المتوسط الحسابي لعدد الأشعات التي يعملها المركز خلال ساعة. e. أوجد الانحراف المعياري لعدد الأشعات التي يعملها المركز خلال ساعة.

الإجابة: P(X = x) = e^{-2.3}(2.3)^x / x! (x = 0,1,2,...) P(3) ≈ 0.2033 P(X ≥ 2) ≈ 0.6691 المتوسط = 2.3 الانحراف ≈ 1.5166

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا متغير عشوائي X يتبع توزيع بواسون بمتوسط λ = 2.3
2. **الخطوة 2 (الجزء أ - دالة الكتلة الاحتمالية):** دالة بواسون هي: $$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$ بالتعويض: $$P(X = x) = \frac{e^{-2.3} (2.3)^x}{x!} \quad \text{حيث } x = 0, 1, 2, ...$$
3. **الخطوة 3 (الجزء ب - احتمال 3 أشعات):** $$P(X = 3) = \frac{e^{-2.3} (2.3)^3}{3!} \approx 0.2033$$
4. **الخطوة 4 (الجزء ج - احتمال أشعتين على الأقل):** X ≥ 2 يعني: $$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ $$P(X=0) = e^{-2.3} \approx 0.1003$$ $$P(X=1) = e^{-2.3} \times 2.3 \approx 0.2306$$ $$P(X \geq 2) \approx 1 - (0.1003 + 0.2306) \approx 0.6691$$
5. **الخطوة 5 (الجزء د - المتوسط الحسابي):** في توزيع بواسون، المتوسط = λ = **2.3**
6. **الخطوة 6 (الجزء هـ - الانحراف المعياري):** في توزيع بواسون، الانحراف المعياري = √λ $$\sigma = \sqrt{2.3} \approx 1.5166$$

سؤال 13: 13: إذا كان متوسط نمو التطبيقات الصحية السنوي في المملكة العربية السعودية هو 5 تطبيقات، فما احتمال أن يصل عدد التطبيقات إلى 3 تطبيقات هذا العام؟

الإجابة: س13: X ~ Poisson(5) P(X = 3) = e^{-5}5^3/3! ≈ 0.1404

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** متوسط نمو التطبيقات السنوي λ = 5، ونستخدم توزيع بواسون
2. **الخطوة 2 (القانون):** دالة بواسون: $$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** نريد احتمال أن يصل العدد إلى 3 تطبيقات: $$P(X = 3) = \frac{e^{-5} \times 5^3}{3!} = \frac{e^{-5} \times 125}{6} \approx 0.1404$$

سؤال 14: 14: المتوسط الحسابي لأوزان 1000 شخص يساوي 65 kgm ، والانحراف المعياري 10 kgm. فإذا كانت الأوزان تتبع التوزيع الطبيعي، فما نسبة الأشخاص الذين تقع أوزانهم بين 65 kgm و 95 kgm؟ وما عددهم؟

الإجابة: ≈ 49.87% عدد الأشخاص ≈ 1000(0.4987) ≈ 499

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - المتوسط μ = 65 kg - الانحراف المعياري σ = 10 kg - عدد الأشخاص n = 1000 - نريد نسبة الأشخاص بأوزان بين 65 و 95 kg
2. **الخطوة 2 (تحويل إلى Z):** نحول القيم إلى Z-score: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ لـ X = 65: $$Z_1 = \frac{65 - 65}{10} = 0$$ لـ X = 95: $$Z_2 = \frac{95 - 65}{10} = 3$$
3. **الخطوة 3 (استخدام جدول Z):** من جدول التوزيع الطبيعي: - P(Z < 0) = 0.5 - P(Z < 3) ≈ 0.9987 النسبة المطلوبة: $$P(65 < X < 95) = P(0 < Z < 3) = 0.9987 - 0.5 = 0.4987$$ أي **49.87%** تقريباً
4. **الخطوة 4 (حساب العدد):** عدد الأشخاص = النسبة × العدد الكلي $$1000 \times 0.4987 \approx 499$$ شخص

سؤال 15: 15: يتوزّع مستوى الدهنيات (الكولسترول) في فئة الشباب الذكور، في إحدى الدول، توزيعاً طبيعياً؛ بمتوسط حسابي 158.3، وانحراف معياري 6.6. a. ما احتمال أن تقل نسبة الكولسترول لدى الشباب الذكور عن 151.7؟ b. كم شخصاً تقريباً من بين 900 شخص يتراوح مستوى الكولسترول لديهم بين 171.5 - 145.1؟

الإجابة: P(Z < -1) ≈ 0.1587 ب) 900(0.9545) ≈ 859

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - المتوسط μ = 158.3 - الانحراف المعياري σ = 6.6 - عدد الأشخاص = 900
2. **الخطوة 2 (الجزء أ - احتمال أقل من 151.7):** نحول إلى Z-score: $$Z = \frac{151.7 - 158.3}{6.6} = \frac{-6.6}{6.6} = -1$$ من جدول Z: P(Z < -1) ≈ **0.1587**
3. **الخطوة 3 (الجزء ب - الأشخاص بين 145.1 و 171.5):** نحول القيمتين: $$Z_1 = \frac{145.1 - 158.3}{6.6} = \frac{-13.2}{6.6} = -2$$ $$Z_2 = \frac{171.5 - 158.3}{6.6} = \frac{13.2}{6.6} = 2$$ من جدول Z: - P(Z < 2) ≈ 0.9772 - P(Z < -2) ≈ 0.0228 النسبة بين -2 و 2: $$0.9772 - 0.0228 = 0.9544$$ عدد الأشخاص: $$900 \times 0.9544 \approx 859$$ شخص

سؤال 16: 16: إذا كانت حموضة الدم الآدمي - مقاسة بدلالة الأس الأيدروجيني - متغيراً عشوائياً طبيعياً متوسطه الحسابي 7.2=µ. وكان احتمال أن يكون مستوى الأس الأيدروجيني أكبر من 7.5 يساوي 0.0222، فأوجد الانحراف المعياري للتوزيع.

الإجابة: P(Z > z) = 0.0222 ⇒ z ≈ 2.01 7.5 - 7.2 = 0.3 z = 0.3 / σ = 2.01 σ = 0.3 / 2.01 ≈ 0.149

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - المتوسط μ = 7.2 - P(X > 7.5) = 0.0222 - نريد إيجاد الانحراف المعياري σ
2. **الخطوة 2 (تحويل إلى Z-score):** نعلم أن: $$P(X > 7.5) = 0.0222$$ هذا يعني P(Z > z) = 0.0222، حيث: $$z = \frac{7.5 - 7.2}{\sigma} = \frac{0.3}{\sigma}$$
3. **الخطوة 3 (إيجاد z من الجدول):** من جدول Z، عندما P(Z > z) = 0.0222، فإن z ≈ **2.01**
4. **الخطوة 4 (حساب σ):** نعوض في المعادلة: $$2.01 = \frac{0.3}{\sigma}$$ $$\sigma = \frac{0.3}{2.01} \approx 0.149$$

ما هي الحالة التي يمكن فيها تقريب توزيع ذي الحدين إلى توزيع بواسون؟ وما هي الصيغة المستخدمة؟

الإجابة: عندما يكون احتمال النجاح P صغيرًا جدًا وحجم العينة n كبيرًا. الصيغة المستخدمة هي λ = np، حيث λ هو متوسط توزيع بواسون.

الشرح: يستخدم تقريب بواسون لتوزيع ذي الحدين لتسهيل الحسابات عندما تكون n كبيرة و p صغيرة، حيث يصبح حساب الاحتمالات باستخدام صيغة ذي الحدين معقدًا.

تلميح: فكر في شروط التقريب بين التوزيعين وعلاقة المعلمة λ بالمعلمتين n و p.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان متوسط نمو التطبيقات الصحية السنوي في المملكة العربية السعودية هو 5 تطبيقات، فما احتمال أن يصل عدد التطبيقات إلى 3 تطبيقات هذا العام؟ (افترض توزيع بواسون)

الإجابة: يجب استخدام توزيع بواسون حيث λ = 5. احتمال أن يكون X = 3 هو P(X=3) = (e^-5 * 5^3) / 3!.

الشرح: هذا سؤال تطبيقي مباشر على توزيع بواسون، حيث يمثل λ متوسط الحدوث في فترة زمنية محددة (سنة واحدة).

تلميح: تذكر صيغة الاحتمال لتوزيع بواسون عندما يكون المتغير العشوائي يساوي قيمة محددة.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط

المتوسط الحسابي لأوزان 1000 شخص يساوي 65kg، والانحراف المعياري 10kg. إذا كانت الأوزان تتبع التوزيع الطبيعي، فما نسبة الأشخاص الذين تقع أوزانهم بين 65kg و 95kg؟

الإجابة: الوزن 65kg هو المتوسط (μ). الوزن 95kg يبعد عن المتوسط بمقدار 30kg، أي 3 انحرافات معيارية (30/10 = 3). نسبة البيانات بين المتوسط و +3 انحرافات معيارية في التوزيع الطبيعي القياسي هي حوالي 49.87%.

الشرح: هذا السؤال يتطلب تحويل القيم إلى وحدات انحراف معياري (Z-scores) واستخدام الجدول الخاص بمنحنى التوزيع الطبيعي القياسي لإيجاد المساحة تحت المنحنى.

تلميح: احسب عدد الانحرافات المعيارية التي يبعدها كل حد عن المتوسط، ثم استخدم خصائص التوزيع الطبيعي القياسي.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: صعب

إذا كانت حموضة الدم (الأس الهيدروجيني) متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا بمتوسط 7.2، واحتمال أن يكون المستوى أكبر من 7.5 يساوي 0.0222، فكيف يمكن إيجاد الانحراف المعياري؟

الإجابة: 1. أوجد قيمة Z المقابلة لاحتمال الذيل الأيمن 0.0222 من جدول التوزيع الطبيعي القياسي (Z ≈ 2). 2. استخدم صيغة Z = (X - μ) / σ. 3. عوّض: 2 = (7.5 - 7.2) / σ. 4. حل المعادلة لإيجاد σ.

الشرح: هذا السؤال يعكس عملية عكسية لاستخدام التوزيع الطبيعي، حيث يُعطى الاحتمال والمتوسط والمطلوب هو إيجاد معلمة أخرى (الانحراف المعياري).

تلميح: ابدأ بإيجاد قيمة Z-score المرتبطة بالاحتمال المعطى، ثم استخدم العلاقة بين Z-score والقيمة الأصلية X.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب