1. مصنع به ثلاث ماكينات C ,B ,A وإذا كانت الماكينة A تنتج 20% من الإنتاج، والماكينة B تنتج 30% من الإنتاج، والماكينة C تنتج 50% من الإنتاج. وكانت نسبة الإنتاج المعيب للماكينات الثلاث على الترتيب هي 4% و3% و2%. فإذا اختيرت وحدة من الإنتاج بشكل عشوائي، احسب الاحتمالات الآتية:
a) أن تكون الوحدة المسحوبة من الإنتاج معيبة.
b) إذا كانت الوحدة المسحوبة معيبة؛ أن تكون من إنتاج الماكينة B.
الحل:
لنفرض الأحداث:
- A: أن تكون الوحدة من إنتاج الماكينة A.
- B: أن تكون الوحدة من إنتاج الماكينة B.
- C: أن تكون الوحدة من إنتاج الماكينة C.
- D: أن تكون الوحدة معيبة.
المعطيات:
P(A) = 0.20, \quad P(B) = 0.30, \quad P(C) = 0.50
P(D|A) = 0.04, \quad P(D|B) = 0.03, \quad P(D|C) = 0.02
a) احتمال أن تكون الوحدة معيبة (باستخدام قانون الاحتمال الكلي):
P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)
P(D) = (0.20 \times 0.04) + (0.30 \times 0.03) + (0.50 \times 0.02)
P(D) = 0.008 + 0.009 + 0.010 = 0.027
b) إذا كانت الوحدة معيبة، احتمال أن تكون من إنتاج الماكينة B (باستخدام قاعدة بايز):
P(B|D) = \frac{P(B) \cdot P(D|B)}{P(D)}
P(B|D) = \frac{0.30 \times 0.03}{0.027} = \frac{0.009}{0.027} = \frac{1}{3} \approx 0.3333
2. قامت إدارة الموارد البشرية في شركة بالإعلان عن توفر وظائف في الشركة، وقد أشارت نتائج الفرز المبدئي إلى: أن نسبة المتقدمين من حملة المؤهلات هي: الدبلوم 35%، البكالوريوس 55%، أما الماجستير فقد بلغت 10%. كما أشارت نتائج الفرز إلى: أن نسبة من يملكون خبرة سابقة من المتقدمين هي 8% و9% و2% على التوالي من حملة المؤهلات، فإذا قررت الشركة اختيار موظف من المتقدمين بشكل عشوائي، فاحسب الاحتمالات الآتية:
a) أن يكون الاختيار معتمداً على الخبرة؟
b) إذا كان المتقدم الذي جرى اختياره لديه خبرة؛ فما احتمال أن يكون من حملة درجة البكالوريوس؟
الحل:
لنفرض الأحداث:
- D: أن يكون المتقدم حامل دبلوم.
- B: أن يكون المتقدم حامل بكالوريوس.
- M: أن يكون المتقدم حامل ماجستير.
- E: أن يكون المتقدم لديه خبرة سابقة.
المعطيات:
P(D) = 0.35, \quad P(B) = 0.55, \quad P(M) = 0.10
P(E|D) = 0.08, \quad P(E|B) = 0.09, \quad P(E|M) = 0.02
a) احتمال أن يكون المتقدم المختار لديه خبرة (باستخدام قانون الاحتمال الكلي):
P(E) = P(D) \cdot P(E|D) + P(B) \cdot P(E|B) + P(M) \cdot P(E|M)
P(E) = (0.35 \times 0.08) + (0.55 \times 0.09) + (0.10 \times 0.02)
P(E) = 0.028 + 0.0495 + 0.002 = 0.0795
b) إذا كان المتقدم لديه خبرة، احتمال أن يكون من حملة البكالوريوس (باستخدام قاعدة بايز):
P(B|E) = \frac{P(B) \cdot P(E|B)}{P(E)}
P(B|E) = \frac{0.55 \times 0.09}{0.0795} = \frac{0.0495}{0.0795} \approx 0.6226
3. تستخدم شركة تصنيع أربع خطط تحليلية لتصميم وتطوير منتج محدد؛ لأسباب اقتصادية في أوقات مختلفة، حيث تستخدم الخطط: الأولى والثانية والثالثة والرابعة بنسبة 30%، 20%، 35%، 15% على الترتيب، ومعدل الخلل في هذه الخطط يختلف كما يأتي:
P(D|P_1)=0.01, \quad P(D|P_2)=0.03, \quad P(D|P_3)=0.02, \quad P(D|P_4)=0.015
حيث إن P(D|P_i) هي احتمال أن يكون المنتج معيباً، علماً بأنه جرى استخدام الخطة i.
إذا جرى رصد منتج ووجد أنه معيب، ما الخطة الأكثر احتمالاً أن تكون المستخدمة؛ وبالتالي مسؤولة عن العيب؟
الحل:
المعطيات:
P(P_1) = 0.30, \quad P(P_2) = 0.20, \quad P(P_3) = 0.35, \quad P(P_4) = 0.15
P(D|P_1) = 0.01, \quad P(D|P_2) = 0.03, \quad P(D|P_3) = 0.02, \quad P(D|P_4) = 0.015
نريد إيجاد P(P_i|D) لكل خطة i باستخدام قاعدة بايز. أولاً نحسب احتمال العيب الكلي P(D):
P(D) = \sum_{i=1}^{4} P(P_i) \cdot P(D|P_i)
P(D) = (0.30 \times 0.01) + (0.20 \times 0.03) + (0.35 \times 0.02) + (0.15 \times 0.015)
P(D) = 0.003 + 0.006 + 0.007 + 0.00225 = 0.01825
الآن نحسب الاحتمالات الشرطية:
P(P_1|D) = \frac{0.30 \times 0.01}{0.01825} = \frac{0.003}{0.01825} \approx 0.1644
P(P_2|D) = \frac{0.20 \times 0.03}{0.01825} = \frac{0.006}{0.01825} \approx 0.3288
P(P_3|D) = \frac{0.35 \times 0.02}{0.01825} = \frac{0.007}{0.01825} \approx 0.3836
P(P_4|D) = \frac{0.15 \times 0.015}{0.01825} = \frac{0.00225}{0.01825} \approx 0.1233
أكبر احتمال هو P(P_3|D) \approx 0.3836.
الخطة الأكثر احتمالاً أن تكون المستخدمة هي الخطة الثالثة (P₃).
4. إذا كان احتمال ارتفاع مؤشر سوق الأسهم هو (3/4) واختيرت ثلاث دول، أوجد:
a) التوزيع الاحتمالي لعدد الدول التي يرتفع مؤشر سوق أسهمها.
b) متوسط التوزيع وتباينه وانحرافه المعياري.
c) احتمال ارتفاع مؤشر سوق الأسهم لدولتين على الأقل.
الحل:
لدينا تجارب برنولي مستقلة: n = 3 دول، احتمال النجاح (الارتفاع) في كل تجربة هو p = \frac{3}{4} = 0.75.
المتغير العشوائي X يمثل عدد الدول التي يرتفع مؤشر أسهمها، ويتبع توزيعاً ذا حدين: X \sim Binomial(n=3, p=0.75).
a) التوزيع الاحتمالي (دالة الكتلة الاحتمالية):
P(X = k) = \binom{3}{k} (0.75)^k (0.25)^{3-k}, \quad k = 0, 1, 2, 3
P(X=0) = \binom{3}{0} (0.75)^0 (0.25)^3 = 1 \times 1 \times 0.015625 = 0.015625
P(X=1) = \binom{3}{1} (0.75)^1 (0.25)^2 = 3 \times 0.75 \times 0.0625 = 0.140625
P(X=2) = \binom{3}{2} (0.75)^2 (0.25)^1 = 3 \times 0.5625 \times 0.25 = 0.421875
P(X=3) = \binom{3}{3} (0.75)^3 (0.25)^0 = 1 \times 0.421875 \times 1 = 0.421875
b) متوسط التوزيع (القيمة المتوقعة) والتباين والانحراف المعياري:
E(X) = \mu = n \cdot p = 3 \times 0.75 = 2.25
Var(X) = \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 3 \times 0.75 \times 0.25 = 0.5625
\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.5625} = 0.75
c) احتمال ارتفاع المؤشر لدولتين على الأقل (أي X ≥ 2):
P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0.421875 + 0.421875 = 0.84375