"language": "ar", - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص صفحة تمارين ومسائل (180)

جدول التوزيع الاحتمالي للسؤال 5:

| عدد الصناديق السليمة X | الاحتمال P(X = x) |

| :--- | :--- |

| 4 | 0.2401 |

| 3 | EMPTY |

| 2 | 0.2646 |

| 1 | EMPTY |

| 0 | 0.0081 |

---

5. في شركة لتعبئة المنتجات الزراعية؛ احتمال أن يكون أحد الصناديق المعبأة فيه سلع تالفة هو 0.3. واخترنا عينة من 4 صناديق، وكان التوزيع الاحتمالي لعدد الصناديق السليمة X كما هو موضح في الجدول أعلاه.

* a) اسم التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X هو توزيع ذي الحدين. دالته الاحتمالية هي: P(X = x) = \binom{4}{x} (0.7)^x (0.3)^{4-x} حيث X هو عدد الصناديق السليمة، واحتمال النجاح (صندوق سليم) p = 0.7، وعدد المحاولات n = 4.

* b) لإكمال البيانات الناقصة في الجدول:

* مجموع الاحتمالات يجب أن يساوي 1.

* المجموع الحالي: 0.2401 + 0.2646 + 0.0081 = 0.5128.

* إذن، مجموع الاحتمالات الناقصة (P(X=3) و P(X=1)) هو: 1 - 0.5128 = 0.4872.

* باستخدام دالة التوزيع:

* P(X=3) = \binom{4}{3} (0.7)^3 (0.3)^1 = 4 \times 0.343 \times 0.3 = 0.4116.

* P(X=1) = \binom{4}{1} (0.7)^1 (0.3)^3 = 4 \times 0.7 \times 0.027 = 0.0756.

* الجدول المكتمل:

* P(X=3) = 0.4116

* P(X=1) = 0.0756

* c) متوسط التوزيع (القيمة المتوقعة): \mu = n \cdot p = 4 \times 0.7 = 2.8.

تباين التوزيع: \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 4 \times 0.7 \times 0.3 = 0.84.

* d) احتمال الحصول على 3 صناديق على الأقل فيها سلع تالفة:

* عدد الصناديق التالفة = 4 - X.

* المطلوب: P(\text{تالفة} \geq 3) = P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1).

* P(X=0) = 0.0081، P(X=1) = 0.0756.

* الاحتمال = 0.0081 + 0.0756 = 0.0837.

6. قدرت شركة للطيران أن احتمال وصول طائراتها التي تقلع من لندن متجهة إلى جدة في موعدها هو 0.8. فإذا أقلعت 4 طائرات لهذه الشركة من مطار لندن متجهة إلى جدة؛ فأوجد:

* a) التوزيع الاحتمالي لعدد الطائرات التي تصل في مواعيدها (Y) هو توزيع ذي الحدين حيث n=4، p=0.8. دالته: P(Y=y) = \binom{4}{y} (0.8)^y (0.2)^{4-y}، حيث y = 0, 1, 2, 3, 4.

* b) متوسط عدد الطائرات: \mu = n \cdot p = 4 \times 0.8 = 3.2.

الانحراف المعياري: \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{4 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{0.64} = 0.8.

* c) احتمال وصول طائرة واحدة على الأقل في موعدها: P(Y \geq 1) = 1 - P(Y=0).

* P(Y=0) = \binom{4}{0} (0.8)^0 (0.2)^4 = 1 \times 1 \times 0.0016 = 0.0016.

* الاحتمال = 1 - 0.0016 = 0.9984.

* d) احتمال وصول 3 طائرات على الأقل في مواعيدها: P(Y \geq 3) = P(Y=3) + P(Y=4).

* P(Y=3) = \binom{4}{3} (0.8)^3 (0.2)^1 = 4 \times 0.512 \times 0.2 = 0.4096.

* P(Y=4) = \binom{4}{4} (0.8)^4 (0.2)^0 = 1 \times 0.4096 \times 1 = 0.4096.

* الاحتمال = 0.4096 + 0.4096 = 0.8192.

7. إذا كانت نسبة التالف من المصابيح الكهربائية في مصنع تساوي 0.001 وأخذت عينة حجمها 10 مصابيح بطريقة عشوائية، فما احتمال أن يكون عدد المصابيح التالفة في هذه العينة صفرًا؟ وما احتمال أن يكون اثنين؟

* حجم العينة n=10، احتمال التلف p=0.001، وهو احتمال صغير جداً.

* يمكن استخدام تقريب توزيع بواسون للتوزيع ذي الحدين حيث \lambda = n \cdot p = 10 \times 0.001 = 0.01.

* احتمال أن يكون العدد صفراً (X=0): P(X=0) = \frac{e^{-0.01} \cdot (0.01)^0}{0!} = e^{-0.01} \approx 0.99005.

* احتمال أن يكون العدد اثنين (X=2): P(X=2) = \frac{e^{-0.01} \cdot (0.01)^2}{2!} = \frac{e^{-0.01} \cdot 0.0001}{2} \approx 0.0000495.

8. في مصنع لإنتاج السيارات؛ من بين كل 500 سيارة توجد 50 سيارة غير صالحة للاستعمال، وسحبت عينة مكونة من 4 سيارات من إنتاج ذلك المصنع؛ أوجد احتمال أن يكون من بينها ثلاث سيارات غير صالحة للاستعمال.

* نسبة السيارات غير الصالحة: p = \frac{50}{500} = 0.1.

* حجم العينة n=4.

* المطلوب هو احتمال وجود 3 سيارات غير صالحة (X=3) في عينة حجمها 4.

* باستخدام توزيع ذي الحدين: P(X=3) = \binom{4}{3} (0.1)^3 (0.9)^1 = 4 \times 0.001 \times 0.9 = 0.0036.

9. إذا كان عدد البواخر التي تصل إلى ميناء ما في اليوم يتبع توزيع بواسون بمتوسط باخرتان، وكانت التسهيلات في الميناء تستطيع خدمة ثلاث بواخر فقط في اليوم، وإذا زاد العدد عن ذلك تقوم إدارة الميناء بتحويل البواخر إلى ميناء آخر. فما احتمال أن تقوم إدارة الميناء في أحد الأيام بتحويل بواخر إلى الميناء الآخر.

* متوسط وصول البواخر في اليوم \lambda = 2.

* يتم التحويل إذا وصل أكثر من 3 بواخر (أي 4 أو أكثر).

* المطلوب: P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3).

* باستخدام توزيع بواسون:

* P(X=0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2}.

* P(X=1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = 2e^{-2}.

* P(X=2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = 2e^{-2}.

* P(X=3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8e^{-2}}{6} = \frac{4}{3}e^{-2}.

* P(X \leq 3) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} + \frac{4}{3}e^{-2} = e^{-2} \left(1 + 2 + 2 + \frac{4}{3}\right) = e^{-2} \left(5 + \frac{4}{3}\right) = e^{-2} \times \frac{19}{3}.

* P(X \geq 4) = 1 - \left( e^{-2} \times \frac{19}{3} \right).

* بالتعويض بالقيمة التقريبية e^{-2} \approx 0.1353:

* P(X \leq 3) \approx 0.1353 \times \frac{19}{3} \approx 0.1353 \times 6.3333 \approx 0.8571.

* P(X \geq 4) \approx 1 - 0.8571 = 0.1429.

{ "language": "ar", "direction": "rtl", "page_context": { "page_title": "تمارين ومسائل", "page_type": "exercises", "main_topics": [ "الاحتمالات", "التوزيعات الاحتمالية", "توزيع ذي الحدين", "توزيع بواسون" ], "headers": [], "has_questions": true, "has_formulas": true, "has_examples": false, "has_visual_elements": true }, "sections": [ { "order": 1, "type": "exercise", "content_classification": "QUESTION", "question_indicators": { "has_question_words": true, "has_numbering": true, "has_multiple_choice": true, "has_instruction_words": true }, "title": "5", "content": "5: في شركة لتعبئة المنتجات الزراعية؛ احتمال أن يكون أحد الصناديق المعباة فيه سلع تالفة هو 0.3. واخترنا عينة من 4 صناديق، وكان التوزيع الاحتمالي لعدد الصناديق السليمة X كما هو موضح في الجدول الآتي:", "associated_visual_elements": [ 0 ], "sub_questions": [ { "number": "a", "question": "اذكر اسم التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X واكتب دالته الاحتمالية.", "visual_element_index": null }, { "number": "b", "question": "استكمل البيانات الناقصة في الجدول.", "visual_element_index": 0 }, { "number": "c", "question": "احسب متوسط التوزيع وتباينه.", "visual_element_index": null }, { "number": "d", "question": "احسب احتمال الحصول على 3 صناديق على الأقل فيها سلع تالفة.", "visual_element_index": null } ] }, { "order": 2, "type": "exercise", "content_classification": "QUESTION", "question_indicators": { "has_question_words": true, "has_numbering": true, "has_multiple_choice": true, "has_instruction_words": true }, "title": "6", "content": "6: قدرت شركة للطيران أن احتمال وصول طائراتها التي تقلع من لندن متجهة إلى جدة في موعدها هو 0.8. فإذا أقلعت 4 طائرات لهذه الشركة من مطار لندن متجهة إلى جدة؛ فأوجد:", "associated_visual_elements": [], "sub_questions": [ { "number": "a", "question": "التوزيع الاحتمالي لعدد الطائرات التي تصل في مواعيدها.", "visual_element_index": null }, { "number": "b", "question": "متوسط عدد الطائرات التي تصل في مواعيدها، وكذلك الانحراف المعياري.", "visual_element_index": null }, { "number": "c", "question": "احتمال وصول طائرة واحدة على الأقل في موعدها.", "visual_element_index": null }, { "number": "d", "question": "احتمال وصول 3 طائرات على الأقل في مواعيدها.", "visual_element_index": null } ] }, { "order": 3, "type": "exercise", "content_classification": "QUESTION", "question_indicators": { "has_question_words": true, ""has_numbering": true, "has_multiple_choice": false, "has_instruction_words": true }, "title": "7", "content": "7: إذا كانت نسبة التالف من المصابيح الكهربائية في مصنع تساوي 0.001 وأخذت عينة حجمها 10 مصابيح بطريقة عشوائية، فما احتمال أن يكون عدد المصابيح التالفة في هذه العينة صفرًا؟ وما احتمال أن يكون اثنين؟", "associated_visual_elements": [] }, { "order": 4, "type": "exercise", "content_classification": "QUESTION", "question_indicators": { "has_question_words": true, "has_numbering": true, "has_multiple_choice": false, "has_instruction_words": true }, "title": "8", "content": "8: في مصنع لإنتاج السيارات؛ من بين كل 500 سيارة توجد 50 سيارة غير صالحة للاستعمال، وسحبت عينة مكونة من 4 سيارات من إنتاج ذلك المصنع؛ أوجد احتمال أن يكون من بينها ثلاث سيارات غير صالحة للاستعمال.", "associated_visual_elements": [] }, { "order": 5, "type": "exercise", "content_classification": "QUESTION", "question_indicators": { "has_question_words": true, "has_numbering": true, "has_multiple_choice": false, "has_instruction_words": true }, "title": "9", "content": "9: إذا كان عدد البواخر التي تصل إلى ميناء ما في اليوم يتبع توزيع بواسون بمتوسط باخرتان، وكانت التسهيلات في الميناء تستطيع خدمة ثلاث بواخر فقط في اليوم، وإذا زاد العدد عن ذلك تقوم إدارة الميناء بتحويل البواخر إلى ميناء آخر. فما احتمال أن تقوم إدارة الميناء في أحد الأيام بتحويل بواخر إلى الميناء الآخر.", "associated_visual_elements": [] }, { "order": 6, "type": "metadata", "content_classification": "METADATA", "question_indicators": { "has_question_words": false, "has_numbering": false, "has_multiple_choice": false, "has_instruction_words": false }, "title": null, "content": "وزارة التعليم\nMinistry of Education\n2023 - 1447", "associated_visual_elements": [] }, { "order": 7, "type": "page_number", "content_classification": "METADATA", "question_indicators": { "has_question_words": false, "has_numbering": false, "has_multiple_choice": false, "has_instruction_words": false }, "title": null, "content": "180", "associated_visual_elements": [] } ], "visual_elements": [ { "index": 0, "label": "جدول التوزيع الاحتمالي", "question_number": "5", "type": "table", "location": "center of page", "coordinate_system": null, "shape": null, "title": null, "function": null, "description": "A table showing the probability distribution for the number of sound boxes (X) out of 4, with some probabilities missing.", "axes_labels": null, "axes_ranges": null, "endpoints": null, "critical_points": null, "y_intercept": null, "end_behavior": null, "key_points": null, "data_description": "The table provides probabilities P(X=x) for X, the number of sound boxes, where X can be 0, 1, 2, 3, or 4. The probabilities for X=3 and X=1 are missing and need to be calculated.", "key_values": null, "numeric_data": null, "table_structure": { "headers": [ "عدد الصناديق السليمة X", "الاحتمال P(X = x)" ], "rows": [ [ "4", "0.2401" ], [ "3", "EMPTY" ], [ "2", "0.2646" ], [ "1", "EMPTY" ], [ "0", "0.0081" ] ], "empty_cells": [ "P(X=3)", "P(X=1)" ], "calculation_context": "The probabilities for X=3 and X=1 need to be calculated based on the binomial distribution, given the probability of a damaged item is 0.3 and the sample size is 4. The sum of all probabilities should equal 1." }, "educational_context": "This table is used to understand and calculate probabilities, mean, and variance for a binomial distribution as part of question 5.", "estimated": false } ] }