لمحة سريعة - كتاب صناعة القرار في الأعمال - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 مقاييس التشتت (الجزء الثاني)

المفاهيم الأساسية

التباين في العينة (s²): مجموع الانحرافات التربيعية عن المتوسط الحسابي مقسومة على (n-1).

الانحراف المعياري للعينة (s): الجذر التربيعي الإيجابي للتباين (s²). وهو يمثل حجم الانحراف "النموذجي" عن المتوسط.

المدى الربيعي (IQR): مقياس لدرجة الاختلاف في البيانات لا يتأثر بالقيم الطرفية. يحسب بالاستناد إلى الأرباع.

الربيع الأدنى: القيمة التي تفصل أدنى 25% من البيانات عن الـ 75% الأعلى.

الربيع الأعلى: القيمة التي تفصل أعلى 25% من البيانات عن الـ 75% الأدنى.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 9: استخدام البيانات لدعم عملية اتخاذ القرار

توصيف البيانات عن طريق الإحصاء (الجزء الثاني)

الاختلاف (التشتت) / Variability

#### التعريف

• مدى اختلاف عناصر البيانات في المجموعة عن بعضها البعض.

#### الفكرة الرئيسية

• قياس النزعة المركزية (مثل المتوسط والوسيط) لا يعطي صورة كاملة عن البيانات.
• من المهم فهم مدى الاختلاف بين عناصر مجموعة البيانات.

#### مثال توضيحي (الشكل 9-5)

• ثلاث عينات لها نفس المتوسط والوسيط (45) ولكن بدرجات اختلاف مختلفة.

##### العينة أ

• بيانات: 20، 40، 50، 30، 60، 70
• اختلاف كبير بين القيم.

##### العينة ب

• بيانات: 47، 43، 44، 46، 20، 70
• اختلاف أقل من (أ) بسبب تجمع معظم القيم حول الوسط، لكن وجود قيمتين طرفيتين (20، 70) يزيد الاختلاف.

##### العينة ج

• بيانات: 44، 43، 40، 50، 47، 46
• أقل اختلاف، حيث تتجمع القيم بشكل كبير حول النقطة الوسطى (45).

#### مقاييس الاختلاف

##### النطاق (المدى) / Range

• أبسط مقياس للاختلاف.
• الصيغة: المدى = القيمة الأكبر - القيمة الأصغر.
• محدوديته: لا يعتبر أفضل مقياس لأنه لا يعكس إسهام كل عنصر في الاختلاف.

##### الانحراف عن المتوسط / Deviations from the mean

• الفرق بين قيمة العنصر والمتوسط الحسابي (xᵢ - x̄).
• يكون موجبًا إذا كانت القيمة أعلى من المتوسط، وسالبًا إذا كانت أقل.

##### الانحرافات المربعة / Squared Deviations

• تربيع الانحرافات (xᵢ - x̄)² لمنع الانحرافات الموجبة والسالبة من تعديل بعضها.
• المجموع الكلي: Σ(xᵢ - x̄)²

##### التباين في العينة / Sample Variance

• الصيغة: s² = \frac{Σ(x−\bar{x})²}{n-1}
• مجموع الانحرافات التربيعية مقسومًا على (n-1).
• قيمته قد تكون كبيرة جداً في بعض مجموعات البيانات.

##### الانحراف المعياري للعينة / Sample Standard Deviation

• الصيغة: s = \sqrt{s²}
• الجذر التربيعي الإيجابي للتباين.
• يبين الانحراف "النموذجي" عن المتوسط الحسابي.
• تفسير بصري (الشكل 9-6): في التوزيع الطبيعي، كلما كان الانحراف المعياري أصغر، كان المنحنى أضيق وأطول (تشتت أقل). وكلما كان أكبر، كان المنحنى أعرض وأقصر (تشتت أكبر).

##### المدى الربيعي / Interquartile Range (IQR)

• مقياس لدرجة الاختلاف لا يتأثر بالقيم الطرفية.
• يحسب بالاستناد إلى الأرباع.

###### الأرباع / Quartiles

• الربيع الأدنى (Q1): يفصل أدنى 25% من البيانات عن الـ 75% الأعلى.
• الربيع الأوسط (Q2): هو الوسيط، يفصل الـ 50% الدنيا عن الـ 50% العليا.
• الربيع الأعلى (Q3): يفصل أعلى 25% من البيانات عن الـ 75% الأدنى.
• تفسير بصري (الشكل 9-7): مواقع الأرباع في مخطط المنحنى التكراري.

```

نقاط مهمة

• حساب التباين والانحراف المعياري قد يكون شاقاً للعينات الكبيرة، لكن الآلات الحاسبة والبرمجيات تسهل ذلك.
• الانحراف المعياري هو المقياس الأكثر استخداماً لأنه يوضح الانحراف "النموذجي" عن المتوسط.
• التباين يتأثر بشكل كبير بوجود قيم متطرفة (صغيرة جداً أو كبيرة جداً) في البيانات.
• المدى الربيعي (IQR) مفيد لأنه يقيس التشتت دون التأثر بالقيم الطرفية.

قد تكون عملية احتساب التباين في العينة شاقة بعض الشيء، لا سيما إذا كان حجم العينة كبيراً. لحسن الحظ، توجد اليوم آلات حاسبة وبرمجيات حاسوبية قادرة على احتساب التباين والانحراف المعياري Variance and standard deviation. يمكن بكلمات غير تقنية، تفسير الانحراف المعياري على أنه حجم الانحراف "النموذجي" أو "التمثيلي" عن المتوسط الحسابي (أنظر الشكل 9-4).

يمكن أن تكون قيم التباين كبيرة جداً في بعض مجموعات البيانات. يستخدم الانحراف المعياري بشكل أكبر كونه يبين الانحراف "النموذجي" عن المتوسط الحسابي (بدلاً من المقياس الأكبر للكلي).

التباين في العينة: Deviations from the mean المشار إليه بـ s². هو مجموع الانحرافات التربيعية عن المتوسط الحسابي مقسومة على عدد العينة ناقص واحد (n-1):

s² = Σ(x−x)² / (n-1)

الانحراف المعياري للعينة: هو الجذر التربيعي الإيجابي لـ s². ويشار إليه بحرف s.

Variance and standard deviation

الانحراف المعياري عن المتوسط الحسابي

الشكل 9-6: الانحراف المعياري عن المتوسط الحسابي

الانحراف المعياري = 5

المتوسط الحسابي = 10

التباين بشكل كبير في حال وجود قيمة واحدة أو صغيرة جداً أو كبيرة جداً أو صغيرة نسبياً في البيانات.

المدى الربيعي (Interquartile range (iqr) مقياس لدرجة الاختلاف في البيانات. لا يتأثر بالقيم الطرفية. يحتسب الانحراف الربيعي بالاستناد إلى كميات تسمى بـ "أرباع".

الربيع الأدنى Lower quantity هو الربيع الذي يفصل نسبة 25% الصغرى بالبيانات عن نسبة الـ 75% الأعلى، أما الربيع الأعلى Upper quantity فيفصل نسبة الـ 25% الأعلى عن نسبة الـ 75% الأصغر. الربيع الأوسط هو نفسه الوسيط ويفصل الـ 50% الدنيا عن الـ 50% العليا. يبين الشكل 9-7 مواقع هذه الأرباع في مخطط المنحنى التكراري.

الشكل 9-7: مواقع الأرباع في مخطط المنحنى التكراري.

قد تكون عملية احتساب التباين في العينة شاقة بعض الشيء، لا سيما إذا كان حجم العينة كبيراً. لحسن الحظ، توجد اليوم آلات حاسبة وبرمجيات حاسوبية قادرة على احتساب التباين والانحراف المعياري Variance and standard deviation. يمكن بكلمات غير تقنية، تفسير الانحراف المعياري على أنه حجم الانحراف "النموذجي" أو "التمثيلي" عن المتوسط الحسابي (أنظر الشكل 9-4). --- SECTION: لمحة سريعة --- يمكن أن تكون قيم التباين كبيرة جداً في بعض مجموعات البيانات. يستخدم الانحراف المعياري بشكل أكبر كونه يبين الانحراف "النموذجي" عن المتوسط الحسابي (بدلاً من المقياس الأكبر للكلي). --- SECTION: تعريفان --- التباين في العينة: Deviations from the mean المشار إليه بـ s². هو مجموع الانحرافات التربيعية عن المتوسط الحسابي مقسومة على عدد العينة ناقص واحد (n-1): s² = Σ(x−x)² / (n-1) الانحراف المعياري للعينة: هو الجذر التربيعي الإيجابي لـ s². ويشار إليه بحرف s. Variance and standard deviation الانحراف المعياري عن المتوسط الحسابي الشكل 9-6: الانحراف المعياري عن المتوسط الحسابي الانحراف المعياري = 5 المتوسط الحسابي = 10 التباين بشكل كبير في حال وجود قيمة واحدة أو صغيرة جداً أو كبيرة جداً أو صغيرة نسبياً في البيانات. المدى الربيعي (Interquartile range (iqr) مقياس لدرجة الاختلاف في البيانات. لا يتأثر بالقيم الطرفية. يحتسب الانحراف الربيعي بالاستناد إلى كميات تسمى بـ "أرباع". الربيع الأدنى Lower quantity هو الربيع الذي يفصل نسبة 25% الصغرى بالبيانات عن نسبة الـ 75% الأعلى، أما الربيع الأعلى Upper quantity فيفصل نسبة الـ 25% الأعلى عن نسبة الـ 75% الأصغر. الربيع الأوسط هو نفسه الوسيط ويفصل الـ 50% الدنيا عن الـ 50% العليا. يبين الشكل 9-7 مواقع هذه الأرباع في مخطط المنحنى التكراري. الشكل 9-7: مواقع الأرباع في مخطط المنحنى التكراري. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: الانحراف المعياري عن المتوسط الحسابي Description: A graph displaying two normal distribution curves. The x-axis represents data values, and the y-axis represents frequency or probability density. One curve is labeled 'الانحراف المعياري = 5' and has a mean of 10. The other curve is labeled 'المتوسط الحسابي = 10' and appears to have a larger standard deviation. X-axis: Data values Y-axis: Frequency/Probability Density Data: The graph visually compares two normal distributions with the same mean but different standard deviations. The curve with a standard deviation of 5 is narrower and taller, indicating less spread, while the curve with a larger standard deviation is wider and shorter, indicating more spread. Key Values: Mean = 10, Standard Deviation = 5 (for the narrower curve), Standard Deviation > 5 (for the wider curve) Context: Illustrates how standard deviation affects the shape of a normal distribution curve. A smaller standard deviation leads to a taller, narrower curve, while a larger standard deviation leads to a shorter, wider curve.