لمحة سريعة - كتاب صناعة القرار في الأعمال - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 مقاييس الاختلاف (التشتت)

المفاهيم الأساسية

النطاق (المدى): أبسط قياس رقمي للاختلاف، ويُحسب كالفرق بين القيمة الأكبر والقيمة الأصغر في مجموعة البيانات.

الانحراف عن المتوسط الحسابي: الفرق بين قيمة كل عنصر في العينة والمتوسط الحسابي للمجموعة (xᵢ - x̄).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 9: استخدام البيانات لدعم عملية اتخاذ القرار

توصيف البيانات عن طريق الإحصاء (الجزء الثاني)

الاختلاف (التشتت) / Variability

#### التعريف

• مدى اختلاف عناصر البيانات في المجموعة عن بعضها البعض.

#### الفكرة الرئيسية

• قياس النزعة المركزية (مثل المتوسط والوسيط) لا يعطي صورة كاملة عن البيانات.
• من المهم فهم مدى الاختلاف بين عناصر مجموعة البيانات.

#### مثال توضيحي (الشكل 9-5)

• ثلاث عينات لها نفس المتوسط والوسيط (45) ولكن بدرجات اختلاف مختلفة.

##### العينة أ

• بيانات: 20، 40، 50، 30، 60، 70
• اختلاف كبير بين القيم.

##### العينة ب

• بيانات: 47، 43، 44، 46، 20، 70
• اختلاف أقل من (أ) بسبب تجمع معظم القيم حول الوسط، لكن وجود قيمتين طرفيتين (20، 70) يزيد الاختلاف.

##### العينة ج

• بيانات: 44، 43، 40، 50، 47، 46
• أقل اختلاف، حيث تتجمع القيم بشكل كبير حول النقطة الوسطى (45).

#### مقاييس الاختلاف

##### النطاق (المدى) / Range

• أبسط مقياس للاختلاف.
• الصيغة: المدى = القيمة الأكبر - القيمة الأصغر.
• محدوديته: لا يعتبر أفضل مقياس لأنه لا يعكس إسهام كل عنصر في الاختلاف.

##### الانحراف عن المتوسط / Deviations from the mean

• الفرق بين قيمة العنصر والمتوسط الحسابي (xᵢ - x̄).
• يكون موجبًا إذا كانت القيمة أعلى من المتوسط، وسالبًا إذا كانت أقل.

##### الانحرافات المربعة / Squared Deviations

• تربيع الانحرافات (xᵢ - x̄)² لمنع الانحرافات الموجبة والسالبة من تعديل بعضها.
• المجموع الكلي: Σ(xᵢ - x̄)²

##### الانحراف المعياري / Standard Deviation

• يُشتق من متوسط الانحرافات المربعة، ولكن باستخدام قاسم (n-1) بدلاً من (n).

```

نقاط مهمة

• النطاق مقياس بسيط ولكنه غير دقيق، خاصة عندما يكون المدى كبيرًا.
• لحساب مدى الاختلاف بدقة، ننظر إلى انحراف كل نقطة بيانات عن المتوسط.
• لقياس إجمالي الاختلاف، نربع الانحرافات (لجعلها جميعًا موجبة) ثم نجمعها: Σ(xᵢ - x̄)².
• الانحراف المعياري هو المقياس الأكثر استخدامًا للاختلاف، ويُحسب من الانحرافات المربعة.

في هذا المثال، نلاحظ عدم وصف المتوسط الحسابي والوسيط البيانات وصفًا كاملاً. المتوسط الحسابي هو نفسه الوسيط في العينات الثلاث (45 =). وعلى الرغم من ذلك نرى بوضوح اختلاف مجموعات البيانات الواحدة عن الأخرى. فإذا، من المفيد حيازة مقياس يصف مدى اختلاف عناصر مجموعات البيانات عن النقطة الوسطية في المجموعة. أبسط قياس رقمي للاختلاف هو النطاق (المدى) Range. بشكل عام، كلما كان النطاق لمجموعة بيانات كاملة، علمًا بإسهام كل عنصر منها في هذا الاختلاف. في العينتين الأوليتين الموضحتين في المخطط النقطي في الصفحة السابقة، التراوح هو نفسه 70 - 50 = 20، مع العلم يكون درجة الاختلاف أقل في العينة الثانية. لاحتساب النطاق باستخدام القيمة الأعلى والقيمة الأدنى في مجموعة البيانات. ولا يعتبر النطاق أفضل مقياس لدرجة الاختلاف.

عندما يكون نطاق مجموعة البيانات صغيرًا نسبيًّا، يمكن استخدام النطاق كأداة لتوصيف البيانات. أما عندما يكون نطاق مجموعة البيانات كبيرًا، فيفضل استخدام تقنيات أخرى.

النطاق (المدى) Range: مدى مجموعة البيانات = القيمة الأكبر - القيمة الأصغر

تصف لنا مقاييس الاختلاف الأكثر استخدامًا مدى انحراف عناصر العينة عن المتوسط الحسابي "x". عندما نطرح المتوسط الحسابي "x" من كل عنصر نحصل على مجموعة الانحرافات عن المتوسط الحسابي Deviations from the mean.

الانحراف عن المتوسط الحسابي Deviations from the mean: انحرافات عناصر العينة عن المتوسط الحسابي لتمثل الاختلافات (x₁ - x), ..., (xₙ - x)

لاحظ كون الانحراف إيجابيًّا في حال كانت قيمة العنصر أعلى من المتوسط الحسابي، وسلبيًّا في حال كانت قيمة العنصر أقل من المتوسط الحسابي. لمنع الانحرافات السلبية والانحرافات الإيجابية من تعديل بعضها بعضًا، نحولها إلى الصيغة التربيعية قبل إضافتها إلى بعضها بعضًا للحصول على المجموع الكلي. وبهذا تساهم الانحرافات المضادة، سواء أكان الانحراف إيجابيًّا (+2) أو سلبيًّا (-2)، بالدرجة نفسها في قياس الاختلاف في البيانات. الانحرافات المربعة هي: (x₁ - x)² , (x₂ - x)² , ..., (xₙ - x)²

أما مجموعها فهو: (x₁ - x)² + (x₂ - x)² + ... + (xₙ - x)² = Σ(x - x)² عندما نقسم هذا المجموع على حجم العينة، نحصل على الانحراف المعياري المتوسط. قد يبدو هذا المقياس مقياسًا منطقيًّا للاختلاف في البيانات، غير أننا نستخدم قاسمًا أقل بقليل من (1-n).

استخدام البيانات لدعم عملية اتخاذ القرار

317 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

في هذا المثال، نلاحظ عدم وصف المتوسط الحسابي والوسيط البيانات وصفًا كاملاً. المتوسط الحسابي هو نفسه الوسيط في العينات الثلاث (45 =). وعلى الرغم من ذلك نرى بوضوح اختلاف مجموعات البيانات الواحدة عن الأخرى. فإذا، من المفيد حيازة مقياس يصف مدى اختلاف عناصر مجموعات البيانات عن النقطة الوسطية في المجموعة. أبسط قياس رقمي للاختلاف هو النطاق (المدى) Range. بشكل عام، كلما كان النطاق لمجموعة بيانات كاملة، علمًا بإسهام كل عنصر منها في هذا الاختلاف. في العينتين الأوليتين الموضحتين في المخطط النقطي في الصفحة السابقة، التراوح هو نفسه 70 - 50 = 20، مع العلم يكون درجة الاختلاف أقل في العينة الثانية. لاحتساب النطاق باستخدام القيمة الأعلى والقيمة الأدنى في مجموعة البيانات. ولا يعتبر النطاق أفضل مقياس لدرجة الاختلاف. --- SECTION: لمحة سريعة --- عندما يكون نطاق مجموعة البيانات صغيرًا نسبيًّا، يمكن استخدام النطاق كأداة لتوصيف البيانات. أما عندما يكون نطاق مجموعة البيانات كبيرًا، فيفضل استخدام تقنيات أخرى. --- SECTION: تعريف --- النطاق (المدى) Range: مدى مجموعة البيانات = القيمة الأكبر - القيمة الأصغر تصف لنا مقاييس الاختلاف الأكثر استخدامًا مدى انحراف عناصر العينة عن المتوسط الحسابي "x". عندما نطرح المتوسط الحسابي "x" من كل عنصر نحصل على مجموعة الانحرافات عن المتوسط الحسابي Deviations from the mean. --- SECTION: تعريف --- الانحراف عن المتوسط الحسابي Deviations from the mean: انحرافات عناصر العينة عن المتوسط الحسابي لتمثل الاختلافات (x₁ - x), ..., (xₙ - x) لاحظ كون الانحراف إيجابيًّا في حال كانت قيمة العنصر أعلى من المتوسط الحسابي، وسلبيًّا في حال كانت قيمة العنصر أقل من المتوسط الحسابي. لمنع الانحرافات السلبية والانحرافات الإيجابية من تعديل بعضها بعضًا، نحولها إلى الصيغة التربيعية قبل إضافتها إلى بعضها بعضًا للحصول على المجموع الكلي. وبهذا تساهم الانحرافات المضادة، سواء أكان الانحراف إيجابيًّا (+2) أو سلبيًّا (-2)، بالدرجة نفسها في قياس الاختلاف في البيانات. الانحرافات المربعة هي: (x₁ - x)² , (x₂ - x)² , ..., (xₙ - x)² أما مجموعها فهو: (x₁ - x)² + (x₂ - x)² + ... + (xₙ - x)² = Σ(x - x)² عندما نقسم هذا المجموع على حجم العينة، نحصل على الانحراف المعياري المتوسط. قد يبدو هذا المقياس مقياسًا منطقيًّا للاختلاف في البيانات، غير أننا نستخدم قاسمًا أقل بقليل من (1-n). استخدام البيانات لدعم عملية اتخاذ القرار 317 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447