تدرب وحل المسائل في المتطابقات المثلثية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل من cos 2θ, sin 2θ, cos θ/2, sin θ/2, tan 2θ, tan θ/2 إذا كان: (الأمثلة 1-3)

sin θ = 1/4 ; 0° < θ < 90° (1)

sin θ = 4/5 ; 90° < θ < 180° (2)

cos θ = 3/5 ; 270° < θ < 360° (3)

tan θ = -8/15 ; 90° < θ < 180° (4)

sin θ = 2/3 ; 90° < θ < 180° (5)

sin θ = -15/17 ; π < θ < 3π/2 (6)

tan θ = -2 ; π/2 < θ < π (7)

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

sin π/8 (8)

cos 15° (9)

sin 75° (10)

tan 165° (11)

tan 5π/12 (12)

18) عدد ماخ: ترتبط زاوية رأس المخروط الذي تشكله الأمواج الصوتية الناتجة عن اختراق الطائرة لحاجز الصوت بعدد ماخ M (نسبة إلى عالم الفيزياء السماوي ماخ) وفق العلاقة sin θ = 1/M .

19) إلكترونيات: يمر تيار متردد في دائرة كهربائية. إذا كانت شدة التيار الكهربائي I بالأمبير عند الزمن t ثانية هي I₀ sin tθ ، فإن القدرة P المرتبطة بالمقاومة R تُعطى بالصيغة: P = I₀² R sin² tθ . عبر عن القدرة بدلالة 2tθ cos .

20) كرة قدم: ركل حسن كرة قدم عدة مرات بسرعة ابتدائية مقدارها 95 ft/s . برهن أن المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة متساوية لكل من الزاويتين A = 45° - θ و A = 45° + θ . استعمل الصيغة المعطاة في التمرين 13.

13) كرة قدم: ركل لاعب كرة قدم كرة بزاوية قياسها 37° مع سطح الأرض، وبسرعة ابتدائية متجهة مقدارها 52 ft/s . إذا كانت المسافة الأفقية d التي تقطعها الكرة تُعطى بالصيغة d = 2v² sin θ cos θ / g ، حيث g تسارع الجاذبية الأرضية ويساوي 32 ft/s² ، و v تمثل السرعة الابتدائية المتجهة. (مثال 4)

أوجد القيم الدقيقة لكل من tan 2θ, cos 2θ, sin 2θ, إذا كان:

cos θ = 4/5 ; 0° < θ < 90° (21)

sin θ = 1/3 ; 0 < θ < π/2 (22)

tan θ = -3 ; 90° < θ < 180° (23)

sec θ = -4/3 ; 90° < θ < 180° (24)

cot θ = 3/2 ; 180° < θ < 270° (25)

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (مثال 5)

tan θ = (1 - cos 2θ) / sin 2θ (14)

tan θ/2 = sin θ / (1 + cos θ) (15)

tan 2θ = 2 / (cot θ - tan θ) (16)

sin² θ/2 = (1 - cos θ) / 2 (17)

26) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذه المسألة كيفية إيجاد متطابقة مثلثية اعتمادًا على التمثيل البياني للدوال المثلثية.

وزارة التعليم

155 OF M

2025 - 1447

الدرس 3-4 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها

--- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل من cos 2θ, sin 2θ, cos θ/2, sin θ/2, tan 2θ, tan θ/2 إذا كان: (الأمثلة 1-3) --- SECTION: 1 --- sin θ = 1/4 ; 0° < θ < 90° (1) --- SECTION: 2 --- sin θ = 4/5 ; 90° < θ < 180° (2) --- SECTION: 3 --- cos θ = 3/5 ; 270° < θ < 360° (3) --- SECTION: 4 --- tan θ = -8/15 ; 90° < θ < 180° (4) --- SECTION: 5 --- sin θ = 2/3 ; 90° < θ < 180° (5) --- SECTION: 6 --- sin θ = -15/17 ; π < θ < 3π/2 (6) --- SECTION: 7 --- tan θ = -2 ; π/2 < θ < π (7) أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: --- SECTION: 8 --- sin π/8 (8) --- SECTION: 9 --- cos 15° (9) --- SECTION: 10 --- sin 75° (10) --- SECTION: 11 --- tan 165° (11) --- SECTION: 12 --- tan 5π/12 (12) --- SECTION: 18 --- 18) عدد ماخ: ترتبط زاوية رأس المخروط الذي تشكله الأمواج الصوتية الناتجة عن اختراق الطائرة لحاجز الصوت بعدد ماخ M (نسبة إلى عالم الفيزياء السماوي ماخ) وفق العلاقة sin θ = 1/M . --- SECTION: 19 --- 19) إلكترونيات: يمر تيار متردد في دائرة كهربائية. إذا كانت شدة التيار الكهربائي I بالأمبير عند الزمن t ثانية هي I₀ sin tθ ، فإن القدرة P المرتبطة بالمقاومة R تُعطى بالصيغة: P = I₀² R sin² tθ . عبر عن القدرة بدلالة 2tθ cos . --- SECTION: 20 --- 20) كرة قدم: ركل حسن كرة قدم عدة مرات بسرعة ابتدائية مقدارها 95 ft/s . برهن أن المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة متساوية لكل من الزاويتين A = 45° - θ و A = 45° + θ . استعمل الصيغة المعطاة في التمرين 13. --- SECTION: 13 --- 13) كرة قدم: ركل لاعب كرة قدم كرة بزاوية قياسها 37° مع سطح الأرض، وبسرعة ابتدائية متجهة مقدارها 52 ft/s . إذا كانت المسافة الأفقية d التي تقطعها الكرة تُعطى بالصيغة d = 2v² sin θ cos θ / g ، حيث g تسارع الجاذبية الأرضية ويساوي 32 ft/s² ، و v تمثل السرعة الابتدائية المتجهة. (مثال 4) أوجد القيم الدقيقة لكل من tan 2θ, cos 2θ, sin 2θ, إذا كان: --- SECTION: 21 --- cos θ = 4/5 ; 0° < θ < 90° (21) --- SECTION: 22 --- sin θ = 1/3 ; 0 < θ < π/2 (22) --- SECTION: 23 --- tan θ = -3 ; 90° < θ < 180° (23) --- SECTION: 24 --- sec θ = -4/3 ; 90° < θ < 180° (24) --- SECTION: 25 --- cot θ = 3/2 ; 180° < θ < 270° (25) أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (مثال 5) --- SECTION: 14 --- tan θ = (1 - cos 2θ) / sin 2θ (14) --- SECTION: 15 --- tan θ/2 = sin θ / (1 + cos θ) (15) --- SECTION: 16 --- tan 2θ = 2 / (cot θ - tan θ) (16) --- SECTION: 17 --- sin² θ/2 = (1 - cos θ) / 2 (17) --- SECTION: 26 --- 26) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذه المسألة كيفية إيجاد متطابقة مثلثية اعتمادًا على التمثيل البياني للدوال المثلثية. وزارة التعليم 155 OF M 2025 - 1447 --- SECTION: الدرس 3-4 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها --- الدرس 3-4 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram illustrating the formation of a Mach cone by a supersonic aircraft. The aircraft is shown as a jet flying horizontally, and a cone-shaped shockwave, labeled with angle θ, extends backward from its nose. The diagram visually represents the concept of Mach number and the angle of the shockwave. Trees are visible on the ground below the aircraft. Key Values: Angle θ Context: Illustrates the physical phenomenon described in question 18 related to Mach number and trigonometry. **IMAGE**: Untitled Description: An image of a soccer player in mid-action, kicking a soccer ball. The player is wearing a blue and yellow uniform. The ball is in the air, and a goal net is visible in the background. The image illustrates the context of projectile motion for question 13. Context: Provides a visual context for the physics problem described in question 13, related to projectile motion and trigonometry.