معمل الحاسبة البيانية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص الدرس: معمل الحاسبة البيانية - حل المعادلات المثلثية

يقدم هذا المعمل طريقة استخدام الحاسبة البيانية (TI-nspire) لحل المعادلات المثلثية بيانياً. الفكرة الأساسية هي إعادة كتابة المعادلة على شكل دالتين، y = f_1(x) و y = f_2(x)، ثم تمثيلهما بيانياً. نقاط تقاطع الرسمين البيانيين تمثل حلول المعادلة الأصلية.

الخطوات العامة:

تمثيل الدالتين: إدخال كل طرف من المعادلة كدالة منفصلة في الحاسبة.

ضبط إعدادات النافذة: تحديد مجال القيم المراد البحث ضمنه (مثل 0° \le x \le 360°) ومجال قيم y المناسب.

إيجاد نقاط التقاطع: استخدام أداة "نقاط التقاطع" في الحاسبة للحصول على قيم تقريبية للحلول.

أمثلة توضيحية من النشاطات:

* نشاط 1: حل معادلة لها حلول حقيقية (المعادلة: \sin x = 0.4 ضمن 0° \le x \le 360°).

* بعد تمثيل الدالتين f_1(x) = \sin x و f_2(x) = 0.4، يتقاطعان عند نقطتين.

* الحلول التقريبية: x \approx 23.6° و x \approx 156.4°.

* نشاط 2: حل معادلة ليس لها حلول حقيقية (المعادلة: \tan^2 x \cos x + 3 \cos x = 0 ضمن 0° \le x \le 360°).

* بعد تمثيل الدالتين f_1(x) = \tan^2 x \cos x + 3 \cos x و f_2(x) = 0، لا يوجد أي تقاطع بين الرسمين البيانيين.

* الاستنتاج: المعادلة ليس لها حلول حقيقية في المجال المحدد.

الرسوم البيانية التوضيحية:

* الرسم البياني 148-1: يوضح منحنى الدالة f_1(x) = \sin x (موجة جيبية) مع الخط الأفقي f_2(x) = 0.4. تظهر نقطتا التقاطع بوضوح.

* الرسم البياني 148-2: يوضح منحنى الدالة f_1(x) = \tan^2 x \cos x + 3 \cos x مع محور السينات f_2(x)=0. يظهر المنحنى ولا يتقاطع مع المحور مطلقاً، مما يؤكد عدم وجود حلول.

---

تمارين:

استعمل الحاسبة البيانية لحل المعادلات الآتية لقيم x الموضحة بجانب كل منها:

1. \sin x = 0.7; \quad 0° \le x \le 360°

* طريقة الحل: تمثيل الدالتين y = \sin x و y = 0.7 بيانياً ضمن المجال المحدد.

* الإجابة التقريبية: ستكون نقاط التقاطع عند x \approx 44.4° و x \approx 135.6°.

2. \tan x = \cos x; \quad 0° \le x < 360°

* طريقة الحل: تمثيل الدالتين y = \tan x و y = \cos x بيانياً ضمن المجال المحدد.

* الإجابة التقريبية: ستكون نقاط التقاطع عند x \approx 38.1° و x \approx 218.1°.

3. 3 \cos x + 4 = 0.5; \quad 0° \le x < 360°

* طريقة الحل: تبسيط المعادلة أولاً إلى الصورة \cos x = -1.166.... ثم تمثيل الدالتين y = \cos x و y = -1.166....

* الاستنتاج: بما أن مدى دالة جيب التمام هو [-1, 1]، والقيمة -1.166... خارج هذا المدى، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.

4. 0.25 \cos x = 3.4; \quad -720° \le x < 720°

* طريقة الحل: تبسيط المعادلة أولاً إلى الصورة \cos x = 13.6. ثم تمثيل الدالتين y = \cos x و y = 13.6.

* الاستنتاج: بما أن مدى دالة جيب التمام هو [-1, 1]، والقيمة 13.6 خارج هذا المدى بكثير، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.

5. \sin 2x = \sin x; \quad 0° \le x < 360°

* طريقة الحل: تمثيل الدالتين y = \sin 2x و y = \sin x بيانياً ضمن المجال المحدد.

* الإجابة التقريبية: ستكون نقاط التقاطع عند x = 0°, 60°, 180°, 300°.

6. \sin 2x - 3 \sin x = 0; \quad -360° \le x < 360°

* طريقة الحل: تمثيل الدالة y = \sin 2x - 3 \sin x ومحور السينات y=0 بيانياً ضمن المجال المحدد.

* الإجابة التقريبية: ستكون نقاط التقاطع (جذور المعادلة) عند x = -360°, -180°, 0°, 180°.

معمل الحاسبة البيانية: حل المعادلات المثلثية

استكشاف 3-5

حل المعادلات المثلثية Solving Trigonometric Equations

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

التمثيل البياني للدالة المثلثية مكون من النقط التي إحداثياتها تحقق الدالة. ولحل المعادلة المثلثية، نحتاج إلى إيجاد قيم المتغير x التي تحقق المعادلة جميعها. بإمكانك استعمال الحاسبة البيانية TI-nspire لحل المعادلات باستعمال التمثيل، وذلك بتمثيل كل من طرفي المعادلة بوصفها دالة على حدة، ثم إيجاد نقاط التقاطع.

معادلة مثلثية بحلول حقيقية

نشاط 1 استعمل الحاسبة البيانية لحل المعادلة 0.4 = sin x ، إذا كانت 0° ≤ x ≤ 360°. الخطوة 1: تمثيل الدالتين بيانياً • اضبط الحاسبة على نظام الدرجات بالضغط على مفتاح on ثم 5 الإعدادات ثم 2 إعدادات المستند ثم الزاوية: درجة. • أعد كتابة المعادلة على شكل دالتين 0.4 = f2 (x) و sin x = f1 (x) . • مثل الدالتين بيانياً بالضغط على المفاتيح: on trig sin x enter tab 0.4 enter • حدد فترة الرسم المطلوبة بالضغط على menu واختر منها 4: تكبير / تصغير النافذة ثم 1: إعدادات النافذة وحدد القيمة الصغرى لـ x بـ 0° ، والقيمة العظمى لـ x بـ 360° ، وكذلك حدد القيمة الصغرى لـ y بـ 1- ، والقيمة العظمى لـ y بـ 1. الخطوة 2: تحديد الحلول استعمل ميزة نقاط التقاطع في إيجاد قيم تقريبية للحلول بالضغط على menu واختر منها 6: تحليل الرسم البياني ثم 4: نقاط التقاطع ، واضغط في أي نقطة على الشاشة وحرك المؤشر مروراً بكل نقاط التقاطع في 0° ≤ x ≤ 360° ، ستكون الحلول هي: x ≈ 23.6° , x ≈ 156.0°.

معادلة مثلثية ليس لها حلول حقيقية

نشاط 2 استعمل الحاسبة البيانية لحل المعادلة 0 = tan² x cos x + 3 cos x ، إذا كانت 0° ≤ x ≤ 360°. الخطوة 1: تمثيل الدالتين بيانياً • أعد كتابة المعادلة على شكل دالتين 0 = f2 (x) و tan² x cos x + 3 cos x = f1 (x) . • مثل الدالتين بيانياً بالضغط على المفاتيح: on trig tan x ^ 2 trig cos x + 3 trig cos x enter tab 0 enter الخطوة 2: تحديد الحلول هاتان الدالتان لا تتقاطعان؛ لذلك ليس للمعادلة: 0 = tan² x cos x + 3 cos x حلول حقيقية.

تمارين:

استعمل الحاسبة البيانية لحل المعادلات الآتية لقيم x الموضحة بجانب كل منها:

1. sin x = 0.7; 0° ≤ x ≤ 360°

2. tan x = cos x; 0° ≤ x < 360°

3. 3 cos x + 4 = 0.5; 0° ≤ x < 360°

4. 0.25 cos x = 3.4; -720° ≤ x < 720°

5. sin 2x = sin x; 0° ≤ x < 360°

6. sin 2x - 3 sin x = 0; -360° ≤ x < 360°

استكشاف 5-3 معمل الحاسبة البيانية: حل المعادلات المثلثية 157

--- SECTION: معمل الحاسبة البيانية --- معمل الحاسبة البيانية: حل المعادلات المثلثية --- SECTION: استكشاف --- استكشاف 3-5 حل المعادلات المثلثية Solving Trigonometric Equations --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa التمثيل البياني للدالة المثلثية مكون من النقط التي إحداثياتها تحقق الدالة. ولحل المعادلة المثلثية، نحتاج إلى إيجاد قيم المتغير x التي تحقق المعادلة جميعها. بإمكانك استعمال الحاسبة البيانية TI-nspire لحل المعادلات باستعمال التمثيل، وذلك بتمثيل كل من طرفي المعادلة بوصفها دالة على حدة، ثم إيجاد نقاط التقاطع. --- SECTION: معادلة مثلثية بحلول حقيقية --- معادلة مثلثية بحلول حقيقية --- SECTION: نشاط 1 --- نشاط 1 استعمل الحاسبة البيانية لحل المعادلة 0.4 = sin x ، إذا كانت 0° ≤ x ≤ 360°. الخطوة 1: تمثيل الدالتين بيانياً • اضبط الحاسبة على نظام الدرجات بالضغط على مفتاح on ثم 5 الإعدادات ثم 2 إعدادات المستند ثم الزاوية: درجة. • أعد كتابة المعادلة على شكل دالتين 0.4 = f2 (x) و sin x = f1 (x) . • مثل الدالتين بيانياً بالضغط على المفاتيح: on trig sin x enter tab 0.4 enter • حدد فترة الرسم المطلوبة بالضغط على menu واختر منها 4: تكبير / تصغير النافذة ثم 1: إعدادات النافذة وحدد القيمة الصغرى لـ x بـ 0° ، والقيمة العظمى لـ x بـ 360° ، وكذلك حدد القيمة الصغرى لـ y بـ 1- ، والقيمة العظمى لـ y بـ 1. الخطوة 2: تحديد الحلول استعمل ميزة نقاط التقاطع في إيجاد قيم تقريبية للحلول بالضغط على menu واختر منها 6: تحليل الرسم البياني ثم 4: نقاط التقاطع ، واضغط في أي نقطة على الشاشة وحرك المؤشر مروراً بكل نقاط التقاطع في 0° ≤ x ≤ 360° ، ستكون الحلول هي: x ≈ 23.6° , x ≈ 156.0°. --- SECTION: معادلة مثلثية ليس لها حلول حقيقية --- معادلة مثلثية ليس لها حلول حقيقية --- SECTION: نشاط 2 --- نشاط 2 استعمل الحاسبة البيانية لحل المعادلة 0 = tan² x cos x + 3 cos x ، إذا كانت 0° ≤ x ≤ 360°. الخطوة 1: تمثيل الدالتين بيانياً • أعد كتابة المعادلة على شكل دالتين 0 = f2 (x) و tan² x cos x + 3 cos x = f1 (x) . • مثل الدالتين بيانياً بالضغط على المفاتيح: on trig tan x ^ 2 trig cos x + 3 trig cos x enter tab 0 enter الخطوة 2: تحديد الحلول هاتان الدالتان لا تتقاطعان؛ لذلك ليس للمعادلة: 0 = tan² x cos x + 3 cos x حلول حقيقية. --- SECTION: تمارين --- تمارين: --- SECTION: instruction --- استعمل الحاسبة البيانية لحل المعادلات الآتية لقيم x الموضحة بجانب كل منها: --- SECTION: 1 --- 1. sin x = 0.7; 0° ≤ x ≤ 360° --- SECTION: 2 --- 2. tan x = cos x; 0° ≤ x < 360° --- SECTION: 3 --- 3. 3 cos x + 4 = 0.5; 0° ≤ x < 360° --- SECTION: 4 --- 4. 0.25 cos x = 3.4; -720° ≤ x < 720° --- SECTION: 5 --- 5. sin 2x = sin x; 0° ≤ x < 360° --- SECTION: 6 --- 6. sin 2x - 3 sin x = 0; -360° ≤ x < 360° --- SECTION: استكشاف 5-3 --- استكشاف 5-3 معمل الحاسبة البيانية: حل المعادلات المثلثية 157 --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: رابط الدرس الرقمي Description: A QR code for the digital lesson link. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Context: Provides a digital link for further learning. **GRAPH**: Graph for sin x = 0.4 Description: The graph displays two functions: a sine wave (f1(x)=sin(x)) and a horizontal line (f2(x)=0.4). The sine wave starts at (0,0), rises to a peak, crosses the x-axis, dips to a trough, and returns to the x-axis at (360,0). The horizontal line is at y=0.4. The intersection points of these two functions represent the solutions to sin x = 0.4. X-axis: x Y-axis: y Data: The sine wave f1(x) oscillates between -1 and 1. The horizontal line f2(x) is constant at 0.4. The intersection points are labeled as (23.6, 0.4) and (156.0, 0.4). Key Values: x values for intersection: 23.6, 156.0 Context: This graph is used to visually solve the trigonometric equation sin x = 0.4 by finding the x-coordinates of the intersection points between y=sin(x) and y=0.4 within the domain 0° ≤ x ≤ 360°. **GRAPH**: Graph for tan² x cos x + 3 cos x = 0 Description: The graph displays two functions: a complex curve f1(x) and the x-axis (f2(x)=0). The curve f1(x) starts at (0,3), dips to a local minimum at (180,-3), and returns to (360,3). It has vertical asymptotes at x=90° and x=270° where the function values approach positive and negative infinity respectively. The graph shows no intersection points between f1(x) and f2(x)=0. X-axis: x Y-axis: y Data: The curve f1(x) shows values ranging from -3 to positive infinity (near asymptotes). It does not intersect the x-axis (f2(x)=0) within the given domain. Context: This graph is used to visually solve the trigonometric equation tan² x cos x + 3 cos x = 0 by finding the x-coordinates of the intersection points between y=tan² x cos x + 3 cos x and y=0 (the x-axis) within the domain 0° ≤ x ≤ 360°. The absence of intersection points indicates no real solutions for the equation.