📄 النص الكامل للصفحة
3-5
--- SECTION: فيما سبق ---
درست المتطابقات المثلثية.
(الدروس من 2-3 إلى 4-3)
--- SECTION: والآن ---
أحل المعادلات المثلثية.
أفسر الحلول الدخيلة للمعادلات المثلثية.
--- SECTION: المفردات ---
المعادلات المثلثية
trigonometric equations
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
حل المعادلات المثلثية
حل معادلة مثلثية يعني إيجاد قيم المتغير جميعها التي تحقق المعادلة.
حل المعادلات المثلثية
Solving Trigonometric Equations
--- SECTION: المعادلات ---
عند ركوبك عجلة دوارة قطرها 40m ، وتدور بمعدل 1.5 دورة كل دقيقة، فإنه يمكن تمثيل ارتفاع مقعدك فوق سطح الأرض، بالأمتار بعد t دقيقة بالمعادلة:
h = 21 - 20 cos 3πt
بعد كم دقيقة من بدء حركة العجلة يكون مقعدك على ارتفاع 31m عن سطح الأرض للمرة الأولى؟
--- SECTION: رابط الدرس الرقمي ---
www.ien.edu.sa
--- SECTION: حل المعادلات المثلثية ---
درست نوعًا خاصًا من المعادلات المثلثية هو المتطابقات. والمتطابقات المثلثية معادلات تكون صحيحة للقيم جميعها التي يكون عندها المتغير معرفًا. وفي هذا الدرس سوف تتعلم حل المعادلات المثلثية التي تكون صحيحة عند قيم محددة للمتغير.
حل المعادلات على فترة معطاة
حل كلا من المعادلتين الآتيتين:
(a) sin θ cos θ - ½ cos θ = 0 ، إذا كانت 0° ≤ θ ≤ 180°.
sin θ cos θ - ½ cos θ = 0
المعادلة الأصلية
cos θ (sin θ - ½) = 0
حل بأخذ عامل مشترك
cos θ = 0 أو sin θ - ½ = 0
خاصية الضرب الصفري
sin θ = ½
θ = 90° أو θ = 270°
θ = 30° أو θ = 150°
الحلول هي 30°, 90°, 150° فقط؛ لأن 0° ≤ θ ≤ 180°.
التحقق
يمكنك التحقق من صحة الحل بالتمثيل البياني لكل من:
y = sin θ cos θ و y = ½ cos θ على المستوى الإحداثي نفسه، ثم إيجاد نقط تقاطع التمثيلين البيانيين. بإمكانك أن تلاحظ أنه يوجد عدد لا نهائي من هذه النقط، ولكننا نهتم بالنقط الموجودة في الفترة بين 0° و 180° فقط.
(b) 2 sin² θ - 3 sin θ - 2 = 0 ، إذا كان 0 ≤ θ ≤ 2π.
2 sin² θ - 3 sin θ - 2 = 0
المعادلة الأصلية
(sin θ - 2)(2 sin θ + 1) = 0
حل
sin θ - 2 = 0 أو 2 sin θ + 1 = 0
خاصية الضرب الصفري
sin θ = 2
2 sin θ = -1
sin θ = -½
sin θ = 2 ليس لها حل؛ لأن كل قيمة من قيم sin θ يجب أن تقع في الفترة [1-, 1].
θ = 7π/6 , 11π/6
لذلك يكون للمعادلة حلان هما: 7π/6 , 11π/6
وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية
158
--- VISUAL CONTEXT ---
**IMAGE**: Untitled
Description: An image of a large Ferris wheel with many cabins, set against a backdrop of mountains and a clear sky. The Ferris wheel is yellow and red, and there are some smaller structures and trees visible at its base.
Context: This image illustrates a real-world scenario (a Ferris wheel ride) that can be modeled using trigonometric equations, as described in the accompanying text.
**GRAPH**: Untitled
Description: A Cartesian coordinate graph displaying two trigonometric functions, f1(x)=sin(x)cos(x) and f2(x)=0.5cos(x), over the domain 0 to 360 degrees. The graph shows their curves and points of intersection.
X-axis: x (degrees)
Y-axis: y
Data: The graph shows two curves. The first curve, f1(x)=sin(x)cos(x), starts at (0,0), peaks around (45, 0.5), crosses the x-axis at (90,0), troughs around (135, -0.5), and crosses the x-axis at (180,0). The second curve, f2(x)=0.5cos(x), starts at (0, 0.5), crosses the x-axis at (90,0), troughs at (180, -0.5), and crosses the x-axis at (270,0). The intersection points of these two curves are explicitly marked.
Key Values: Intersection point 1: (30, 0.433), Intersection point 2: (90, 0), Intersection point 3: (150, -0.433), Intersection point 4: (270, 0)
Context: This graph is used for visual verification of the solutions to the trigonometric equation sin θ cos θ - ½ cos θ = 0. The intersection points of y = sin θ cos θ and y = ½ cos θ correspond to the solutions of the equation.