حل المعادلات المثلثية والحلول الدخيلة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: Introduction to special angles --- ومن قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة نعلم أن: --- SECTION: Trigonometric equation derivation --- cos (2π/3) = cos (4π/3) = -1/2 2π/3 + 2πk = 3πt أو 4π/3 + 2πk = 3πt اقسم كلا الطرفين على 3π 2/9 + 2k/3 = t 4/9 + 2k/3 = t k أي عدد صحيح أكبر من أو يساوي الصفر. إذا أقل قيمة لـ t نحصل عليها عندما تكون 0 = k في المساواة 2/9 + 2k/3 = t لذلك، t = 2/9 وهذا يعني أن ارتفاع مقعدك يكون 31 مترًا للمرة الأولى بعد 2/9 دقيقة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- كم من الوقت تحتاج من بداية دوران العجلة، ليكون ارتفاع مقعدك 41 مترًا فوق سطح الأرض للمرة الأولى؟ --- SECTION: الحلول الدخيلة --- الحلول الدخيلة --- SECTION: Explanation of Extraneous Solutions --- بعض المعادلات المثلثية ليس لها حل. فعلى سبيل المثال، المعادلة 4 = θ cos ليس لها حل؛ لأن قيم θ cos جميعها تقع في الفترة [1- ، 1]. كما أن بعض المعادلات المثلثية تعطي حلولاً لا تحقق المعادلة الأصلية، وتسمى مثل هذه الحلول حلولاً دخيلة. --- SECTION: Instruction on verification --- إذا لم تتمكن من حل معادلة بالتحليل إلى العوامل، فحاول إعادة كتابة العبارات التي تتضمنها باستعمال المتطابقات المثلثية. وقد يقودنا استعمال العمليات الجبرية، كالتربيع مثلاً إلى حلول دخيلة. لذا، من الضروري التحقق من حلولك باستعمال المعادلات الأصلية. --- SECTION: مثال 4 حل معادلات مثلثية مع وجود حلول دخيلة --- مثال 4 حل معادلات مثلثية مع وجود حلول دخيلة --- SECTION: Example 4 Problem --- حل المعادلة: 0 = 1 + cos θ + sin θ إذا كان 360° ≥ θ ≥ 0° --- SECTION: Example 4 Solution Steps (Right Column) --- sin θ = 1 + cos θ sin² θ = (1 + cos θ)² 1 - cos² θ = 1 + 2 cos θ + cos² θ 0 = 2 cos θ + 2 cos² θ 0 = 2 cos θ (1 + cos θ) 2 cos θ = 0 أو 1 + cos θ = 0 cos θ = 0 أو cos θ = -1 θ = 90°, 270° أو θ = 180° --- SECTION: Example 4 Solution Steps (Left Column Labels) --- المعادلة الأصلية ربع sin² θ = 1 - cos² θ بطرح 1 من الطرفين، وإضافة cos² θ لكلا الطرفين حل خاصية الضرب الصفري --- SECTION: Example 4 Verification (Right Column) --- التحقق: sin θ = 1 + cos θ sin 180° = 1 + cos 180° 0 = 1 + (-1) 0 = 0 ✓ --- SECTION: Example 4 Verification (Left Column) --- sin θ = 1 + cos θ sin 90° = 1 + cos 90° 1 = 1 + 0 1 = 1 ✓ sin θ = 1 + cos θ sin 270° = 1 + cos 270° -1 = 1 + 0 -1 ≠ 1 X إذن 270° حلاً دخيلاً --- SECTION: Example 4 Conclusion --- إذن للمعادلة حلان هما 90°, 180°. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- cos² θ + 3 = 4 - sin² θ --- SECTION: Ministry of Education Footer --- وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- SECTION: Page Footer --- الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 160