القطع المكافئ - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

افترض أن (P(x, y نقطة على القطع المكافئ كما في الشكل المجاور، والذي رأسه (V(h, k وبؤرته (F(h + c, k، حيث |c| = FV هو البعد بين الرأس والبؤرة. وبناءً على تعريف القطع المكافئ فإن البعد بين أي نقطة على القطع والبؤرة يجب أن يساوي بعد هذه النقطة عن الدليل. لذا إذا كان |c| = FV فإن |VT| = |c|. نعلم من تعريف القطع المكافئ أن PF = PM. وبما أن M واقعة على الدليل، فإن إحداثيي M هما (h - c, y)، ويمكنك استعمال صيغة المسافة بين نقطتين لإيجاد معادلة القطع المكافئ. PF = PM قانون المسافة بين نقطتين √(x - (h + c))² + (y - k)² = √(x - (h - c))² + (y - y)² ربع الطرفين (x - (h + c))² + (y - k)² = (x - (h - c))² + 0² فك الأقواس x² - 2x(h + c) + (h + c)² + (y - k)² = x² - 2x(h - c) + (h - c)² فك الأقواس x² - 2xh - 2xc + h² + 2hc + c² + (y - k)² = x² - 2xh + 2xc + h² - 2hc + c² بسط (y - k)² = 4xc - 4hc حل (y - k)² = 4c(x - h) أي أن معادلة القطع المكافئ المفتوح أفقيًا (إلى اليمين أو إلى اليسار) هي (y - k)² = 4c(x - h). وبالمثل فإن معادلة القطع المكافئ المفتوح رأسيًا (إلى أعلى أو إلى أسفل) هي: (x - h)² = 4c(y - k). وهاتان هما المعادلتان القياسيتان للقطع المكافئ، حيث 0 ≠ c. وتحدد قيم الثوابت c, h, k خصائص القطع المكافئ مثل إحداثيات رأس القطع واتجاهه. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- اتجاه فتحة منحنى القطع ستلاحظ في هذا الدرس أن منحنيات القطع المكافئ مفتوحة رأسيًا (إلى أعلى أو إلى أسفل)، أو أفقيًا (إلى اليمين أو اليسار). يمكنك استعمال الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ لتحديد خصائصه مثل الرأس والبؤرة والدليل. وزارة التعليم الدرس 1-4 القطوع المكافئة 173 of 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A Cartesian coordinate system showing a parabola opening to the right. Key points and lines are labeled. The vertex V is at (h, k), the focus F is at (h + c, k), and a point P(x, y) is on the parabola. A point M(h - c, y) is on the directrix, which is the vertical line x = h - c. The axis of symmetry is the horizontal line y = k. Point T is shown on the directrix, forming a perpendicular from P to the directrix. X-axis: x Y-axis: y Data: Illustrates the geometric definition of a parabola where the distance from any point P on the parabola to the focus F is equal to the distance from P to the directrix (PM). Key Values: P(x, y), F(h + c, k), V(h, k), M(h - c, y), الدليل: x = h - c, المحور: y = k, O (Origin) Context: This diagram visually represents the definition of a parabola and the relationship between its key components (vertex, focus, directrix, and axis of symmetry) in the context of its standard equation derivation. **TABLE**: المعادلة في الصورة القياسية: (y - k)² = 4c(x - h) Description: A table summarizing the properties of horizontal parabolas, presented with two illustrative graphs. One graph shows a parabola opening to the left (c < 0), and the other shows a parabola opening to the right (c > 0). Table Structure: Headers: الاتجاه | الرأس | البؤرة | معادلة محور التماثل | معادلة الدليل | طول الوتر البؤري Rows: Row 1: المنحنى مفتوح أفقيًا | (h, k) | (h + c, k) | y = k | x = h - c | |4c| Row 2: c < 0 | c > 0 | | | | Empty cells: The cells for 'الاتجاه', 'الرأس', 'البؤرة', 'معادلة محور التماثل', 'معادلة الدليل', 'طول الوتر البؤري' under 'c > 0' are implicitly the same as for 'c < 0' but with the graph opening in the opposite direction. Calculation needed: No calculations are needed to fill empty cells; the properties are identical for both c < 0 and c > 0, only the visual direction changes. Data: The table provides the direction, vertex, focus, equation of the axis of symmetry, equation of the directrix, and length of the latus rectum for horizontal parabolas, differentiating between cases where c is negative (opening left) and c is positive (opening right). Context: This table serves as a quick reference for understanding and identifying the characteristics of horizontal parabolas based on their standard equation and the sign of 'c'. **TABLE**: المعادلة في الصورة القياسية: (x - h)² = 4c(y - k) Description: A table summarizing the properties of vertical parabolas, presented with two illustrative graphs. One graph shows a parabola opening downwards (c < 0), and the other shows a parabola opening upwards (c > 0). Table Structure: Headers: الاتجاه | الرأس | البؤرة | معادلة محور التماثل | معادلة الدليل | طول الوتر البؤري Rows: Row 1: المنحنى مفتوح رأسيًا | (h, k) | (h, k + c) | x = h | y = k - c | |4c| Row 2: c < 0 | c > 0 | | | | Empty cells: The cells for 'الاتجاه', 'الرأس', 'البؤرة', 'معادلة محور التماثل', 'معادلة الدليل', 'طول الوتر البؤري' under 'c > 0' are implicitly the same as for 'c < 0' but with the graph opening in the opposite direction. Calculation needed: No calculations are needed to fill empty cells; the properties are identical for both c < 0 and c > 0, only the visual direction changes. Data: The table provides the direction, vertex, focus, equation of the axis of symmetry, equation of the directrix, and length of the latus rectum for vertical parabolas, differentiating between cases where c is negative (opening down) and c is positive (opening up). Context: This table serves as a quick reference for understanding and identifying the characteristics of vertical parabolas based on their standard equation and the sign of 'c'.