📄 النص الكامل للصفحة
لكتابة معادلة القطع الناقص على الصورة القياسية، إذا علمت بعض خصائصه، فإنك تحتاج إلى استعمال بعض الصيغ الرياضية مثل صيغة نقطة المنتصف.
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
الاتجاه
إذا كان ترأسي القطع الناقص الإحداثي y نفسه، فإن المحور الأكبر يكون أفقياً، وإذا كان لهما الإحداثي x نفسه، فإن المحور الأكبر يكون رأسياً.
--- SECTION: كتابة معادلة القطع الناقص إذا علمت بعض خصائصه ---
كتابة معادلة القطع الناقص إذا علمت بعض خصائصه
--- SECTION: مثال 2 ---
اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:
a) الرأسان (8-, 2-)، (6-, 2)، والرأسان المرافقان (3-, 9-)، (3-, 3-).
نصف طول المحور الأكبر
1/2 a = √((-6 - 2)² + (-3 - (-3))²) = 5
نصف طول المحور الأصغر
1/2 b = √((-3 - (-3))² + (-3 - 9)²) = 3
مركز القطع الناقص هو منتصف المحور الأكبر.
صيغة نقطة المنتصف
(h, k) = ((-6 + (-6))/2, (2 + (-8))/2)
بسط
= (-6, -3)
وبما أن الإحداثيين x لنهايتي المحور الأكبر متساويان، فإن المحور الأكبر رأسي، ومعادلة القطع الناقص هي:
((y + 3)²)/25 + ((x + 6)²)/9 = 1
. والتمثيل البياني لمنحناه كما في الشكل 4.2.1.
b) الرأسان (4, 6)، (4-, 4)، والبؤرتان (4, 4)، (2-, 4).
طول المحور الأكبر 2a، وهي المسافة بين الرأسين.
صيغة المسافة
2a = √((4 - 4)² + (6 - (-4))²)
بسط
a = 5
المسافة بين البؤرتين هي 2c:
صيغة المسافة
2c = √((4 - 4)² + (4 - (-2))²)
بسط
c = 3
أوجد قيمة b.
العلاقة بين a, b, c
c² = a² - b²
3² = 5² - b²
بسط
b = 4
وبما أن الرأسين على بعدين متساويين من المركز، فإن إحداثيي المركز هما:
صيغة نقطة المنتصف
(h, k) = ((-4 + 6)/2, (4 + 4)/2)
بسط
= (1, 4)
وبما أن الإحداثيين y لنهايتي المحور الأكبر متساويان، فإن المحور الأكبر أفقي، ومعادلة القطع الناقص هي:
((x - 1)²)/25 + ((y - 4)²)/16 = 1
والتمثيل البياني لمنحناه كما في الشكل 4.2.2.
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك
--- SECTION: 2A ---
2A) البؤرتان (3, 19)، (3, 7-)، وطول المحور الأكبر 30 وحدة.
--- SECTION: 2B ---
2B) الرأسان (8, 2-)، (4-, 2-)، وطول المحور الأصغر 10 وحدات.
--- SECTION: الاختلاف المركزي ---
الاختلاف المركزي
الاختلاف المركزي للقطع الناقص هو نسبة c إلى a. وتقع هذه القيمة دائماً بين 0 و 1، وتحدد مدى "اتساع" القطع الناقص.
--- SECTION: مفهوم أساسي ---
الاختلاف المركزي
لأي قطع ناقص 1 = ((x - h)²)/b² + ((y - k)²)/a² أو 1 = ((x - h)²)/a² + ((y - k)²)/b²، فإن الاختلاف المركزي يُعطى بالصيغة e = c/a.
الدرس 4-2 القطوع الناقصة والدوائر
183
--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: الشكل 4.2.1
Description: A diagram of a vertically oriented ellipse on a coordinate plane. The center of the ellipse appears to be at (-6, -3). The vertices are at (-6, 2) and (-6, -8). The co-vertices are at (-9, -3) and (-3, -3). The x-axis and y-axis are labeled.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The ellipse is elongated along the y-axis. Grid lines are visible, indicating integer coordinates.
Key Values: Center: (-6, -3), Vertex 1: (-6, 2), Vertex 2: (-6, -8), Co-vertex 1: (-9, -3), Co-vertex 2: (-3, -3)
Context: Illustrates the ellipse described in Example 2, part (a), showing its orientation and key points.
**FIGURE**: الشكل 4.2.2
Description: A diagram of a horizontally oriented ellipse on a coordinate plane. The center of the ellipse appears to be at (1, 4). The vertices are at (6, 4) and (-4, 4). The co-vertices are at (1, 8) and (1, 0). The x-axis and y-axis are labeled, with the origin (O) visible.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The ellipse is elongated along the x-axis. Grid lines are visible, indicating integer coordinates.
Key Values: Center: (1, 4), Vertex 1: (6, 4), Vertex 2: (-4, 4), Co-vertex 1: (1, 8), Co-vertex 2: (1, 0), Origin: O
Context: Illustrates the ellipse described in Example 2, part (b), showing its orientation and key points.