📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: تحديد خصائص القطع الناقص وتمثيل منحناه بيانيًا ---
تحديد خصائص القطع الناقص وتمثيل منحناه بيانيًا
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة
اتجاه القطع الناقص
إذا كان (x - h)2 مقسومًا على a2 في الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص، فإن المحور الأكبر يكون أفقيًا. أما إذا كان (y - k)2 مقسومًا على a2 فإن المحور الأكبر يكون رأسيًا، حيث b2 > a2 دائمًا.
--- SECTION: مثال 1 ---
مثال 1
--- SECTION: مثال 1 (a) ---
حدد خصائص القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانيًا:
(x - 3)² / 36 + (y + 1)² / 9 = 1 (a)
المعادلة مكتوبة على الصورة القياسية، حيث
h = 3, k = -1, a = √36 = 6, b = √9 = 3, c = √27 = 3√3
استعمل هذه القيم لتحديد خصائص القطع الناقص.
الاتجاه: أفقي
المركز: (3, -1)
البؤرتان: (3 ± 3√3, -1)
الرأسان: (9, -1) و (-3, -1)
الرأسان المرافقان: (3, 2) و (3, -4)
المحور الأكبر: y = k = -1, وطوله 2a = 12
المحور الأصغر: x = h = 3, وطوله 2b = 6
عين المركز والرؤوس والبؤرتين والمحورين، ثم ارسم منحنى يمر بالرؤوس ويكون متماثلاً حول المحورين الأكبر والأصغر.
--- SECTION: مثال 1 (b) ---
4x² + y² - 24x + 4y + 24 = 0 (b)
اكتب المعادلة على الصورة القياسية أولاً.
المعادلة الأصلية: 4x² + y² - 24x + 4y + 24 = 0
جمع الحدود المتشابهة: (4x² - 24x) + (y² + 4y) = -24
حلل: 4(x² - 6x) + (y² + 4y) = -24
أكمل المربعين: 4(x² - 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = -24 + 4(9) + 4
حلل وبسط: 4(x - 3)² + (y + 2)² = 16
اقسم الطرفين على 16: (x - 3)² / 4 + (y + 2)² / 16 = 1
المعادلة الآن مكتوبة على الصورة القياسية، حيث:
h = 3, k = -2, a = √16 = 4, b = √4 = 2, c = √12 = 2√3
استعمل هذه القيم لتحديد خصائص القطع الناقص.
الاتجاه: رأسي
المركز: (3, -2)
البؤرتان: (3, -2 ± 2√3)
الرأسان: (3, 2) و (3, -6)
الرأسان المرافقان: (1, -2) و (5, -2)
المحور الأكبر: x = h = 3, وطوله 2a = 8
المحور الأصغر: y = k = -2, وطوله 2b = 4
عين المركز والرؤوس والبؤرتين والمحورين، واستعن ببعض النقاط الأخرى التي تحقق معادلة القطع الناقص، ثم ارسم منحنى يمر بالرؤوس ويكون متماثلاً حول المحورين الأكبر والأصغر.
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك
--- SECTION: 1A ---
(x - 6)² / 9 + (y + 3)² / 16 = 1 (1A)
--- SECTION: 1B ---
x² + 4y² + 4x - 40y + 103 = 0 (1B)
وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
الفصل 4 القطوع المخروطية 182
--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A Cartesian coordinate system with an ellipse plotted. The ellipse is horizontally oriented, centered at (3, -1). Its major axis extends from (-3, -1) to (9, -1) along the x-axis. Its minor axis extends from (3, -4) to (3, 2) along the y-axis. The foci are not explicitly marked but would be on the major axis. Grid lines are present for x from -8 to 12 and y from -8 to 8.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The ellipse passes through points (-3, -1), (3, 2), (9, -1), and (3, -4). The center is marked with a cross at (3, -1).
Key Values: Center: (3, -1), Vertices: (-3, -1), (9, -1), Co-vertices: (3, 2), (3, -4)
Context: Illustrates the graphical representation of the ellipse described in Example 1(a), showing its center, vertices, and co-vertices.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A Cartesian coordinate system with an ellipse plotted. The ellipse is vertically oriented, centered at (3, -2). Its major axis extends from (3, -6) to (3, 2) along the y-axis. Its minor axis extends from (1, -2) to (5, -2) along the x-axis. Grid lines are present for x from 0 to 8 and y from -8 to 4.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The ellipse passes through points (3, 2), (1, -2), (5, -2), and (3, -6). The center is marked with a cross at (3, -2).
Key Values: Center: (3, -2), Vertices: (3, 2), (3, -6), Co-vertices: (1, -2), (5, -2)
Context: Illustrates the graphical representation of the ellipse described in Example 1(b), showing its center, vertices, and co-vertices after converting the general equation to standard form.