الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص --- الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص افترض أن (x, y) P نقطة على منحنى القطع الناقص الذي مركزه (h, k) C ومحوره الأكبر أفقي، وإحداثيات بؤرتيه ورؤوسه موضحة في الشكل المجاور. وباستعمال تعريف القطع الناقص، فإن مجموع بعدي أي نقطة على المنحنى عن البؤرتين ثابت، لذا فإن PF1 + PF2 = 2a. --- SECTION: PF1 + PF2 = 2a --- PF1 + PF2 = 2a --- SECTION: تعريف القطع الناقص --- √(x - (h - c))² + (y - k)² + √(x - (h + c))² + (y - k)² = 2a --- SECTION: صيغة المسافة --- √(x - h + c)² + (y - k)² + √(x - h - c)² + (y - k)² = 2a --- SECTION: خاصية التوزيع ثم التجميع --- √(x - h + c)² + (y - k)² = 2a - √(x - h - c)² + (y - k)² --- SECTION: اطرح --- (x - h + c)² + (y - k)² = 4a² - 4a√(x - h - c)² + (y - k)² + (x - h - c)² + (y - k)² --- SECTION: ربع الطرفين، ثم أوجد مفكوك مربع مجموع (أو الفرق) بين حدين --- (x - h)² + 2c(x - h) + c² + (y - k)² = 4a² - 4a√(x - h - c)² + (y - k)² + (x - h)² - 2c(x - h) + c² + (y - k)² --- SECTION: بسط --- 4c(x - h) = 4a² - 4a√(x - h - c)² + (y - k)² --- SECTION: اقسم كلا الطرفين على 4 --- c(x - h) = a² - a√(x - h - c)² + (y - k)² --- SECTION: ربع الطرفين --- a√(x - h - c)² + (y - k)² = a² - c(x - h) --- SECTION: خاصية التوزيع --- a²[(x - h - c)² + (y - k)²] = a⁴ - 2a²c(x - h) + c²(x - h)² --- SECTION: بسط --- a²(x - h)² - 2a²c(x - h) + a²c² + a²(y - k)² = a⁴ - 2a²c(x - h) + c²(x - h)² --- SECTION: a² - c² = b² --- a²(x - h)² + a²c² + a²(y - k)² = a⁴ + c²(x - h)² --- SECTION: b²(x - h)² + a²(y - k)² = a²b² --- b²(x - h)² + a²(y - k)² = a²b² --- SECTION: اقسم الطرفين على a²b² --- (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه (h, k)، حيث b > a و 1 = (x - h)² / a² + (y - k)² / b²، ويكون المحور الأكبر عندها أفقيًا، وفي الصورة القياسية 1 = (x - h)² / b² + (y - k)² / a² يكون المحور الأكبر رأسيًا. --- SECTION: مفهوم أساسي --- خصائص القطع الناقص المعادلة في الصورة القياسية: (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 الاتجاه: المحور الأكبر أفقي المركز: (h, k) البؤرتان: (h ± c, k) الرأسان: (h ± a, k) الرأسان المرافقان: (h, k ± b) المحور الأكبر: y = k وطوله = 2a المحور الأصغر: x = h وطوله = 2b العلاقة بين c, a, b: c² = a² - b² أو c = √a² - b² طول البعد البؤري: 2C المعادلة في الصورة القياسية: (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1 الاتجاه: المحور الأكبر رأسي المركز: (h, k) البؤرتان: (h, k ± c) الرأسان: (h, k ± a) الرأسان المرافقان: (h ± b, k) المحور الأكبر: x = h وطوله = 2a المحور الأصغر: y = k وطوله = 2b العلاقة بين c, a, b: c² = a² - b² أو c = √a² - b² طول البعد البؤري: 2C --- SECTION: إرشادات للدراسة --- البعد البؤري المسافة بين البؤرتين تسمى البعد البؤري. لرسم القطع الناقص نعين نقاطًا مساعدة وهي التي تبعد مسافة a² / c أعلى وأسفل كل من البؤرتين. وزارة التعليم M1 2025 - 1447 الدرس 4-2 القطوع الناقصة والدوائر 181 of 181 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: تعريف القطع الناقص Description: A diagram illustrating an ellipse with a horizontal major axis. It shows the center C at (h, k), a point P(x, y) on the ellipse, the two foci F1(h-c, k) and F2(h+c, k), and the vertices (h-a, k) and (h+a, k). The co-vertices (h, k-b) and (h, k+b) are also indicated. The x and y axes intersect at the origin O. X-axis: x Y-axis: y Data: The diagram visually represents the geometric definition of an ellipse where the sum of distances from any point P on the ellipse to the two foci F1 and F2 is constant (2a). Key Values: P(x, y), C(h, k), F1(h - c, k), F2(h + c, k), (h - a, k), (h + a, k), (h, k - b), (h, k + b), O Context: This diagram provides a visual aid for understanding the initial setup and terms used in the derivation of the standard equation of an ellipse with a horizontal major axis. **DIAGRAM**: المعادلة في الصورة القياسية: (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 Description: A diagram of an ellipse with a horizontal major axis. The center C is shown at the intersection of the major and minor axes. The foci F1 and F2 are on the major axis, and the vertices V1 and V2 are at the ends of the major axis. The x and y axes are also shown with the origin O. X-axis: x Y-axis: y Data: The diagram illustrates the key features of an ellipse when its major axis is horizontal, corresponding to the equation (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1. Key Values: C, F1, F2, V1, V2, O Context: This visual is part of the 'Key Concept' section, summarizing the properties and graphical representation of an ellipse with a horizontal major axis. **DIAGRAM**: المعادلة في الصورة القياسية: (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1 Description: A diagram of an ellipse with a vertical major axis. The center C is shown at the intersection of the major and minor axes. The foci F1 and F2 are on the major axis, and the vertices V1 and V2 are at the ends of the major axis. The x and y axes are also shown with the origin O. X-axis: x Y-axis: y Data: The diagram illustrates the key features of an ellipse when its major axis is vertical, corresponding to the equation (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1. Key Values: C, F1, F2, V1, V2, O Context: This visual is part of the 'Key Concept' section, summarizing the properties and graphical representation of an ellipse with a vertical major axis. **DIAGRAM**: البعد البؤري Description: A small diagram of an ellipse with a vertical major axis, showing the center C, foci F1 and F2, and points on the minor axis at a distance of a²/c from the foci. The x and y axes are also shown. X-axis: x Y-axis: y Data: The diagram visually supports the 'Study Tips' section by illustrating the concept of focal length and auxiliary points (a²/c) used for drawing an ellipse. Key Values: C, F1, F2, a²/c Context: This diagram provides a visual tip for drawing ellipses by showing the location of auxiliary points relative to the foci.