القطوع الناقصة والدوائر - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

4-2 القطوع الناقصة والدوائر Ellipses and Circles --- SECTION: فيما سبق؟ --- درست تحليل القطوع المكافئة وتمثيلها بيانياً. (الدرس 1-4) --- SECTION: والآن --- أحلل معادلات القطوع الناقصة والدوائر، وأمثلها بيانياً. أكتب معادلات القطوع الناقصة والدوائر. --- SECTION: المفردات --- القطع الناقص ellipse البؤرتان foci المحور الأكبر major axis المركز center المحور الأصغر minor axis الرأسان vertices الرأسان المرافقان co-vertices الاختلاف المركزي eccentricity --- SECTION: ماذا قرأت؟ --- ماذا قرأت؟ --- SECTION: تذكر: --- تذكر: يدور كوكب عطارد كبقية كواكب المجموعة الشمسية في مدار ليس دائريًا تمامًا حول الشمس، ويبعد عنها مسافة 43.4 مليون ميل في أبعد نقطة، و 28.5 مليون ميل في أقرب نقطة، ويأخذ مداره شكلاً إهليليجياً يسمى قطعًا ناقصًا. --- SECTION: تحليل القطوع الناقصة والدوائر وتمثيلها بيانياً --- تحليل القطوع الناقصة والدوائر وتمثيلها بيانياً في المستوى الذي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين يساوي مقدارًا ثابتًا، وتسمى هاتان النقطتان البؤرتين، وعمليًا يمكنك رسم منحنى القطع الناقص بتثبيت طرفي خيط عند البؤرتين، ثم تحريك قلم بمحاذاة الخيط بعد شده كما في الشكل أدناه. مجموع بعدي أية نقطة على منحنى القطع الناقص عن البؤرتين يساوي مقدارًا ثابتًا، أي أن d₁ + d₂ = d₃ + d₄، وهذا مقدار ثابت. تُسمى القطعة المستقيمة التي تحوي البؤرتين، والتي نهايتاها على منحنى القطع الناقص المحور الأكبر وهو محور تماثل للقطع، وتسمى نقطة منتصف المحور الأكبر المركز. أما القطعة المستقيمة التي تمر بالمركز، ونهايتاها على المنحنى، والمتعامدة مع المحور الأكبر، فتسمى المحور الأصغر. وتُسمى نهايتا المحور الأكبر الرأسين، بينما تُسمى نهايتا المحور الأصغر الرأسين المرافقين. مركز القطع الناقص هو نقطة المنتصف لكل من المحور الأكبر والمحور الأصغر. لذا فالمسافتان من المركز إلى كل رأس يساوي a وحدة، والبعد بين المركز وكل رأس مرافق يساوي b وحدة، والبعد بين المركز وكل بؤرة يساوي c وحدة. وفيما يلي توضيح للعلاقة بين a, b, c. بما أن △F₁V₁C ≅ △F₂V₁C يحسب مسلمة التطابق SAS (F₁C ≅ F₂C, ∠V₁CF₁ ≅ ∠V₁CF₂, V₁C ≅ V₂C) فإن V₁F₁ ≅ V₂F₂. ويمكننا استعمال تعريف القطع الناقص؛ لإيجاد طولي V₁F₁ و V₁F₂ بدلالة الأطوال a, b, c. --- SECTION: تعريف القطع الناقص --- V₁F₁ + V₁F₂ = V₃F₁ + V₃F₂ V₁F₁ + V₁F₂ = V₄F₂ + V₃F₂ V₄F₂ + V₃F₂ = V₃V₄ V₃V₄ = 2a V₁F₁ = V₂F₂ بسط 2(V₁F₁) = 2a اقسم V₁F₁ = a بما أن △F₁V₁C قائم الزاوية، فإن b² = a² - c² بحسب نظرية فيثاغورس. الفصل 4 القطوع المخروطية 180 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: مدار كوكب عطارد Description: An illustration of the solar system showing the Sun at the center and three planets orbiting it: Mercury (عطارد), Venus (الزهرة), and Earth (الأرض). The orbits are depicted as ellipses, with Mercury's orbit being the innermost. The Sun is labeled 'الشمس'. Context: Illustrates that planetary orbits are elliptical (قطع ناقص) rather than perfectly circular, as mentioned in the 'تذكر' section about Mercury's orbit. **DIAGRAM**: تعريف القطع الناقص Description: A diagram of an ellipse with two foci, F₁ and F₂, inside. Two points, P and Q, are shown on the ellipse. Lines connect P to F₁ (d₁) and P to F₂ (d₂). Similarly, lines connect Q to F₁ (d₃) and Q to F₂ (d₄). The diagram visually represents the definition of an ellipse where the sum of distances from any point on the ellipse to the two foci is constant (d₁ + d₂ = d₃ + d₄). Key Values: d1, d2, d3, d4, F1, F2, P, Q Context: Visually explains the definition of an ellipse as the locus of points where the sum of distances to two fixed foci is constant. **DIAGRAM**: أجزاء القطع الناقص Description: A diagram of an ellipse showing its key components. It has a horizontal major axis (المحور الأكبر) and a vertical minor axis (المحور الأصغر). The center (المركز) is at the intersection of the axes. Two foci (البؤرتان) are located on the major axis. The endpoints of the major axis are labeled as vertices (الرأس), and the endpoints of the minor axis are labeled as co-vertices (الرأس المرافق). Key Values: المحور الأكبر, المحور الأصغر, المركز, البؤرتان, الرأس, الرأس المرافق Context: Illustrates the anatomical parts of an ellipse, defining terms like major axis, minor axis, center, foci, vertices, and co-vertices. **DIAGRAM**: العلاقة بين a, b, c في القطع الناقص Description: A diagram of an ellipse with its center C at the origin. The vertices are V₁ (top), V₂ (bottom), V₃ (left), and V₄ (right). The foci are F₁ (left) and F₂ (right) on the horizontal axis. The distances are labeled: 'a' from C to V₁ (half major axis), 'b' from C to V₃ (half minor axis), and 'c' from C to F₁ (distance from center to focus). A right-angled triangle △F₁V₁C is formed with hypotenuse V₁F₁ and legs b and c. Another triangle △F₂V₁C is also shown. Key Values: V1, V2, V3, V4, F1, F2, C, a, b, c Context: Visually demonstrates the relationship between the semi-major axis (a), semi-minor axis (b), and the distance from the center to the focus (c) in an ellipse, leading to the Pythagorean relationship b² = a² - c².