القطع الزائدة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 4-3 القطع الزائدة Hyperbolas --- SECTION: فيما سبق: --- درست تحليل القطوع الناقصة والدوائر وتمثيل منحنياتها بيانيًا. (الدرس 4-2) --- SECTION: والآن: --- أحلل معادلات القطوع الزائدة، وأمثلها بيانيًا. أكتب معادلات القطوع الزائدة. --- SECTION: المفردات: --- القطع الزائد hyperbola البؤرتان foci المركز center الرأسان vertices المحور القاطع transverse axis المحور المرافق conjugate axis --- SECTION: لماذا؟ --- يدور مذنب هالي حول الشمس في مسار على شكل قطع ناقص؛ لذا فإنه يعاود الظهور في السماء، بينما توجد مذنبات أخرى لا تظهر إلا مرة واحدة فقط؛ وذلك لاقترابها من بعض الكواكب العملاقة كالمشتري مثلاً، وهذا القرب يجعل مسار هذه المذنبات إهليلجيًا مفتوحًا من إحدى جهتيه، ويزيد سرعتها بشكل غير طبيعي، ويجعلها تنطلق في الفضاء ولا تعود ثانية، ومثل هذه المسارات تسمى قطوعًا زائدة. --- SECTION: تحليل القطع الزائد وتمثيله بيانيًا: --- القطع الزائد هو المحل الهندسي لجميع النقاط الواقعة في المستوى والتي يكون الفرق المطلق (القيمة المطلقة للفرق) بين بعديها عن نقطتين ثابتتين تسميان (البؤرتين) يساوي مقدارًا ثابتًا. --- SECTION: تعريف القطع الزائد --- |d₁ - d₂| = |d₃ - d₄| --- SECTION: تكوين منحنى القطع الزائد --- يتكون منحنى القطع الزائد من فرعين منفصلين يحاذيان خطي تقارب، ومركز القطع نقطة منتصف المسافة بين البؤرتين، ورأسا القطع الزائد هما نقطتا تقاطع القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين مع كل من فرعي المنحنى. للقطع الزائد محورًا تماثليًا هما: المحور القاطع (وهو القطعة المستقيمة الواصلة بين الرأسين) ويمر بالمركز، والمحور المرافق (وهو القطعة المستقيمة العمودية على المحور القاطع) ويمر بالمركز. --- SECTION: العلاقة بين الأطوال a, b, c --- لتكن الأطوال c, b, a كما هو موضح في الشكل أدناه، وتختلف العلاقة بينها عما في القطع الناقص، ففي القطع الزائد c² = a² + b² ، والقيمة المطلقة للفرق بين بعدي أي نقطة على منحنى القطع الزائد عن البؤرتين تساوي 2a. --- SECTION: إرشادات للدراسة التمثيل البياني للقطع الزائد --- يتميز التمثيل البياني للقطع الزائد بارتباطه بمستطيل متناظر حول محوري تماثل القطع نفسه، وله ضلعان متوازيان طول كل منهما 2b، ويسميان القطع عند رأسيه. وضلعاه الآخران طول كل منهما 2a، وطول كل من قطريه المحمولين على خطي التقارب 2c. --- SECTION: وزارة التعليم --- وزارة التعليم 189 of 197 الدرس 3-4 القطوع الزائدة 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: مسار مذنب هالي Description: An image showing a bright, streaking object, possibly a comet or asteroid, against a dark, star-filled background, illustrating a hyperbolic trajectory in space. Data: N/A Context: Illustrates the concept of hyperbolic trajectories of celestial bodies, as mentioned in the 'لماذا؟' section. **DIAGRAM**: تعريف القطع الزائد Description: A Cartesian coordinate system (x, y axes) showing a hyperbola with two branches. Points F₁ and F₂ are labeled as foci on the x-axis. A point P is shown on the right branch, and a point Q on the left branch. Distances d₁, d₂, d₃, d₄ are drawn from P and Q to the foci. The diagram visually represents the definition of a hyperbola where the absolute difference of distances from any point on the hyperbola to the two foci is constant. X-axis: x Y-axis: y Data: N/A Key Values: F₁, F₂, P, Q, d₁, d₂, d₃, d₄ Context: Visually defines a hyperbola based on the constant difference of distances from any point on the curve to its two foci, corresponding to the formula |d₁ - d₂| = |d₃ - d₄|. **DIAGRAM**: مكونات القطع الزائد Description: A Cartesian coordinate system (x, y axes) showing a hyperbola with two branches. The 'المركز' (center) is at the origin. 'البؤرة' (focus) points are on the x-axis. 'الرأسان' (vertices) are on the x-axis, where the hyperbola branches intersect the x-axis. 'المحور القاطع' (transverse axis) is the x-axis, passing through the foci and vertices. 'المحور المرافق' (conjugate axis) is the y-axis, perpendicular to the transverse axis and passing through the center. Asymptotes are shown as dashed lines. X-axis: x Y-axis: y Data: N/A Key Values: المركز, البؤرة, الرأسان, المحور القاطع, المحور المرافق Context: Illustrates the key components and terminology of a hyperbola, including its center, foci, vertices, transverse axis, and conjugate axis, as described in the main content. **DIAGRAM**: العلاقة بين a, b, c في القطع الزائد Description: A Cartesian coordinate system (x, y axes) showing a hyperbola with its center at the origin. A dashed rectangle is drawn around the center, with vertices at (a, b), (-a, b), (-a, -b), and (a, -b). The distance 'a' is shown from the center to the vertex along the x-axis. The distance 'b' is shown from the center to the top of the rectangle along the y-axis. The distance 'c' is shown from the center to the focus along the x-axis. Asymptotes pass through the corners of the dashed rectangle. The diagram visually represents the relationship c² = a² + b² and the dimensions of the bounding rectangle used for graphing. X-axis: x Y-axis: y Data: N/A Key Values: a, b, c, (a, b), (-a, b), (-a, -b), (a, -b) Context: Demonstrates the geometric relationship between a, b, and c in a hyperbola (c² = a² + b²) and how these values relate to the bounding rectangle and asymptotes, which are crucial for graphing.