الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد --- الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد يمكن استعمال تعريف القطع الزائد لإيجاد معادلته كما في القطوع المخروطية الأخرى. افترض أن (P(x, y نقطة على منحنى القطع الزائد الذي مركزه (C(h, k، ومحوره القاطع أفقيًا. يوضح الشكل المجاور إحداثيات البؤرتين والرأسين. وبحسب تعريف القطع الزائد فإن الفرق المطلق بين بعدي أي نقطة على المنحنى عن البؤرتين هو مقدار ثابت. لذا فإن |PF₁ - PF₂| = 2a وهو مقدار ثابت. لذا فإن PF₁ - PF₂ = 2a أو PF₂ - PF₁ = 2a. وهذا يعني إما PF₁ - PF₂ = 2a أو PF₂ - PF₁ = 2a. --- SECTION: PF₁ - PF₂ = 2a --- PF₁ - PF₂ = 2a --- SECTION: صيغة المسافة --- صيغة المسافة √(x - (h - c))² + (y - k)² - √(x - (h + c))² + (y - k)² = 2a --- SECTION: خاصية التوزيع ثم التجميع --- خاصية التوزيع ثم التجميع √(x - h + c)² + (y - k)² = 2a + √(x - h - c)² + (y - k)² --- SECTION: اجمع --- اجمع (x - h)² + 2c(x - h) + c² + (y - k)² = 4a² + 4a√(x - h - c)² + (y - k)² + (x - h)² - 2c(x - h) + c² + (y - k)² --- SECTION: ربع الطرفين، ثم أوجد مفكوك مربع مجموع (أو الفرق) بين حدين --- ربع الطرفين، ثم أوجد مفكوك مربع مجموع (أو الفرق) بين حدين -4a√(x - h - c)² + (y - k)² = 4a² - 4c(x - h) --- SECTION: بسط --- بسط a√(x - h - c)² + (y - k)² = -a² + c(x - h) --- SECTION: اقسم الطرفين على 4-. --- اقسم الطرفين على 4-. a²[(x - h)² - 2c(x - h) + c² + (y - k)²] = a⁴ - 2a²c(x - h) + c²(x - h)² --- SECTION: ربع الطرفين --- ربع الطرفين a²(x - h)² - 2a²c(x - h) + a²c² + a²(y - k)² = a⁴ - 2a²c(x - h) + c²(x - h)² --- SECTION: الخاصية التوزيعية --- الخاصية التوزيعية a²(x - h)² - c²(x - h)² + a²(y - k)² = a⁴ - a²c² --- SECTION: بسط --- بسط (a² - c²)(x - h)² + a²(y - k)² = a²(a² - c²) --- SECTION: الخاصية التوزيعية --- الخاصية التوزيعية -b²(x - h)² + a²(y - k)² = a²(-b²) --- SECTION: a² - c² = -b² --- a² - c² = -b² (x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 --- SECTION: اقسم الطرفين على (a²(-b²)) --- اقسم الطرفين على (a²(-b²)). المعادلة القياسية للقطع الزائد الذي مركزه (h, k) هي 1 = (x - h)² / a² - (y - k)² / b² عندما يكون المحور القاطع أفقيًا، كما تكون في الصورة 1 = (y - k)² / a² - (x - h)² / b² عندما يكون المحور القاطع رأسيًا. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي خصائص القطع الزائد المعادلة في الصورة القياسية: (x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 المحور القاطع أفقي الاتجاه: المركز: (h, k) الرأسان: (h ± a, k) البؤرتان: (h ± c, k) المحور القاطع: y = k وطوله 2a المحور المرافق: x = h وطوله 2b خطا التقارب: y - k = ± (b/a)(x - h) العلاقة بين a, b, c: c² = a² + b² أو c = √(a² + b²) طول البعد البؤري: 2C المعادلة في الصورة القياسية: (y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1 المحور القاطع رأسي الاتجاه: المركز: (h, k) الرأسان: (h, k ± a) البؤرتان: (h, k ± c) المحور القاطع: x = h وطوله 2a المحور المرافق: y = k وطوله 2b خطا التقارب: y - k = ± (a/b)(x - h) العلاقة بين a, b, c: c² = a² + b² أو c = √(a² + b²) طول البعد البؤري: 2C الفصل 4 القطوع المخروطية 190 وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Hyperbola with Horizontal Transverse Axis Description: A diagram illustrating a hyperbola with its center C(h, k), foci F₁(h - c, k) and F₂(h + c, k), and a point P(x, y) on the hyperbola. The vertices are shown at (h - a, k) and (h + a, k). The x and y axes are also labeled. X-axis: x Y-axis: y Data: Shows the geometric definition of a hyperbola where the absolute difference of distances from any point P on the hyperbola to the two foci F₁ and F₂ is a constant 2a. Key Values: C(h, k) - Center, F₁(h - c, k) - Focus 1, F₂(h + c, k) - Focus 2, P(x, y) - Point on hyperbola, (h - a, k) - Vertex 1, (h + a, k) - Vertex 2 Context: This diagram visually represents the components and definition of a hyperbola used in the derivation of its standard equation. **DIAGRAM**: Hyperbola with Horizontal Transverse Axis (Key Concept) Description: A diagram showing a hyperbola with a horizontal transverse axis. The center C, vertices V₁ and V₂, and foci F₁ and F₂ are marked. The asymptotes are also depicted as dashed lines passing through the center. X-axis: x Y-axis: y Data: Illustrates the graphical representation of a hyperbola when its transverse axis is horizontal, corresponding to the equation (x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1. Key Values: C - Center, V₁, V₂ - Vertices, F₁, F₂ - Foci Context: Part of the 'Key Concept' box, this diagram helps visualize the properties of a hyperbola with a horizontal transverse axis. **DIAGRAM**: Hyperbola with Vertical Transverse Axis (Key Concept) Description: A diagram showing a hyperbola with a vertical transverse axis. The center C, vertices V₁ and V₂, and foci F₁ and F₂ are marked. The asymptotes are also depicted as dashed lines passing through the center. X-axis: x Y-axis: y Data: Illustrates the graphical representation of a hyperbola when its transverse axis is vertical, corresponding to the equation (y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1. Key Values: C - Center, V₁, V₂ - Vertices, F₁, F₂ - Foci Context: Part of the 'Key Concept' box, this diagram helps visualize the properties of a hyperbola with a vertical transverse axis.