تحديد نوع عدم الاتصال عند نقطة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

إذا لم يتحقق أي من شروط الاتصال عند نقطة معينة تكون الدالة غير متصلة عند تلك النقطة، فاختبار اتصال الدالة يساعدك على تحديد نوع عدم الاتصال عند تلك النقطة.

تحديد نوع عدم الاتصال عند نقطة

مثال 2

حدد ما إذا كانت كل من الدالتين الآتيتين متصلة عند قيم x المعطاة. برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة. (a) f(x) = { 3x - 2, x > -3 ; 2 - x, x ≤ -3 } عند x = -3. 1) f(-3) = (2 - (-3)) = 5 موجودة؛ لأن 5 = f(-3). 2) ابحث في قيم الدالة عندما تقترب x من 3-. يُظهر الجدول أن قيم (x)f تقترب من 5 عندما تقترب x من 3- من اليسار، في حين تقترب قيم (x)f من 11- عندما تقترب x من 3- من اليمين. وبما أن قيم (x)f تقترب من قيمتين مختلفتين عندما تقترب x من 3- فإن للدالة (x)f عدم اتصال قفزي عند 3- = x. ويوضح المنحنى في الشكل 1.3.2 عدم اتصال الدالة عند 3- = x.

(b) f(x) = (x + 3) / (x² - 9) عند x = 3, x = -3. 1) f(3) = (3 + 3) / (3² - 9) = 6 / 0 وهي غير معرفة، أي أن (3)f غير موجودة، وعليه تكون (x)f غير متصلة عند 3 = x. 2) ابحث في قيم الدالة عندما تقترب x من 3. يُظهر الجدول أن قيم (x)f تتناقص بلا حدود عندما تقترب x من 3 من اليسار، وأن قيم (x)f تتزايد بلا حدود عندما تقترب x من 3 من اليمين، وعليه، فإن lim(x→3) f(x) غير موجودة. 3) للدالة (x)f عدم اتصال لانهائي عند 3 = x؛ لأن قيم (x)f تتناقص دون توقف عندما تقترب x من 3 من اليسار، وتتزايد بلا توقف عندما تقترب x من 3 من اليمين. ويوضح المنحنى في الشكل 1.3.3 هذا السلوك.

(c) f(x) = (x + 3) / (x² - 9) عند x = -3. 1) f(-3) = (-3 + 3) / ((-3)² - 9) = 0 / 0 وهي غير معرفة، أي أن (3-)f غير موجودة، وعليه تكون (x)f غير متصلة عند 3- = x. 2) ابحث في قيم الدالة عندما تقترب x من 3-. يُظهر الجدول أن قيم الدالة (x)f تقترب من 0.167- عندما تقترب x من 3- من الجهتين، أي أن lim(x→-3) f(x) ≈ -0.167. 3) بما أن (3-)f غير موجودة، وبما أن lim(x→-3) f(x) موجودة، فإن عدم الاتصال قابل للإزالة عند 3- = x. ويوضح المنحنى في الشكل 1.3.3 هذا السلوك.

تحقق من فهمك

f(x) = 1/x² عند x = 0

f(x) = { 5x + 4, x > 2 ; 2 - x, x ≤ 2 } عند x = 2

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

إذا لم يتحقق أي من شروط الاتصال عند نقطة معينة تكون الدالة غير متصلة عند تلك النقطة، فاختبار اتصال الدالة يساعدك على تحديد نوع عدم الاتصال عند تلك النقطة. --- SECTION: تحديد نوع عدم الاتصال عند نقطة --- تحديد نوع عدم الاتصال عند نقطة --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 --- SECTION: 2a --- حدد ما إذا كانت كل من الدالتين الآتيتين متصلة عند قيم x المعطاة. برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة. (a) f(x) = { 3x - 2, x > -3 ; 2 - x, x ≤ -3 } عند x = -3. 1) f(-3) = (2 - (-3)) = 5 موجودة؛ لأن 5 = f(-3). 2) ابحث في قيم الدالة عندما تقترب x من 3-. يُظهر الجدول أن قيم (x)f تقترب من 5 عندما تقترب x من 3- من اليسار، في حين تقترب قيم (x)f من 11- عندما تقترب x من 3- من اليمين. وبما أن قيم (x)f تقترب من قيمتين مختلفتين عندما تقترب x من 3- فإن للدالة (x)f عدم اتصال قفزي عند 3- = x. ويوضح المنحنى في الشكل 1.3.2 عدم اتصال الدالة عند 3- = x. --- SECTION: 2b --- (b) f(x) = (x + 3) / (x² - 9) عند x = 3, x = -3. 1) f(3) = (3 + 3) / (3² - 9) = 6 / 0 وهي غير معرفة، أي أن (3)f غير موجودة، وعليه تكون (x)f غير متصلة عند 3 = x. 2) ابحث في قيم الدالة عندما تقترب x من 3. يُظهر الجدول أن قيم (x)f تتناقص بلا حدود عندما تقترب x من 3 من اليسار، وأن قيم (x)f تتزايد بلا حدود عندما تقترب x من 3 من اليمين، وعليه، فإن lim(x→3) f(x) غير موجودة. 3) للدالة (x)f عدم اتصال لانهائي عند 3 = x؛ لأن قيم (x)f تتناقص دون توقف عندما تقترب x من 3 من اليسار، وتتزايد بلا توقف عندما تقترب x من 3 من اليمين. ويوضح المنحنى في الشكل 1.3.3 هذا السلوك. --- SECTION: 2c --- (c) f(x) = (x + 3) / (x² - 9) عند x = -3. 1) f(-3) = (-3 + 3) / ((-3)² - 9) = 0 / 0 وهي غير معرفة، أي أن (3-)f غير موجودة، وعليه تكون (x)f غير متصلة عند 3- = x. 2) ابحث في قيم الدالة عندما تقترب x من 3-. يُظهر الجدول أن قيم الدالة (x)f تقترب من 0.167- عندما تقترب x من 3- من الجهتين، أي أن lim(x→-3) f(x) ≈ -0.167. 3) بما أن (3-)f غير موجودة، وبما أن lim(x→-3) f(x) موجودة، فإن عدم الاتصال قابل للإزالة عند 3- = x. ويوضح المنحنى في الشكل 1.3.3 هذا السلوك. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 2A --- f(x) = 1/x² عند x = 0 --- SECTION: 2B --- f(x) = { 5x + 4, x > 2 ; 2 - x, x ≤ 2 } عند x = 2 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: الشكل 1.3.2 Description: A graph showing a piecewise linear function with a jump discontinuity at x = -3. The left segment is y = 2 - x for x ≤ -3, and the right segment is y = 3x - 2 for x > -3. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates a jump discontinuity where the function approaches different y-values from the left and right sides of x = -3. **GRAPH**: الشكل 1.3.3 Description: A graph showing a rational function f(x) = (x + 3) / (x² - 9), which simplifies to 1 / (x - 3) for x ≠ -3. It has a vertical asymptote at x = 3 and a removable discontinuity (hole) at x = -3. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates an infinite discontinuity at x=3 (vertical asymptote) and a removable discontinuity at x=-3 (hole), which are characteristic behaviors of rational functions. **TABLE**: Untitled Description: Table showing values of x approaching -3 from both sides and corresponding f(x) values for the piecewise function in Example 2a. Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -3.1 | 5.1 Row 2: -3.01 | 5.01 Row 3: -3.001 | 5.001 Row 4: -3.0 | EMPTY Row 5: -2.999 | -10.997 Row 6: -2.99 | -10.97 Row 7: -2.9 | -10.7 Empty cells: f(x) at x = -3.0 is not directly provided in the table, as it's the point of discontinuity. Calculation needed: Shows the limit of f(x) as x approaches -3 from the left and right. Context: Demonstrates numerically that the left-hand limit (approaching 5) and right-hand limit (approaching -11) are different, indicating a jump discontinuity. **TABLE**: Untitled Description: Table showing values of x approaching 3 from both sides and corresponding f(x) values for the rational function in Example 2b. Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: 2.9 | -10 Row 2: 2.99 | -100 Row 3: 2.999 | -1000 Row 4: 3.0 | EMPTY Row 5: 3.001 | 1000 Row 6: 3.01 | 100 Row 7: 3.1 | 10 Empty cells: f(x) at x = 3.0 is not directly provided in the table, as it's the point of discontinuity. Calculation needed: Shows the limit of f(x) as x approaches 3 from the left and right. Context: Demonstrates numerically that f(x) approaches -∞ from the left of x=3 and +∞ from the right of x=3, indicating an infinite discontinuity. **TABLE**: Untitled Description: Table showing values of x approaching -3 from both sides and corresponding f(x) values for the rational function in Example 2c. Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -3.1 | -0.164 Row 2: -3.01 | -0.166 Row 3: -3.001 | -0.167 Row 4: -3.0 | EMPTY Row 5: -2.999 | -0.167 Row 6: -2.99 | -0.169 Row 7: -2.9 | -0.169 Empty cells: f(x) at x = -3.0 is not directly provided in the table, as it's the point of discontinuity. Calculation needed: Shows the limit of f(x) as x approaches -3 from the left and right. Context: Demonstrates numerically that f(x) approaches approximately -0.167 from both sides of x=-3, indicating that the limit exists even though the function is undefined at x=-3, thus a removable discontinuity.