الاتصال والنهائيات - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

لاحظ أنه في حالة عدم الاتصال القابل للإزالة؛ يمكن إعادة تعريف الدالة لتصبح متصلة عند تلك النقطة. وفي هذه الحالة تكون النهاية عند x = c موجودة، ولكن الدالة غير معرفة عند x = c أو أن (f(c لا تساوي قيمة نهاية الدالة عند x = c. كما في الشكل المجاور. يصنف كل من عدم الاتصال اللانهائي وعدم الاتصال القفزي على أنهما عدم اتصال غير قابل للإزالة؛ لأنه لا يمكن إعادة تعريف الدالة لتصبح متصلة عند تلك النقطة، حيث إن قيم الدالة تقترب من قيم مختلفة إلى يمين نقطة عدم الاتصال وإلى يسارها، أو أن قيم الدالة لا تقترب من قيمة محددة عند هذه النقطة، أي تزداد قيم الدالة أو تتناقص بلا حدود. --- SECTION: مثال 3 --- إزالة عدم الاتصال أعد تعريف الدالة f(x) = (x^2 - 16) / (x - 4) لتصبح متصلة عند x = 4. 1) f(4) = 0/0 ، أي أن (4)f غير موجودة. 2) ابحث في قيم الدالة عندما تقترب x من 4. يظهر الجدول أعلاه أن قيم (x)f تقترب من 8 عندما تقترب x من 4 من الجهتين، أي أن lim f(x) = 8. x→4 3) (x)f غير متصلة عند 4 = x؛ لأن (4)f غير موجودة، وبما أن lim f(x) موجودة، فإن عدم الاتصال قابل x→4 للإزالة عند 4 = x. 4) بما أن عدم الاتصال قابل للإزالة عند 4 = x ، لذا أعد تعريف الدالة لتصبح f(x) = { (x^2 - 16) / (x - 4) , x ≠ 4 { 8 , x = 4 لاحظ أن هذه الدالة أصبحت متصلة عند 4 = x ؛ لأن (4)f موجودة وتساوي 8. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- أعد تعريف الدالة f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) ؛ لتصبح متصلة عند x = 1. تستعمل نظرية القيمة المتوسطة ونتيجتها لتقريب أصفار الدوال المتصلة على فترة مغلقة، حيث تكون الدالة f متصلة على [a, b]، إذا كانت متصلة عند كل نقطة تنتمي إلى هذه الفترة، وتكون متصلة على [a, b] إذا كانت متصلة عند كل نقطة من نقاطها، وكانت متصلة من اليمين عند a (lim f(x) = f(a)) ، ومتصلة من اليسار عند b (lim f(x) = f(b)) . ومن الجدير بالذكر أن الدوال الكثيرة الحدود والجذرية والنسبية، تكون متصلة على مجالها x→a+ x→b- دائماً. --- SECTION: نظرية --- نظرية القيمة المتوسطة --- SECTION: نظرية --- إذا كانت (x)f دالة متصلة على [a, b]، وكانت a < b ووجدت قيمة n بين (a)f و (b)f فإنه يوجد عدد c بين a و b ، بحيث n = (c)f. --- SECTION: نتيجة (موقع صفر الدالة) --- نتيجة (موقع صفر الدالة): إذا كانت (x)f دالة متصلة على [a, b]، وكانت (a)f و (b)f مختلفين في الإشارة، فإنه يوجد عدد واحد على الأقل c بين a و b ، بحيث 0 = (c)f. أي يوجد صفر للدالة بين a و b. وزارة التعليم الدرس 3-1 الاتصال والنهائيات 31 MY 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: y = f(x) Description: A Cartesian coordinate system with x and y axes intersecting at the origin O. A straight line representing y=f(x) is shown with a negative slope. There is an open circle (hole) on the line at a point (c, f(c)), indicating a removable discontinuity. A point (c, y) is marked on the y-axis, and a point (x, 0) is marked on the x-axis. X-axis: x Y-axis: y Data: Illustrates a function with a removable discontinuity at x=c, where the limit exists but the function value is undefined or different. Key Values: O (origin), c (x-coordinate of discontinuity), f(c) (y-coordinate of discontinuity) Context: Visual representation of a removable discontinuity, as discussed in the preceding text. **TABLE**: قيم الدالة f(x) عندما تقترب x من 4 Description: A table showing values of x approaching 4 from both sides and the corresponding values of f(x). Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: 3.9 | 7.9 Row 2: 3.99 | 7.99 Row 3: 3.999 | 7.999 Row 4: 4.0 | EMPTY Row 5: 4.001 | 8.001 Row 6: 4.01 | 8.01 Row 7: 4.1 | 8.1 Empty cells: The cell for f(x) when x is 4.0 is empty because the function is undefined at x=4. Calculation needed: The values of f(x) are calculated by substituting x into the function f(x) = (x^2 - 16) / (x - 4) = x + 4 for x ≠ 4. Data: As x approaches 4 from values less than 4 (3.9, 3.99, 3.999), f(x) approaches 7.999. As x approaches 4 from values greater than 4 (4.001, 4.01, 4.1), f(x) approaches 8.001. At x=4.0, f(x) is undefined. Context: Demonstrates how to find the limit of a function as x approaches a point where the function is initially undefined, by observing values from both sides. **DIAGRAM**: نظرية القيمة المتوسطة Description: A graph illustrating the Intermediate Value Theorem. A continuous curve representing f(x) is shown over a closed interval [a, b]. Points (a, f(a)) and (b, f(b)) are marked. A horizontal line y=n is drawn between f(a) and f(b), intersecting the curve at a point (c, n). This visually demonstrates that for any value n between f(a) and f(b), there exists at least one c in [a, b] such that f(c) = n. X-axis: x Y-axis: y Data: Qualitative illustration of a continuous function and the existence of a point c for any intermediate value n. Key Values: a, b, c, f(a), f(b), f(c), n Context: Visual representation of the Intermediate Value Theorem, showing that a continuous function takes on every value between f(a) and f(b).