الاتصال والنهايات - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: Page Number --- 1-3 الاتصال والنهايات Continuity and Limits --- SECTION: فيما سبق: --- درست إيجاد مجال الدالة ومداها باستعمال تمثيلها البياني. (الدرس 1-2) --- SECTION: والآن: --- • أستعمل النهايات للتحقق من اتصال دالة، وأطبق نظرية القيمة المتوسطة على الدوال المتصلة. • أستعمل النهايات لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة. --- SECTION: المفردات: --- الدالة المتصلة continuous function النهاية limit الدالة غير المتصلة discontinuous function عدم الاتصال اللانهائي infinite discontinuity عدم الاتصال القفزي jump discontinuity عدم الاتصال القابل للإزالة removable discontinuity عدم الاتصال غير القابل للإزالة nonremovable discontinuity سلوك طرفي التمثيل البياني end behavior --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- www.ien.edu.sa --- SECTION: لماذا؟ --- بمناسبة الافتتاح، قدم مركز للتموينات بطاقات خصم للمتسوقين وفقاً لقيمة مشترياتهم كما هو مبين في التمثيل البياني المجاور. يتضح من التمثيل البياني أن هناك نقاط انقطاع (قفزات) عند بعض القيم كما هو الحال عند x=600, x=900. --- SECTION: الاتصال: --- تكون الدالة متصلة إذا لم يكن في تمثيلها البياني أي انقطاع أو قفزة. وعليه يمكنك تتبع مسار المنحنى دون أن ترفع القلم عنه. إن أحد شروط اتصال دالة مثل (f(x عند c = x هو أن تقترب قيم الدالة من قيمة واحدة عندما تقترب قيم x من c من جهتي اليمين واليسار. إن مفهوم اقتراب قيم الدالة من قيمة دون الحاجة إلى الوصول إلى تلك القيمة يسمى النهاية. --- SECTION: مفهوم أساسي --- التعبير اللفظي: إذا كانت قيمة الدالة (f(x تقترب من قيمة واحدة L عندما تقترب x من c من الجهتين، فإن نهاية (f(x عندما تقترب x من c هي L. الرموز: نقول: إن lim f(x) = L، وتقرأ نهاية الدالة (f(x عندما تقترب x من c هي L. إن التمثيل البياني للدالة غير المتصلة يساعدك على فهم المعنى الجبري للاتصال. وفيما يأتي ملخص لأهم حالات عدم اتصال الدالة: --- SECTION: مفهوم أساسي --- للدالة عدم اتصال لانهائي عند c = x إذا تزايدت قيم الدالة أو تناقصت بلا حدود عندما تقترب x من c من اليمين أو اليسار. مثال: للدالة عدم اتصال قفزي عند c = x إذا كانت نهايتا الدالة عندما تقترب x من c من اليمين ومن اليسار موجودتين، ولكنهما غير متساويتين. مثال: للدالة عدم اتصال قابل للإزالة عند c = x إذا كانت نهاية الدالة عندما تقترب x من c موجودة، ولا تساوي قيمة الدالة عند c = x، ويشار إليها بدائرة صغيرة (O) غير مظللة؛ لتعبير عن عدم اتصال عند هذه النقطة. مثال: --- SECTION: Footer --- وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- SECTION: Footer Page Info --- الفصل 1 تحليل الدوال 28 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: الخصم في مركز التموينات Description: A line graph showing the discount in Riyals as a function of purchase value in Riyals. The graph is piecewise linear, showing increasing discounts with increasing purchase value. X-axis: قيمة المشتريات (بالريال) Y-axis: الخصم (بالريال) Data: The graph shows a discount structure where the discount increases with the purchase value. There are distinct points where the slope changes, indicating different discount rates for different purchase ranges. Key Values: Purchase Value (Riyal): 300, Discount (Riyal): 20, Purchase Value (Riyal): 600, Discount (Riyal): 40, Purchase Value (Riyal): 900, Discount (Riyal): 60, Purchase Value (Riyal): 1200, Discount (Riyal): 80, Purchase Value (Riyal): 1500, Discount (Riyal): 120, Purchase Value (Riyal): 1800, Discount (Riyal): 160 Context: This graph illustrates a real-world scenario of a discontinuous function, specifically a jump discontinuity, where the discount rate changes abruptly at certain purchase thresholds. It is used to introduce the concept of continuity and discontinuity. **FIGURE**: f(x) متصلة لجميع قيم x. Description: A graph of a continuous function y = f(x) that resembles a sine wave, passing through the origin. The curve is smooth and unbroken, illustrating the concept of continuity. X-axis: x Y-axis: y Data: The function shows a smooth, oscillating curve without any breaks, jumps, or holes, indicating that it is continuous for all real values of x. Context: This figure serves as a visual example of a continuous function, where the graph can be drawn without lifting the pen, reinforcing the definition of continuity. **FIGURE**: lim f(x) = L Description: A graph illustrating the concept of a limit. The function y = f(x) has a hole at x=c. As x approaches c from both the left (x1, x2) and the right (x3, x4), the corresponding y-values (f(x1), f(x2), f(x3), f(x4)) approach a single value L on the y-axis. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a function that is defined for all x except at x=c, where there is a removable discontinuity (a hole). Despite the hole, the function's values get arbitrarily close to L as x gets closer to c from either side. The points x1, x2, x3, x4 are shown approaching c, and their corresponding function values f(x1), f(x2), f(x3), f(x4) are shown approaching L. Key Values: x approaches c, f(x) approaches L, lim f(x) = L Context: This figure visually explains the formal definition of a limit, demonstrating how the function's output approaches a specific value as the input approaches a certain point, even if the function is not defined at that point. **FIGURE**: مثال: Description: A graph showing a function with an infinite discontinuity at x=c. The function approaches positive infinity from the left of c and negative infinity from the right of c, or vice versa, creating a vertical asymptote. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph depicts a function that has a vertical asymptote at x=c. As x approaches c, the function's y-values tend towards positive or negative infinity, indicating an infinite discontinuity. Key Values: Vertical asymptote at x=c Context: This figure illustrates one type of discontinuity, the infinite discontinuity, where the function's value grows without bound as it approaches a certain point. **FIGURE**: مثال: Description: A graph showing a function with a jump discontinuity at x=c. The function's value 'jumps' from one y-value to another at x=c, meaning the limit from the left is not equal to the limit from the right. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a clear break at x=c, where the function's path abruptly shifts to a different y-level. The open circle on one side and closed circle on the other (or two open circles at different levels) indicate that the left-hand limit and right-hand limit at c are different. Key Values: Left-hand limit ≠ Right-hand limit at x=c Context: This figure demonstrates a jump discontinuity, where the function's value changes abruptly, highlighting that the limits from the left and right sides of the point of discontinuity are not equal. **FIGURE**: مثال: Description: A graph showing a function with a removable discontinuity (a hole) at x=c. The function is defined everywhere except at x=c, where there is an open circle, but the limit exists at that point. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a continuous curve with a single point (a hole, indicated by an open circle) missing at x=c. The function approaches a specific y-value as x approaches c, but the function is either undefined at c or defined at a different y-value at c. Key Values: Hole at x=c, Limit exists at x=c but f(c) is undefined or different Context: This figure illustrates a removable discontinuity, where the discontinuity can be 'removed' by redefining the function at a single point, as the limit at that point exists.