اختبار الاتصال والتحقق من اتصال الدوال - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

تقودنا الملاحظات السابقة إلى اختبار الاتصال الآتي:

إرشادات للدراسة النهايات: إن وجود قيمة للدالة (f(x عند c = x لا يؤثر في وجود نهاية للدالة (f(x عندما تقترب x من c.

ملخص المفهوم

اختبار الاتصال

يقال: إن الدالة (f(x متصلة عند c = x إذا حققت الشروط الآتية:

• (f(x معرفة عند c ، أي أن (f(c موجودة. • (f(x تقترب من القيمة نفسها عندما تقترب x من c من الجهتين، أي أن lim f(x) موجودة. • lim f(x) = f(c)

مثال 1 التحقق من الاتصال عند نقطة حدد ما إذا كانت الدالة 1 - 3x - 2x² = (f(x متصلة عند 2 = x . برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال.

بما أن 1 = (2)f ، أي أن الدالة معرفة عند 2 = x .

2) هل lim f(x) موجودة؟ كون جدولاً يبين قيم (f(x عندما تقترب x من 2 من اليسار واليمين.

يبين الجدول أنه عندما تقترب قيم x من 2 من اليسار ومن اليمين، فإن قيمة (f(x تقترب من 1 ، أي أن lim f(x) = 1

3) هل lim f(x) = f(2) ؟

بما أن 1 = (2)f ، و 1 = lim f(x) ، نستنتج أن (2)f = lim f(x) ، إذن الدالة متصلة عند 2 = x . ويوضح منحنى الدالة (f(x في الشكل 1.3.1 اتصال الدالة عند 2 = x .

إرشاد تقني جداول: لإنشاء جدول باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire ، أدخل الدالة إلى الحاسبة باستعمال قائمة ، ثم اختر تطبيق القوائم وجداول البيانات بالضغط على ، ثم اكتب قيم x للاقتراب من قيمة محددة.

تحقق من فهمك حدد ما إذا كانت كل من الدالتين الآتيتين متصلتين عند 0 = x . برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال:

f(x) = x³ (1A)

f(x) = { 1/x , x < 0 ; x , x ≥ 0 (1B)

وزارة التعليم

الدرس 3-1 الاتصال والنهايات

29

2025 - 1447

تقودنا الملاحظات السابقة إلى اختبار الاتصال الآتي: --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة النهايات: إن وجود قيمة للدالة (f(x عند c = x لا يؤثر في وجود نهاية للدالة (f(x عندما تقترب x من c. --- SECTION: ملخص المفهوم --- ملخص المفهوم --- SECTION: اختبار الاتصال --- اختبار الاتصال يقال: إن الدالة (f(x متصلة عند c = x إذا حققت الشروط الآتية: • (f(x معرفة عند c ، أي أن (f(c موجودة. • (f(x تقترب من القيمة نفسها عندما تقترب x من c من الجهتين، أي أن lim f(x) موجودة. • lim f(x) = f(c) --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 التحقق من الاتصال عند نقطة حدد ما إذا كانت الدالة 1 - 3x - 2x² = (f(x متصلة عند 2 = x . برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال. بما أن 1 = (2)f ، أي أن الدالة معرفة عند 2 = x . --- SECTION: 2 --- 2) هل lim f(x) موجودة؟ كون جدولاً يبين قيم (f(x عندما تقترب x من 2 من اليسار واليمين. يبين الجدول أنه عندما تقترب قيم x من 2 من اليسار ومن اليمين، فإن قيمة (f(x تقترب من 1 ، أي أن lim f(x) = 1 --- SECTION: 3 --- 3) هل lim f(x) = f(2) ؟ بما أن 1 = (2)f ، و 1 = lim f(x) ، نستنتج أن (2)f = lim f(x) ، إذن الدالة متصلة عند 2 = x . ويوضح منحنى الدالة (f(x في الشكل 1.3.1 اتصال الدالة عند 2 = x . --- SECTION: إرشاد تقني --- إرشاد تقني جداول: لإنشاء جدول باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire ، أدخل الدالة إلى الحاسبة باستعمال قائمة ، ثم اختر تطبيق القوائم وجداول البيانات بالضغط على ، ثم اكتب قيم x للاقتراب من قيمة محددة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك حدد ما إذا كانت كل من الدالتين الآتيتين متصلتين عند 0 = x . برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال: --- SECTION: 1A --- f(x) = x³ (1A) --- SECTION: 1B --- f(x) = { 1/x , x < 0 ; x , x ≥ 0 (1B) وزارة التعليم --- SECTION: الدرس 3-1 الاتصال والنهايات --- الدرس 3-1 الاتصال والنهايات 29 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Graph illustrating continuity at a point Description: A continuous curve passing through the origin (0,0) and a marked point (c, f(c)). The graph shows a smooth transition without breaks or jumps. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the conditions for continuity of a function f(x) at a point x=c, specifically that f(c) exists, the limit of f(x) as x approaches c exists, and the limit equals f(c). **TABLE**: Table of values for f(x) as x approaches 2 Description: A table showing x values approaching 2 from both the left and the right, and the corresponding f(x) values. Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: 1.9 | 0.52 Row 2: 1.99 | 0.95 Row 3: 1.999 | 0.995 Row 4: 2.0 | 1.00 Row 5: 2.001 | 1.005 Row 6: 2.01 | 1.05 Row 7: 2.1 | 1.52 Calculation needed: Used to evaluate the limit of f(x) as x approaches 2. Data: As x approaches 2 from the left (1.9, 1.99, 1.999), f(x) approaches 1 (0.52, 0.95, 0.995). As x approaches 2 from the right (2.001, 2.01, 2.1), f(x) approaches 1 (1.005, 1.05, 1.52). At x=2.0, f(x)=1.00. Context: This table is used to numerically determine the limit of the function f(x) as x approaches a specific value (x=2) by observing the trend of f(x) values from both sides. **IMAGE**: TI-nspire calculator table display Description: A screenshot of a TI-nspire graphing calculator showing a table of x and y values for the function y = 2x² - 3x - 1. The table displays x values around 2 and their corresponding y values, similar to the manual table in Example 1. Table Structure: Headers: x | y Rows: Row 1: 1.9 | 0.992 Row 2: 1.99 | 0.9992 Row 3: 1.999 | 0.99992 Row 4: 2 | 1 Row 5: 2.001 | 1.00008 Row 6: 2.01 | 1.0008 Calculation needed: Demonstrates how to use a graphing calculator to generate a table of values for a function. Data: The table shows x values: 1.9, 1.99, 1.999, 2, 2.001, 2.01. Corresponding y values are: 0.992, 0.9992, 0.99992, 1, 1.00008, 1.0008. Context: This visual provides a technical tip on using a graphing calculator (TI-nspire) to create tables of function values, which is helpful for evaluating limits numerically. **GRAPH**: Graph of f(x) = 2x² - 3x - 1 Description: A continuous parabola opening upwards, illustrating the function f(x) = 2x² - 3x - 1. A specific point (2, 1) is marked on the curve. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph visually confirms the continuity of the function f(x) = 2x² - 3x - 1 at x = 2, as demonstrated in Example 1. The point (2,1) is clearly on the continuous curve.