تقريب الأصفار وسلوك طرفي التمثيل البياني - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: تقريب الأصفار عند تغيير الإشارة --- تقريب الأصفار عند تغيير الإشارة --- SECTION: مثال 4 --- حدد الأعداد الصحيحة المتتالية التي تنحصر بينها الأصفار الحقيقية للدالة f(x) = x³ - 4x + 2 في الفترة [4-,4]. x | f(x) -4 | -46 -3 | -13 -2 | 2 -1 | 5 0 | 2 1 | -1 2 | 2 3 | 17 4 | 50 تعلم أن الدالة f متصلة على [4-,4]؛ لأنها كثيرة حدود، وبما أن f(-3) سالبة و f(-2) موجبة، وبحسب النتيجة السابقة، فإنه يوجد صفر للدالة f(x) بين 2-,3-. لاحظ أن قيم الدالة تتغير إشاراتها أيضاً في الفترة 0 < x < 1 وفي الفترة 1 < x < 2. وهذا يدل على أن الأصفار الحقيقية للدالة تنحصر بين العددين 3- و 2-، والعددين 0 و 1 والعددين 1 و 2. ويوضح منحنى الدالة f(x) في الشكل 1.3.4 هذه النتيجة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- حدد الأعداد الصحيحة المتتالية التي تنحصر بينها الأصفار الحقيقية للدالة في كل مما يأتي: 4A. f(x) = x³ + 2x² - 8x + 3; [-6, 4] 4B. f(x) = (x² - 6) / (x + 4); [-4, 3] إن تغير إشارات قيم الدالة في فترة ما يحدد موقعًا تقريبيًا لصفر الدالة الحقيقي. أما الفترات التي لا تتغير فيها الإشارة فإنها لا تحتوي وجود أصفار للدالة، ويُعد تمثيل الدالة من أفضل طرق التحقق من ذلك. --- SECTION: تقريب الأصفار دون تغيير الإشارة --- تقريب الأصفار دون تغيير الإشارة --- SECTION: مثال 5 --- حدد الأعداد الصحيحة المتتالية التي تنحصر بينها الأصفار الحقيقية للدالة f(x) = x² + x + 0.16 في الفترة [3-,3]. x | f(x) -3 | 6.16 -2 | 2.16 -1 | 0.16 0 | 0.16 1 | 2.16 2 | 6.16 3 | 12.16 تعلم أن الدالة f متصلة على [3-,3]؛ لأنها كثيرة حدود، وأن قيمها لا تغير إشارتها عند قيم x المعطاة، ولكن f(x) تتناقص عندما تقترب قيم x من العدد 1- من اليسار، وتبدأ f(x) بالتزايد من يمين 0 = x؛ لذا فإن من المحتمل وجود صفر حقيقي للدالة بين العددين 1- و 0. ومثل الدالة بيانيًا للتحقق من ذلك. يقطع منحنى الدالة المحور x مرتين في الفترة [0-,1]؛ لذا فإنه يوجد صفرين حقيقيين للدالة في هذه الفترة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- حدد الأعداد الصحيحة المتتالية التي تنحصر بينها الأصفار الحقيقية للدالة في كل مما يأتي: 5A. f(x) = 8x³ - 2x² - 5x - 1; [-5, 5] 5B. f(x) = x³ - 7x² + 18x - 14; [0, 4] إرشاد: استعمل الآلة الحاسبة البيانية (إذا لزم الأمر) --- SECTION: إرشاد تقني --- قد يُظهر التمثيل البياني للدالة صفرًا واحدًا؛ لذا اختر التدريج المناسب لترى جميع أصفار الدالة بوضوح. --- SECTION: سلوك طرفي التمثيل البياني --- سلوك طرفي التمثيل البياني --- SECTION: سلوك طرفي التمثيل البياني: --- يصف سلوك طرفي التمثيل البياني شكل الدالة عند طرفي منحناها، أي أنه يصف قيم f(x) عندما تزداد قيم x أو تنقص بلا حدود، أي عندما تقترب x من ∞ أو ∞-. لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني يمكنك استعمال مفهوم النهاية. --- SECTION: سلوك طرف التمثيل البياني من اليمين --- سلوك طرف التمثيل البياني من اليمين lim f(x) x→∞ --- SECTION: سلوك طرف التمثيل البياني من اليسار --- سلوك طرف التمثيل البياني من اليسار lim f(x) x→-∞ أحد إمكانات سلوك طرفي التمثيل البياني هو زيادة قيم f(x) أو نقصانها دون حدود. ويمكن وصف هذا السلوك بأن f(x) تقترب من موجب ما لا نهاية أو من سالب ما لا نهاية على الترتيب. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- النهايات: تُقرأ العبارة lim f(x) x→∞ نهاية f(x) عندما تقترب x من موجب ما لا نهاية. وتُقرأ العبارة lim f(x) x→-∞ نهاية f(x) عندما تقترب x من سالب ما لا نهاية. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 32 الفصل 1 تحليل الدوال --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: الشكل 1.3.4 Description: A Cartesian graph showing the cubic function f(x) = x³ - 4x + 2. The curve intersects the x-axis at approximately x = -2, x = 0.5, and x = 1.5. The y-axis is labeled 'y' and the x-axis is labeled 'x'. The origin (0) is marked. Grid lines are visible. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph of f(x) = x³ - 4x + 2 shows a curve that rises, falls, then rises again. It passes through the points (-2, 2), (0, 2), (1, -1), and (2, 2) as indicated by the table in Example 4. The x-intercepts (zeros) are visually confirmed to be between -3 and -2, between 0 and 1, and between 1 and 2. Key Values: x-intercepts near -2, 0.5, 1.5 Context: This graph visually confirms the real zeros of the function f(x) = x³ - 4x + 2, as discussed in Example 4, by showing where the curve crosses the x-axis. (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: f(x) = x² + x + 0.16 Description: A Cartesian graph showing the parabolic function f(x) = x² + x + 0.16. The parabola opens upwards and intersects the x-axis at two points between x = -1 and x = 0. The y-axis is labeled 'y' and the x-axis is labeled 'x'. The origin (0) is marked. Grid lines are visible. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph of f(x) = x² + x + 0.16 is a parabola opening upwards. It shows two x-intercepts (zeros) located between x = -1 and x = 0, specifically around x = -0.2 and x = -0.8. The vertex of the parabola is below the x-axis, indicating that the function values are positive for integer x values, but dip below zero between -1 and 0. Key Values: x-intercepts between -1 and 0 Context: This graph illustrates how a function can have real zeros even if the sign of f(x) does not change between integer values, requiring a closer look at the graph or more precise calculations to identify the zeros, as explained in Example 5. (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: سلوك طرفي التمثيل البياني Description: A Cartesian graph illustrating the end behavior of a function. The graph shows a curve that extends towards positive infinity as x approaches positive infinity, and towards negative infinity as x approaches negative infinity. The x-axis is labeled 'x' and the y-axis is labeled 'y'. The origin (O) is marked. Arrows indicate the direction of the curve's ends. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph visually represents the concepts of limits at infinity. As x approaches positive infinity (x→∞), f(x) also approaches positive infinity (lim f(x) = ∞). As x approaches negative infinity (x→-∞), f(x) approaches negative infinity (lim f(x) = -∞). This demonstrates a typical end behavior for odd-degree polynomial functions with a positive leading coefficient. Key Values: lim f(x) = ∞ as x→∞, lim f(x) = -∞ as x→-∞ Context: This graph serves as a visual definition and explanation of the end behavior of a function, linking it to the concept of limits as x approaches positive or negative infinity, which is a fundamental concept in calculus and function analysis.