الحاسبة البيانية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

جدول 38a:

| a | b | d | نهاية f(x) عندما x → -∞ | نهاية f(x) عندما x → +∞ |

|---|---|----|------------------------|------------------------|

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

---

29. استعمل التمثيل البياني للدالة g(x) = \frac{2x - 1}{1 - x} لتحديد قيمة أو قيم x التي تكون الدالة غير متصلة عندها، وحدد نوع عدم الاتصال، ثم استعمل المنحنى لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني. برر إجابتك.

من التمثيل البياني:

* عدم الاتصال: الدالة غير متصلة عند x = 1.

* نوع عدم الاتصال: عدم اتصال لانهائي، حيث يقترب المنحنى من اللانهاية (موجب أو سالب) عندما يقترب x من 1.

* سلوك طرفي التمثيل البياني:

* عندما x \to -\infty، نلاحظ أن g(x) \to -2.

* عندما x \to +\infty، نلاحظ أن g(x) \to -2.

* هذا يتوافق مع وجود خط مقارب أفقي عند y = -2.

30. استعمل التمثيل البياني للدالة h(x) = \frac{15}{11x^2} لتحديد قيمة أو قيم x التي تكون الدالة غير متصلة عندها، وحدد نوع عدم الاتصال، ثم استعمل المنحنى لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني. برر إجابتك.

من التمثيل البياني:

* عدم الاتصال: الدالة غير متصلة عند x = 0.

* نوع عدم الاتصال: عدم اتصال لانهائي، حيث يقترب المنحنى من اللانهاية الموجبة عندما يقترب x من 0 من اليمين أو اليسار.

* سلوك طرفي التمثيل البياني:

* عندما x \to -\infty، نلاحظ أن h(x) \to 0.

* عندما x \to +\infty، نلاحظ أن h(x) \to 0.

* هذا يتوافق مع وجود خط مقارب أفقي عند y = 0 (محور السينات).

31. فيزياء: تسمى المسافة بين نقطتين متناظرتين على موجتي ضوء متتاليتين بطول الموجة (λ)، ويُسمى عدد الموجات الكاملة التي تمر بنقطة خلال مدة زمنية محددة بالتردد f. وتصف الدالة f(λ) = \frac{c}{λ} العلاقة بين طول الموجة والتردد، حيث c سرعة الضوء ومقدارها 2.99 \times 10^8 \text{ m/s}.

* a) مثل الدالة بيانيًا باستعمال الحاسبة البيانية.

* التمثيل البياني للدالة f(λ) = \frac{c}{λ} (مع c>0) سيكون منحنى في الربع الأول، له خط مقارب رأسي عند λ = 0 وخط مقارب أفقي عند f = 0.

* b) استعمل المنحنى لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني. وعزز إجابتك عدديا.

* عندما λ \to 0^+ (طول الموجة يقترب من الصفر من الجهة الموجبة)، فإن f(λ) \to +\infty.

* عندما λ \to +\infty، فإن f(λ) \to 0.

* c) هل الدالة متصلة؟ إذا كان الجواب لا، فعيّن نقاط عدم الاتصال.

* الدالة غير متصلة عند λ = 0 (عدم اتصال لانهائي).

32. الحاسبة البيانية: مثل الدالة f(x) = \frac{x^2}{x^3 - 4x^2 + x + 6} بيانيًا، ثم حدد ما إذا كانت متصلة أم لا. وإذا كانت غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال، وحدد نقاطه. ثم صف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعين أصفار الدالة إن وجدت.

* الاتصال: الدالة غير متصلة عند قيم x التي تجعل المقام يساوي صفراً.

* نقاط عدم الاتصال: هي الجذور الحقيقية للمقام x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0.

* سلوك طرفي التمثيل البياني: بما أن درجة البسط (2) أقل من درجة المقام (3)، فإن نهاية الدالة عندما x \to \pm\infty هي 0. أي أن الخط المقارب الأفقي هو y = 0.

* أصفار الدالة: أصفار الدالة هي قيم x التي تجعل البسط x^2 = 0، أي عند x = 0.

33. الحاسبة البيانية: مثل الدالة h(x) = \frac{4x^2 + 11x - 3}{x^2 + 3x - 18} بيانيًا، ثم حدد ما إذا كانت متصلة أم لا. وإذا كانت غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال، وحدد نقاطه. ثم صف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعين أصفار الدالة إن وجدت.

* الاتصال: الدالة غير متصلة عند قيم x التي تجعل المقام يساوي صفراً.

* نقاط عدم الاتصال: حلول المعادلة x^2 + 3x - 18 = 0، أي عند x = -6 و x = 3.

* سلوك طرفي التمثيل البياني: بما أن درجة البسط (2) تساوي درجة المقام (2)، فإن نهاية الدالة عندما x \to \pm\infty تساوي نسبة معاملات الحدين ذوي الدرجة الأعلى، أي 4/1 = 4. أي أن الخط المقارب الأفقي هو y = 4.

* أصفار الدالة: أصفار الدالة هي حلول المعادلة 4x^2 + 11x - 3 = 0.

34. الحاسبة البيانية: مثل الدالة h(x) = \frac{x^3 - 5x^2 - 26x + 120}{x^2 + x - 12} بيانيًا، ثم حدد ما إذا كانت متصلة أم لا. وإذا كانت غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال، وحدد نقاطه. ثم صف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعين أصفار الدالة إن وجدت.

* الاتصال: الدالة غير متصلة عند قيم x التي تجعل المقام يساوي صفراً.

* نقاط عدم الاتصال: حلول المعادلة x^2 + x - 12 = 0، أي عند x = -4 و x = 3.

* سلوك طرفي التمثيل البياني: بما أن درجة البسط (3) أكبر من درجة المقام (2) بدرجة واحدة، فإن للدالة خط مقارب مائل.

* أصفار الدالة: أصفار الدالة هي الجذور الحقيقية للبسط x^3 - 5x^2 - 26x + 120 = 0.

35. الحاسبة البيانية: مثل بيانيًا الدالة g(x) = x^5 - 20x^4 + 2x^3 - 5 وصف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعزز إجابتك عدديا.

* سلوك طرفي التمثيل البياني: الدالة كثيرة حدود من الدرجة الخامسة ومعامل الحد الأعلى (x^5) موجب.

* عندما x \to -\infty، فإن g(x) \to -\infty.

* عندما x \to +\infty، فإن g(x) \to +\infty.

36. الحاسبة البيانية: مثل بيانيًا الدالة f(x) = \frac{16x^2}{x^2 + 15x} وصف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعزز إجابتك عدديا.

* التبسيط: يمكن تبسيط الدالة: f(x) = \frac{16x^2}{x(x+15)} = \frac{16x}{x+15}، حيث x \ne 0 و x \ne -15.

* سلوك طرفي التمثيل البياني: بما أن درجة البسط (1) تساوي درجة المقام (1) بعد التبسيط، فإن نهاية الدالة عندما x \to \pm\infty تساوي نسبة المعاملات، أي 16/1 = 16.

* عندما x \to -\infty، فإن f(x) \to 16.

* عندما x \to +\infty، فإن f(x) \to 16.

* الخط المقارب الأفقي هو y = 16.

37. أعمال: بدأ حمد مشروعًا تجاريًا صغيرًا بالطباعة على القمصان وبيعها. إذا كانت تكلفة الطباعة على القميص الواحد 9 ريالات وتكلفة المعدات اللازمة 12000 ريال. فأجب عما يأتي:

* a) اكتب دالة تبين معدل تكلفة الطباعة على القميص الواحد على صورة دالة في عدد القمصان المنتجة n.

* التكلفة الإجمالية = التكلفة الثابتة + (التكلفة المتغيرة × العدد) = 12000 + 9n.

* متوسط التكلفة للقميص الواحد = التكلفة الإجمالية ÷ العدد.

* الدالة هي: C(n) = \frac{12000 + 9n}{n}.

* b) استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة.

* التمثيل البياني للدالة C(n) = \frac{12000}{n} + 9 سيكون له خط مقارب رأسي عند n=0 وخط مقارب أفقي عند C=9.

* c) إذا استمر ازدياد عدد القمصان المنتجة بشكل كبير، فكم سيصبح معدل تكلفة الطباعة على القميص الواحد؟

* عندما n \to +\infty، فإن \frac{12000}{n} \to 0، وبالتالي C(n) \to 9.

* الإجابة: سيقترب معدل التكلفة من 9 ريالات للقميص الواحد.

38. تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة النهايات. افترض أن f(x) = \frac{ax^3 + b}{cx^3 + d} حيث a و c عددان صحيحان لا يساويان الصفر، و b و d عددان صحيحان.

* a) جدولياً: افترض أن c = 1 واختر ثلاث مجموعات مختلفة لقيم d, b, a. ثم اكتب الدالة في كل حالة وأكمل الجدول أدناه (جدول 38a).

* (يجب على الطالب اختيار قيم لـ a, b, d وحساب النهايات لكل حالة).

* b) جدولياً: اختر ثلاث مجموعات مختلفة من القيم لكل متغير، مجموعة فيها a > c، ومجموعة فيها c > a، ومجموعة فيها a = c. ثم اكتب الدالة، وكون جدولاً كما في الفرع a.

* (يجب على الطالب اختيار قيم لـ a, b, c, d حسب الشروط وحساب النهايات).

* c) تحليلياً: خمن قيمة نهاية الدالة f(x) = \frac{ax^3 + b}{cx^3 + d} عندما تقترب x من -\infty ومن +\infty.

* بما أن درجة البسط والمقام متساوية (3)، فإن نهاية الدالة عندما x \to \pm\infty تساوي نسبة معاملات الحدود ذات الدرجة الأعلى، أي \frac{a}{c}.

* التخمين: \lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{a}{c} و \lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{a}{c}.

استعمل كلاً من التمثيلين البيانيين الآتيين لتحديد قيمة أو قيم x التي تكون الدالة غير متصلة عندها، وحدد نوع عدم الاتصال، ثم استعمل المنحنى لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني. برر إجابتك.

g(x) = (2x - 1) / (1 - x)

h(x) = 15 / (11x^2)

فيزياء: تسمى المسافة بين نقطتين متناظرتين على موجتي ضوء متتاليتين بطول الموجة (λ) (ويقرأ لامدا)، ويُسمى عدد الموجات الكاملة التي تمر بنقطة خلال مدة زمنية محددة بالتردد f. وتصف الدالة = (f(λ العلاقة بين طول الموجة والتردد، حيث c سرعة الضوء ومقدارها 2.99 × 10^8 m/s.

الحاسبة البيانية: مثل كلاً من الدوال الآتية بيانيًا، ثم حدد ما إذا كانت متصلة أم لا. وإذا كانت غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال، وحدد نقاطه. ثم صف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعين أصفار الدالة إن وجدت.

f(x) = x^2 / (x^3 - 4x^2 + x + 6)

h(x) = (4x^2 + 11x - 3) / (x^2 + 3x - 18)

h(x) = (x^3 - 5x^2 - 26x + 120) / (x^2 + x - 12)

الفصل 1 تحليل الدوال 36

الحاسبة البيانية: مثل بيانيًا كلاً من الدوال الآتية وصف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعزز إجابتك عدديا.

g(x) = x^5 - 20x^4 + 2x^3 - 5

f(x) = 16x^2 / (x^2 + 15x)

أعمال: بدأ حمد مشروعًا تجاريًا صغيرًا بالطباعة على القمصان وبيعها. إذا كانت تكلفة الطباعة على القميص الواحد 9 ريالات وتكلفة المعدات اللازمة 12000 ريال. فأجب عما يأتي:

تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة النهايات. افترض أن f(x) = (ax^3 + b) / (cx^3 + d) حيث a و c عددان صحيحان لا يساويان الصفر، و b و d عددان صحيحان.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: الحاسبة البيانية --- استعمل كلاً من التمثيلين البيانيين الآتيين لتحديد قيمة أو قيم x التي تكون الدالة غير متصلة عندها، وحدد نوع عدم الاتصال، ثم استعمل المنحنى لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني. برر إجابتك. --- SECTION: 29 --- g(x) = (2x - 1) / (1 - x) --- SECTION: 30 --- h(x) = 15 / (11x^2) --- SECTION: 31 --- فيزياء: تسمى المسافة بين نقطتين متناظرتين على موجتي ضوء متتاليتين بطول الموجة (λ) (ويقرأ لامدا)، ويُسمى عدد الموجات الكاملة التي تمر بنقطة خلال مدة زمنية محددة بالتردد f. وتصف الدالة = (f(λ العلاقة بين طول الموجة والتردد، حيث c سرعة الضوء ومقدارها 2.99 × 10^8 m/s. --- SECTION: الحاسبة البيانية --- الحاسبة البيانية: مثل كلاً من الدوال الآتية بيانيًا، ثم حدد ما إذا كانت متصلة أم لا. وإذا كانت غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال، وحدد نقاطه. ثم صف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعين أصفار الدالة إن وجدت. --- SECTION: 32 --- f(x) = x^2 / (x^3 - 4x^2 + x + 6) --- SECTION: 33 --- h(x) = (4x^2 + 11x - 3) / (x^2 + 3x - 18) --- SECTION: 34 --- h(x) = (x^3 - 5x^2 - 26x + 120) / (x^2 + x - 12) --- SECTION: الفصل 1 تحليل الدوال --- الفصل 1 تحليل الدوال 36 --- SECTION: الحاسبة البيانية --- الحاسبة البيانية: مثل بيانيًا كلاً من الدوال الآتية وصف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعزز إجابتك عدديا. --- SECTION: 35 --- g(x) = x^5 - 20x^4 + 2x^3 - 5 --- SECTION: 36 --- f(x) = 16x^2 / (x^2 + 15x) --- SECTION: 37 --- أعمال: بدأ حمد مشروعًا تجاريًا صغيرًا بالطباعة على القمصان وبيعها. إذا كانت تكلفة الطباعة على القميص الواحد 9 ريالات وتكلفة المعدات اللازمة 12000 ريال. فأجب عما يأتي: --- SECTION: 38 --- تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة النهايات. افترض أن f(x) = (ax^3 + b) / (cx^3 + d) حيث a و c عددان صحيحان لا يساويان الصفر، و b و d عددان صحيحان. --- SECTION: وزارة التعليم --- وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: N/A Description: The graph shows a rational function with a vertical asymptote at x=1 and a horizontal asymptote at y=-2. The curve has two branches, one in the second/third quadrant and one in the fourth quadrant, separated by the asymptotes. The function is decreasing on both branches. X-axis: x Y-axis: y Data: The function approaches the horizontal asymptote y=-2 as x tends to positive or negative infinity. It has a vertical asymptote at x=1, where the function values tend to positive infinity from the left and negative infinity from the right. Context: Illustrates properties of rational functions, including asymptotes and discontinuities. **GRAPH**: N/A Description: The graph shows a rational function with a vertical asymptote at x=0 (the y-axis) and a horizontal asymptote at y=0 (the x-axis). The curve is symmetric about the y-axis, and both branches are above the x-axis. The function is decreasing for x>0 and increasing for x<0. X-axis: x Y-axis: y Data: The function approaches the horizontal asymptote y=0 as x tends to positive or negative infinity. It has a vertical asymptote at x=0, where the function values tend to positive infinity from both the left and the right. Context: Illustrates properties of rational functions with even powers in the denominator, leading to symmetry and positive y-values. **DIAGRAM**: طول الموجة Description: A diagram illustrating a wave, showing the concept of 'طول الموجة' (wavelength) as the distance between two consecutive peaks or two consecutive troughs. The wave is drawn with a dashed horizontal line representing the equilibrium position and vertical dashed lines indicating the peaks and troughs. Arrows on both ends of the wave indicate it continues infinitely. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: The diagram visually defines wavelength for a periodic wave. Context: Used in physics to explain wave properties, specifically wavelength, in relation to frequency and speed of light. **TABLE**: c = 1 Description: A table designed to explore the limits of a rational function as x approaches positive and negative infinity, given c=1. It has columns for coefficients a, b, d, and the limits of f(x) as x approaches -∞ and +∞. Table Structure: Headers: a | b | d | lim f(x) x→-∞ | lim f(x) x→+∞ Rows: Row 1: EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY Row 2: EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY Row 3: EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY Empty cells: All cells in the data rows are empty, to be filled by the student based on chosen values for a, b, d, and calculating the limits. Calculation needed: Students need to choose values for a, b, d (with c=1), write the function, and then calculate the limits as x approaches -∞ and +∞ for each set of values. The limit for a rational function where the degree of numerator and denominator are equal (both 3 in this case) is the ratio of the leading coefficients (a/c). X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: The table is empty, intended for students to fill in values for a, b, d (with c=1) and calculate the corresponding limits of the function f(x) as x approaches negative and positive infinity. The limit for this type of rational function (where the degree of numerator and denominator are equal) is the ratio of the leading coefficients, a/c. Context: Part of an exercise to investigate limits of rational functions tabularly and analytically.