القيم القصوى ومتوسط معدل التغير - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

1-4 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير Extrema and Average Rates of Change --- SECTION: فيما سبق؟ --- فيما سبق؟ درست كيفية إيجاد قيم الدوال. (الدرس 1-1) --- SECTION: والآن؟ --- والآن؟ أستعمل التمثيل البياني للدالة؛ لأحدد الفترات التي تكون فيها الدالة: متزايدة، ثابتة، متناقصة. وأحدد القيم العظمى والصغرى لها. أجد متوسط معدل التغير للدالة. --- SECTION: المفردات --- المفردات المتزايدة increasing المتناقصة decreasing الثابتة constant النقطة الحرجة critical point العظمى maximum الصغرى minimum القصوى extrema متوسط معدل التغير average rate of change القاطع secant line رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا؟ يبين التمثيل البياني المجاور معدل كميات الأسماك التي اصطادها أحد الصيادين في المملكة خلال أشهر عام 1431 هـ. يتضح من التمثيل أن المعدل أخذ في التزايد من شهر محرم وحتى جمادى الأولى، ثم تناقص حتى شعبان، وبقي ثابتًا تقريبًا حتى شوال، ثم تزايد مرة أخرى حتى ذي القعدة، وأخيرًا تناقص قليلاً بين شهري ذي القعدة وذي الحجة. كما يتضح أن أعلى معدل للصيد بلغ 3.15 أطنان، وذلك في شهر جمادى الأولى، ويلاحظ من ميلي الخطين المنقطين بالأحمر والأزرق أن معدل التغير في النصف الأول من عام 1431 هـ أكثر منه في النصف الثاني. --- SECTION: التزايد والتناقص --- التزايد والتناقص خاصية من خصائص الدوال التي تساعد على دراسة الدالة، حيث تحدد الفترات التي تتزايد أو تتناقص الدالة فيها أو تبقى ثابتة. ففي الشكل المجاور، إذا تتبعت منحنى الدالة (f(x، من اليسار إلى اليمين فإنك تلاحظ أن: • f(x) متزايدة في الفترة (5- ,∞-) • ثابتة في الفترة (0 ,5-) • متناقصة في الفترة (∞ ,0) يمكن التعبير عن خصائص الدالة من حيث كونها متزايدة أو متناقصة أو ثابتة جبريًا على النحو الذي يلخصه المفهوم الآتي: --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي الدوال المتزايدة، المتناقصة، الثابتة التعبير اللفظي: تكون الدالة f متزايدة على فترة ما إذا وفقط إذا زادت قيم (f(x كلما زادت قيم x في الفترة. الرموز: لكل x1 و x2 في الفترة، فإن (f(x1) < f(x2 عندما تكون x2 > x1. التعبير اللفظي: تكون الدالة f متناقصة على فترة ما إذا وفقط إذا تناقصت قيم (f(x كلما زادت قيم x في الفترة. الرموز: لكل x1 و x2 في الفترة، فإن (f(x1) > f(x2 عندما تكون x2 > x1. التعبير اللفظي: تكون الدالة f ثابتة على فترة ما إذا وفقط إذا لم تتغير قيم (f(x لأي قيم x في الفترة. الرموز: لكل x1 و x2 في الفترة، فإن (f(x1) = f(x2 عندما تكون x2 > x1. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 38 الفصل 1 تحليل الدوال --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: معدل كميات الأسماك Description: A line graph showing the average quantities of fish caught over 12 months in the year 1431 AH. X-axis: الشهر (Month) Y-axis: كمية الأسماك (بالطن) (Fish Quantity (tons)) Data: The graph shows fluctuations in fish quantities. It starts at 2.20 tons in month 2, increases to 3.10 tons in month 5, decreases to 2.70 tons in month 8, then increases again to 3.10 tons in month 10 and remains constant until month 12. Key Values: Highest catch: 3.15 tons in Jumada Al-Awwal (month 5), Lowest catch: 2.20 tons in Muharram (month 2) Context: Illustrates real-world data that can be analyzed for periods of increase, decrease, and constancy, relating to the concepts of function behavior. **GRAPH**: y = f(x) Description: A conceptual graph of a function y=f(x) showing three distinct behaviors: increasing, constant, and decreasing segments. The x-axis is labeled with O and -5, and the y-axis with O. X-axis: x Y-axis: y Data: The function increases from negative infinity to x=-5, remains constant from x=-5 to x=0, and decreases from x=0 to positive infinity. Key Values: Critical point at x=-5 (transition from increasing to constant), Critical point at x=0 (transition from constant to decreasing) Context: Used to visually explain the concepts of increasing, decreasing, and constant intervals of a function. **DIAGRAM**: النموذج (Increasing Function) Description: A graph illustrating an increasing function. As x increases from x1 to x2, the corresponding y-values f(x) also increase from f(x1) to f(x2), where f(x1) < f(x2) for x2 > x1. X-axis: x Y-axis: y Data: A curve sloping upwards from left to right, with points (x1, f(x1)) and (x2, f(x2)) clearly showing f(x2) > f(x1) when x2 > x1. Context: Provides a visual model for the definition of an increasing function. **DIAGRAM**: النموذج (Decreasing Function) Description: A graph illustrating a decreasing function. As x increases from x1 to x2, the corresponding y-values f(x) decrease from f(x1) to f(x2), where f(x1) > f(x2) for x2 > x1. X-axis: x Y-axis: y Data: A curve sloping downwards from left to right, with points (x1, f(x1)) and (x2, f(x2)) clearly showing f(x1) > f(x2) when x2 > x1. Context: Provides a visual model for the definition of a decreasing function. **DIAGRAM**: النموذج (Constant Function) Description: A graph illustrating a constant function. As x increases from x1 to x2, the corresponding y-values f(x) remain unchanged, i.e., f(x1) = f(x2) for x2 > x1. X-axis: x Y-axis: y Data: A horizontal line, with points (x1, f(x1)) and (x2, f(x2)) clearly showing f(x1) = f(x2). Context: Provides a visual model for the definition of a constant function.