مسائل مهارات التفكير العليا - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

53. f(9):

الدالة المعطاة: f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 3x + 1}

نعوض x = 9:

f(9) = \frac{2(9) - 5}{(9)^2 - 3(9) + 1} = \frac{18 - 5}{81 - 27 + 1} = \frac{13}{55}

54. f(3b):

نعوض x = 3b في الدالة:

f(3b) = \frac{2(3b) - 5}{(3b)^2 - 3(3b) + 1} = \frac{6b - 5}{9b^2 - 9b + 1}

55. f(2a - 3):

نعوض x = 2a - 3 في الدالة:

f(2a - 3) = \frac{2(2a - 3) - 5}{(2a - 3)^2 - 3(2a - 3) + 1}

نبسط البسط: 2(2a - 3) - 5 = 4a - 6 - 5 = 4a - 11

نبسط المقام:

(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9

-3(2a - 3) = -6a + 9

إذن المقام: (4a^2 - 12a + 9) + (-6a + 9) + 1 = 4a^2 - 18a + 19

الإجابة: f(2a - 3) = \frac{4a - 11}{4a^2 - 18a + 19}

56. h(x) = √(x² - 9):

* التحليل البياني (باستعمال الحاسبة): منحنى الدالة متماثل حول المحور y، حيث h(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 9} = \sqrt{x^2 - 9} = h(x).

* التحقق الجبري: الدالة زوجية لأن h(-x) = h(x).

* صف التماثل: منحنى الدالة متماثل حول المحور y.

57. f(x) = (x + 4) / (x - 2):

* التحليل البياني (باستعمال الحاسبة): المنحنى لا يظهر تماثلاً حول المحور y ولا حول نقطة الأصل.

* التحقق الجبري: نفحص f(-x):

f(-x) = \frac{-x + 4}{-x - 2} = \frac{-(x - 4)}{-(x + 2)} = \frac{x - 4}{x + 2}

هذه النتيجة لا تساوي f(x) ولا تساوي -f(x).

* النتيجة: الدالة ليست زوجية ولا فردية.

39. f(x) = (x⁵ + x⁶) / x⁵:

نبسط الدالة: f(x) = \frac{x⁵(1 + x)}{x⁵} = 1 + x، بشرط x \neq 0.

عند x = 0، الدالة الأصلية غير معرفة (مقام يساوي صفر). بعد التبسيط، تصبح الدالة f(x) = 1 + x وهي معرفة عند x = 0 وقيمتها 1.

البرهان: عدم الاتصال عند x = 0 هو عدم اتصال قابل للإزالة، لأنه يمكن إزالته بإعادة تعريف الدالة لتصبح f(x) = 1 + x لجميع قيم x.

40. f(x) = x⁴ / x⁵:

نبسط الدالة: f(x) = \frac{x⁴}{x⁵} = \frac{1}{x}، بشرط x \neq 0.

عند x = 0، الدالة الأصلية غير معرفة. نهاية الدالة المبسطة عندما تقترب x من الصفر هي لا نهائية (\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty).

البرهان: عدم الاتصال عند x = 0 هو عدم اتصال لا نهائي.

41. f(x) = { x² + a, x ≥ 3; bx + a, -3 < x < 3; -b - x, x ≤ -3 }:

لكي تكون الدالة متصلة، يجب أن تكون متصلة عند نقاط ربط القطع، أي عند x = 3 و x = -3.

1. عند x = 3:

* قيمة القطعة اليسرى: f(3) = (3)^2 + a = 9 + a

* نهاية القطعة اليمنى عندما x \to 3^-: \lim_{x \to 3^-} (bx + a) = 3b + a

للاتصال: 9 + a = 3b + a \Rightarrow 9 = 3b \Rightarrow b = 3

2. عند x = -3:

* قيمة القطعة اليمنى: f(-3) = -b - (-3) = -b + 3

* نهاية القطعة اليسرى عندما x \to -3^+: \lim_{x \to -3^+} (bx + a) = -3b + a

للاتصال: -b + 3 = -3b + a

بالتعويض b = 3: -3 + 3 = -3(3) + a \Rightarrow 0 = -9 + a \Rightarrow a = 9

الإجابة: a = 9، b = 3.

42. lim (x→-∞) f(x) = -∞ حيث f دالة زوجية:

الدالة الزوجية تحقق f(-x) = f(x). إذا كان \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty، فهذا يعني أنه عندما تصبح x سالبة كبيرة جداً، تصبح f(x) سالبة كبيرة جداً.

بسبب التماثل حول المحور y، فإن سلوك الدالة عندما x \to +\infty سيكون مطابقاً لسلوكها عندما x \to -\infty.

البرهان: \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.

43. lim (x→-∞) f(x) = -∞ حيث f دالة فردية:

الدالة الفردية تحقق f(-x) = -f(x). إذا كان \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty، فهذا يعني f(x) \to -\infty عندما x \to -\infty.

بسبب خاصية الدالة الفردية، عندما نعوض x \to +\infty، فإن f(-x) = -f(x). إذا كانت f(x) \to -\infty عندما x \to -\infty، فإن f(-x) ستميل إلى +\infty عندما x \to +\infty.

البرهان: \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.

44. lim (x→-∞) f(x) = ∞ حيث f دالة متماثلة حول نقطة الأصل:

التماثل حول نقطة الأصل هو تعريف الدالة الفردية. النتيجة هي نفسها السؤال 43 ولكن مع تغيير إشارة النهاية.

البرهان: إذا كانت الدالة فردية و \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty، فإن \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.

45. lim (x→-∞) f(x) = ∞ حيث f دالة متماثلة حول المحور y:

التماثل حول المحور y هو تعريف الدالة الزوجية. النتيجة هي نفسها السؤال 42 ولكن مع تغيير إشارة النهاية.

البرهان: إذا كانت الدالة زوجية و \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty، فإن \lim_{x \to +\infty} f(x) = \infty.

46. اكتب: أعط مثالاً على دالة لها عدم اتصال قابل للإزالة، ثم بين كيف يمكن إزالته. وكيف تؤثر إزالة عدم الاتصال في الدالة؟

المثال: f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}.

كيفية الإزالة: الدالة غير معرفة عند x = 2 لأن المقام يصبح صفراً. نبسط الدالة: f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2، بشرط x \neq 2. لإزالة عدم الاتصال، نعيد تعريف الدالة لتصبح: g(x) = \begin{cases} x+2, & x \neq 2 \\ 4, & x = 2 \end{cases}.

التأثير: إزالة عدم الاتصال تجعل الدالة متصلة عند تلك النقطة (x=2) دون تغيير قيمها في أي نقطة أخرى. تصبح الدالة قابلة للاشتقاق أيضاً عند تلك النقطة إذا كانت الدالة المبسطة قابلة للاشتقاق.

58. أي الأعداد الآتية يمكن أن يكون درجة للدالة (f(x؟

من الوصف البياني: المنحنى على شكل حرف W ومتماثل حول المحور y. هذا يشير إلى أن الدالة كثيرة الحدود هي دالة زوجية (جميع أسس x أعداد زوجية). شكل W يعني أن المنحنى يتقاطع مع المحور x في 4 نقاط (له 4 أصفار حقيقية) وله 3 نقاط حرجة (قيم عظمى وصغرى محلية). أقل درجة لمتعددة حدود زوجية لها هذا السلوك هي 4.

الإجابة الصحيحة: D. 4

59. في أي الفترات الآتية يقع صفر الدالة f(x) = √(x² - 6) - 6؟

لإيجاد الصفر، نضع f(x)=0:

\sqrt{x^2 - 6} - 6 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 6} = 6

نربع الطرفين: x^2 - 6 = 36 \Rightarrow x^2 = 42 \Rightarrow x = \pm \sqrt{42}

قيمة \sqrt{42} تقع بين \sqrt{36}=6 و \sqrt{49}=7، أي 6 < \sqrt{42} < 7.

الصفر الموجب يقع في الفترة [6,7].

الإجابة الصحيحة: A. [6,7]

47. f(x) = (2x + 1) / x:

* بيانياً (باستعمال الحاسبة): الصفر هو قيمة x التي يتقاطع عندها المنحنى مع المحور x.

* جبرياً: نضع f(x)=0: \frac{2x+1}{x} = 0 \Rightarrow 2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}، بشرط x \neq 0.

الصفر: x = -\frac{1}{2}

48. g(x) = (x² - 3) / (x + 1):

* بيانياً (باستعمال الحاسبة): نبحث عن تقاطع المنحنى مع المحور x.

* جبرياً: نضع g(x)=0: \frac{x^2 - 3}{x+1} = 0 \Rightarrow x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}، بشرط x \neq -1.

الأصفار: x = \sqrt{3}، x = -\sqrt{3}

49. h(x) = √(x² + 4x + 5):

* بيانياً (باستعمال الحاسبة): نبحث عن تقاطع المنحنى مع المحور x.

* جبرياً: نضع h(x)=0: \sqrt{x^2 + 4x + 5} = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 5 = 0.

نحسب المميز: (4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 (سالب).

النتيجة: لا توجد أصفار حقيقية للدالة.

50. f(x) = (4x + 6) / (x² + 3x + 2):

مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية عدا القيم التي تجعل المقام صفراً.

نحلل المقام: x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2).

المجال: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا x = -1 و x = -2.

بالتدوين: \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1, x \neq -2\} أو (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, \infty).

51. g(x) = (x + 3) / (x² - 2x - 10):

مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية عدا القيم التي تجعل المقام صفراً.

نجد جذور المقام باستخدام القانون العام: x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}.

المجال: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا x = 1 + \sqrt{11} و x = 1 - \sqrt{11}.

52. g(a) = √(2 - a²):

مجال الدالة هو جميع قيم a التي تجعل ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر.

2 - a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 \le 2 \Rightarrow -\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}.

المجال: [-\sqrt{2}, \sqrt{2}].

إذا كانت f(x) = (2x - 5) / (x² - 3x + 1) فأوجد قيمة الدالة في كل مما يأتي: (الدرس 1-1)

f(9)

f(3b)

f(2a - 3)

مثل بيانيًا كل من الدوال الآتية باستعمال الحاسبة البيانية، ثم حلل منحناها لتحدد إن كانت الدالة زوجية أو فردية أم غير ذلك. ثم تحقق من إجابتك جبريًا. وإن كانت زوجية أو فردية فصف تماثل منحناها. (الدرس 1-2)

h(x) = √(x² - 9)

f(x) = (x + 4) / (x - 2)

مسائل مهارات التفكير العليا

تبرير: بين إذا كان لكل من الدالتين الآتيتين عدم اتصال لا نهائي، أم قفزي، أم قابل للإزالة عند x = 0. وبرر إجابتك. f(x) = (x⁵ + x⁶) / x⁵

f(x) = x⁴ / x⁵

تحد: أوجد قيمة كل من a, b التي تجعل الدالة f متصلة. f(x) = { x² + a, x ≥ 3; bx + a, -3 < x < 3; -b - x, x ≤ -3 }

تبرير: أوجد lim (x→-∞) f(x) في كل من الحالات الآتية، وبرر إجابتك. lim (x→-∞) f(x) = -∞ حيث f دالة زوجية.

lim (x→-∞) f(x) = -∞ حيث f دالة فردية.

lim (x→-∞) f(x) = ∞ حيث f دالة متماثلة حول نقطة الأصل.

lim (x→-∞) f(x) = ∞ حيث f دالة متماثلة حول المحور y.

اكتب: أعط مثالاً على دالة لها عدم اتصال قابل للإزالة، ثم بين كيف يمكن إزالته. وكيف تؤثر إزالة عدم الاتصال في الدالة؟

تدريب على اختبار

يبين التمثيل البياني أدناه منحنى دالة كثيرة الحدود (f(x. أي الأعداد الآتية يمكن أن يكون درجة للدالة (f(x؟ Options: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

في أي الفترات الآتية يقع صفر الدالة f(x) = √(x² - 6) - 6؟ Options: A. [6,7] B. [7,8] C. [8,9] D. [9,10]

مراجعة تراكمية

استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل كل من الدوال الآتية بيانيًا، وتحديد أصفارها. ثم تحقق من إجابتك جبريًا. (الدرس 1-2)

f(x) = (2x + 1) / x

g(x) = (x² - 3) / (x + 1)

h(x) = √(x² + 4x + 5)

حدد مجال كل من الدوال الآتية: (الدرس 1-1)

f(x) = (4x + 6) / (x² + 3x + 2)

g(x) = (x + 3) / (x² - 2x - 10)

g(a) = √(2 - a²)

وزارة التعليم

الدرس 3-1 الاتصال والنهايات 37 Mistry of Education 2025 - 1447

إذا كانت f(x) = (2x - 5) / (x² - 3x + 1) فأوجد قيمة الدالة في كل مما يأتي: (الدرس 1-1) --- SECTION: 53 --- f(9) --- SECTION: 54 --- f(3b) --- SECTION: 55 --- f(2a - 3) مثل بيانيًا كل من الدوال الآتية باستعمال الحاسبة البيانية، ثم حلل منحناها لتحدد إن كانت الدالة زوجية أو فردية أم غير ذلك. ثم تحقق من إجابتك جبريًا. وإن كانت زوجية أو فردية فصف تماثل منحناها. (الدرس 1-2) --- SECTION: 56 --- h(x) = √(x² - 9) --- SECTION: 57 --- f(x) = (x + 4) / (x - 2) --- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا --- مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 39 --- تبرير: بين إذا كان لكل من الدالتين الآتيتين عدم اتصال لا نهائي، أم قفزي، أم قابل للإزالة عند x = 0. وبرر إجابتك. f(x) = (x⁵ + x⁶) / x⁵ --- SECTION: 40 --- f(x) = x⁴ / x⁵ --- SECTION: 41 --- تحد: أوجد قيمة كل من a, b التي تجعل الدالة f متصلة. f(x) = { x² + a, x ≥ 3; bx + a, -3 < x < 3; -b - x, x ≤ -3 } --- SECTION: 42 --- تبرير: أوجد lim (x→-∞) f(x) في كل من الحالات الآتية، وبرر إجابتك. lim (x→-∞) f(x) = -∞ حيث f دالة زوجية. --- SECTION: 43 --- lim (x→-∞) f(x) = -∞ حيث f دالة فردية. --- SECTION: 44 --- lim (x→-∞) f(x) = ∞ حيث f دالة متماثلة حول نقطة الأصل. --- SECTION: 45 --- lim (x→-∞) f(x) = ∞ حيث f دالة متماثلة حول المحور y. --- SECTION: 46 --- اكتب: أعط مثالاً على دالة لها عدم اتصال قابل للإزالة، ثم بين كيف يمكن إزالته. وكيف تؤثر إزالة عدم الاتصال في الدالة؟ --- SECTION: تدريب على اختبار --- تدريب على اختبار --- SECTION: 58 --- يبين التمثيل البياني أدناه منحنى دالة كثيرة الحدود (f(x. أي الأعداد الآتية يمكن أن يكون درجة للدالة (f(x؟ Options: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 --- SECTION: 59 --- في أي الفترات الآتية يقع صفر الدالة f(x) = √(x² - 6) - 6؟ Options: A. [6,7] B. [7,8] C. [8,9] D. [9,10] --- SECTION: مراجعة تراكمية --- مراجعة تراكمية استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل كل من الدوال الآتية بيانيًا، وتحديد أصفارها. ثم تحقق من إجابتك جبريًا. (الدرس 1-2) --- SECTION: 47 --- f(x) = (2x + 1) / x --- SECTION: 48 --- g(x) = (x² - 3) / (x + 1) --- SECTION: 49 --- h(x) = √(x² + 4x + 5) حدد مجال كل من الدوال الآتية: (الدرس 1-1) --- SECTION: 50 --- f(x) = (4x + 6) / (x² + 3x + 2) --- SECTION: 51 --- g(x) = (x + 3) / (x² - 2x - 10) --- SECTION: 52 --- g(a) = √(2 - a²) وزارة التعليم الدرس 3-1 الاتصال والنهايات 37 Mistry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: منحنى دالة كثيرة الحدود f(x) Description: A W-shaped curve representing a polynomial function, symmetrical about the y-axis, extending infinitely upwards on both left and right sides. X-axis: x Y-axis: y Data: The curve starts from the upper left, decreases to a local minimum at (-1.5, -2), increases to a local maximum at (0, 0), decreases to another local minimum at (1.5, -2), and then increases towards the upper right. Context: This graph illustrates the behavior of a polynomial function, showing its critical points (local minima and maxima) and end behavior, which are key characteristics for determining its degree and leading coefficient. The W-shape with both ends up suggests an even degree polynomial, likely degree 4 or higher.